Предположим тот факт, что природа числа должна иметь две части: абстрактную и конкретную (естественную), как у Гильберта[11]. Но соединим эти две части в более ясную картину о математическом знании.
Однако откуда берутся эти две части?! Из самого мира. Если вдуматься, то с чего же начинается оформление природной объективности в числовую реальность? Все числа находятся в мире, который нас окружает. Они заложены в природе в неявном виде. Стоит лишь посмотреть на различные природные объекты, все они имеют правильную пропорцию, четное или нечетное количество плодов, точное количество листьев и другие факты, известные каждому. Можно согласиться с тем, что всё, что нас окружает, есть число. Материя, из которой состоит природа, хорошо структурирована, разбита на части. Бесструктурный «объект» не может существовать в принципе.
Таким образом, сам окружающий нас мир породил в нашем сознании первоначальные представления о «количестве» тех или иных объектов. Зародились численные отличия и правила их сравнения. И, естественно, - вся символика этого процесса, т. е. математика. И вот здесь как раз и произошло четкое и ясное разделение числовой действительности на два совершенно разных класса - естественный (конкретный) и абстрактный. Но там и там осталось число.
Итак, под абстрактной частью числа мы будем понимать часть, благодаря которой чисел нет в пространстве и во времени. Поэтому числа нельзя увидеть и почувствовать. Именно абстрактная часть дает возможность существования бесконечности.
Конкретная часть (естественная) описывает качественную и количественную составляющие числа, оформляет его как величину. С точки зрения конкретной части мы можем считать, применять числа, т. е. взаимодействовать с ними. В этой части «голая абстракция» превращается в число, которое мы можем использовать. Именно в этой части рождается некое противоречие между качественной и количественной характеристикой числа.
Следовательно, числа -- это синтез указанных частей. Числа обозначаются цифрами -- символами, которые, в свою очередь, могут быть различными.
Из вышесказанного можно сделать следующие выводы.
Первое. Благодаря этим двум частям можно понять, почему мы не видим чисел, но они неразрывно связаны с нами.
Второе. Время и пространство, которые являются базовыми понятиями физики, не содержатся в понятии числа в явном виде, они приобретаются им, когда оно приобретает законченную форму -- цифру и величину. Тогда число становится не самостоятельно абстрактной формой, а естественной частью мира.
Почему обозначение числа может быть различным? Приведем в пример геометрию как древнейший раздел математики. Из геометрического обоснования числа также можно вывести две части, о которых мы говорим. Число в геометрии -- это не цифра, это фигуры, плоскости, прямые. Своего рода абстракция. Значит, абстрактную часть мы уже нашли в геометрическом обосновании числа. Любой человек резал лист бумаги, а это своего рода применение числа, только геометрического. Ведь мы можем отрезать от листа половину или третью часть -- это количество. Ровно или криво мы отрежем этот кусок, зависит от нас, а это уже качество. Следовательно, конкретная часть числа не будет оформлять число в цифру, оно его здесь оформит в форму, которую мы отрежем.
Если под природой числа понимать синтез абстрактного и естественного, оформленный в цифре, то можно привести в пример число п как самое популярное иррациональное число, после работ Л. Эйлера [15]. Абстрактная часть будет связана с бесконечной записью данного числа, что очевидно. После этого можно сказать, что числа п вообще нет. Однако его естественная (конкретная) часть говорит о значении и применении, нахождении его в пространстве и времени. Проще это можно выразить отношением длины окружности к длине ее диаметра, как утверждает определение числа. Хоть сама по себе окружность и ее диаметр являются абстрактными понятиями, однако именно это отношение и применяет строитель в своих расчетах, когда строит дом.
Информатика, как наука, отделившаяся не так давно от математики, не согласилась бы с этими утверждениями. Ведь число для этой науки тоже цифра, символ, как и в самой математике, т. е. несет в себе абстрактную часть числа. «А где же конкретная часть числа?!» -- скажет информатик. Программа на любом языке не будет работать с одним символом или цифрой. Применение, а тем самым и конкретная часть числа
появится только тогда, когда мы увидим полную программу, записанную до точки и запятой. Тем самым применение будет тогда, когда программа заработает! А до этого это всего лишь абстракция.
На это возражение можно ответить тем, что знак и символ в информатике будут всегда нести некое применение. Ведь выстраивая программу, программист не берет любой попавшийся знак. Он четко понимает применение каждого из них, какую функцию он выполняет, тем самым получает программу, которая дает