Геометрия Евклида была довольно примитивна в своем наполнении. В ее арсенале не было даже списка исходных данных. Гильберт, выявив все ошибки и споры в этой области, берет ее за основу. Почему именно она стала образцом для формализма?! Геометрия Евклида строилась на базовых аксиомах, из которых довольно легко можно было вывести самые тяжелые теоремы и леммы. Этот принцип от простого к сложному, метод аксиом и вывода из них нового значения как раз лежали в основе построения формальных систем Гильберта.
Основание геометрии стало областью математики, изучающей аксиоматические системы евклидовой геометрии. В дальнейшем вопросы ее науки расширились до неевклидовой геометрии. Проблемы, которые решают сейчас основания геометрии, состоят в полноте, независимости, непротиворечивости аксиоматических систем.
После появления геометрии Лобачевского [16] основания геометрии стали широко изучаться, поскольку требовалось пополнение систем аксиом геометрии Евклида. Этот факт был связан с тем, что аксиоматика Евклида не была полной, а в доказательствах Евклид пользовался аксиомами, которых нет в его списке (либо эти аксиомы нужно было доказывать).
Однако родоначальником оснований геометрии нельзя назвать Гильберта, ибо его труды были лишь обобщением до формального уровня. В 1882 г. Морица Паша уже создал системы, свободные от каких-либо интуитивных влияний. Именно он ввел всем известные со школы неопределяемые понятия (точка, прямая, плоскость).
Укажем в нашем исследовании и тот факт, что Гильберт вводил неопределяемые понятия, причисляя к ним еще отношения (лежать между, применимо к точкам). Аксиоматика Гильберта считается самой полной из всех, состоит из 20-21 аксиомы и довольно прозрачна. Спор о ее непротиворечивости и полноте закрыл однажды Тарский [17], дав полное доказательство.
С точки зрения геометрической компоненты хочется еще раз подчеркнуть тот факт, что она несводима ни к одной из двух, носит статус самостоятельного уровня и довольно важного для программы Гильбер
та. Это вытекает из того, что все базовые понятия геометрии обладают статусом независимого применения и включают в себя априорную заданность. Другими словами, геометрические неопределяемые понятия несводимы ни к логическим, ни к арифметическим и носят объективный характер. Геометрия в понимании Гильберта носит абстрактное отражение свойств пространственной действительности и указывает на реалистичность в этой проблеме.
Аналогия Гильберта между физикой и геометрией довольно интересна, но без доказательна, поскольку необходимо признать, что эмпирическое истолкование геометрической компоненты математики противоречит множеству аргументов и общей картине теоретического обоснования программы формализма. Это противоречие вытекает из традиционной небрежности Гильберта в употреблении терминов и строгости рассуждений, которые относятся к онтологическим и гносеологическим вопросам.
Эпистемологическое признание формализмом объективности геометрических истин активно соотносится с указанием на их априорность, их включенность в структуру разума и сознания. Заметим тот факт, что все три компоненты математики в эпистемологическом плане трактуются в программе формализма с позиций априоризма. Это явление исходит именно из логической установки, которая процветала в математике довольно длительное время. Гильберт не мог отойти от основ, которые до него ввели Рассел, Фреге, Пеано и другие. Он лишь преумножил данные теоретические знания, создав пласт совсем новой на то время математики, как было замечено ранее.
Заключение
Обозначив в своей работе на эпистемологический процессе в реализации формализма и указав на геометрию как важную компоненту, мы имели в виду следующее.
1. Геометрия является абстрактным механизмом действительности. Другими словами, всё то, где живет субъект, -- это геометрическое пространство, с ссылкой на реальность отображаемых объектов.
2. Геометрия, как важная составляющая формализма, показала свою значимость в построении формальных теорий и систем гильбертовского плана.
3. Математика не может существовать в своих основах без ключевых неопределяемых определений геометрии. Она всегда опирается на пространство, о котором говорит нам только геометрическая наука.
4. Природа числа также в своей основе закрепляет статус геометрических истин для математики.
5. Формализм стал передовым течением, который хотел соединить несоединимое в основаниях математики и давал шанс на полную непротиворечивость своих систем для большинства математиков. Иными словами, ссылки на отображаемую и конечную действительность, которую реализовала только геометрия, были попытками Гильберта упрочить непротиворечивость своей программы.
Труды Гильберта по основаниям математики мы исследовали до его работы «Основания геометрии», в результате чего пришли к выводу, что одним из философских достижений стало развитие концепции Гильберта об аксиоматическом методе. Гильберт полагал, что правильный способ развития любого научного объекта или предмета строго требует аксиоматического подхода. Предоставив аксиоматическое «лечение» (метод), Гильберт счел, что теория будет развиваться независимо от какой-либо потребности в интуиции, это облегчит анализ логических связей между основными понятиями и аксиомами.
В 1902 г. Гильберт, читая лекции по основаниям геометрии, обозначил проблему оснований иным способом: «Каждая наука берет свою отправную точку из достаточно связного массива данных. Однако она обретает форму только путем организации этого свода фактов» [10]. Эта организация для Гильберта осуществляется аксиоматическим методом, т. е. логическая структура понятий строится таким образом, чтобы отношения между понятиями соответствовали отношениям между фактами, которые должны быть организованы. В построении такой структуры понятий возможен произвол, но требуются полнота, независимость, непротиворечивость.
После Гильберта и его работ по геометрии математика стала логичнее благодаря введенному аксиоматическому методу и достигла своего расцвета, став фундаментальным знанием всей науки.
гильберт формализм логический геометрический
Литература
1. Измайлова А. М. Актуальность формалистского подхода в рамках современных концепций в основаниях математики / А. М. Измайлова // Вестник студенческой научной сессии факультета философии и психологии ВГУ. - 2018. - № 12. - С. 28-33.
2. Измайлова А. М. Интерпретация эпистемологических основ математики в программе формализма / А. М. Измайлова // Вестник студенческой научной сессии факультета философии и психологии ВГУ. - 2019. - № 13. - С. 30-33.
3. Peano G. Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane / G. Peano // Mathematische Annalen. - 1890. - Т. 36, вып. 1. - С. 157-160.
4. Рассел Б. Основания математики : в 3 т. / Б. Рассел, А. Уайтхед ; пер. Ю. Н. Радаев, А. В. Ершов, Р. А. Ревинский, И. С. Фролов. - Самара : Изд-во Самар. ун-та, 2005-2006. - Т. 1. - 772 с. ; Т. 2. - 738 с. ; Т. 3. - 460 с.
5. Рассел Б. Избранные труды / Б. Рассел ; пер. В. В. Целищева. - Новосибирск : Сиб. Унив. изд-во, 2007. - 260 с.
6. Фреге Г. Основоположения арифметики : логико-математическое исследование о понятии числа / Г. Фреге. - Томск : Водолей, 2000. - 128 с.
7. Фреге Г. Логика и логическая семантика : сб. трудов / / Г. Фреге ; пер. с нем. Б. В. Бирюкова. - М. : Аспект Пресс, 2000. - 512 с.
8. Кантор Г. Труды по теории множеств / Г. Кантор ; под ред. А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевича. - М. : Наука, 1985. - 432 с.
9. Лесневский С. И. Об основаниях математики / С. И. Лесневский // Философия и логика Львовско-Варшавской школы. - М., 1999. - Гл. 9. - С. 2444. - (Научная философия).
10. Гильберт Д. Проблемы обоснования математики / Д. Гильберт // Гильберт Д. Избранные труды : в 2 т. - М. : Факториал, 1998. - Т. I. - С. 449-456.
11. Гильберт Д. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики / Д. Гильберт, П. Бернайс ; пер. с нем. Н. П. Нагорного. - М. : Наука, 1979. - 557 с.
12. Гильберт Д. О бесконечном / Д. Гильберт // Гильберт Д. Избранные труды : в 2 т. - М. : Факториал, 1998. - Т. I. - С. 430-449.
13. Гильберт Д. Основания геометрии / Д. Гильберт. - М.; Л. : Гостехиз- дат, 1948. - 339 с. - (Классики естествознания).
14. Гейтинг А. Интуиционизм. Введение / А. Гейтинг. -- М. : Мир, 2016.199 с.
15. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечно малых : в 2 т. / Л. Эйлер ; пер. с лат. Е. Л. Поцановского ; ред., вступит. ст. и прим. проф. С. Я. Лурье. 1-е изд. -- М.; Л. : ОНТИ НКТП СССР, Глав. ред. общетехн. лит. и номографии, 1936. -- Т. 1. -- 352 с.
16. Лобачевский Н. И. Избранные сочинения / Н. И. Лобачевский ; [сост. и ред. И. С. Емельянова ; пер. на греч. яз. Филиппидис] ; Нижегород. гос. ун-т им. Н. И. Лобачевского. -- Н. Новгород, 2007. -- 253 с.
17. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук / А. Тарский. -- Биробиджан : Тривиум, 2000. -- 347 с.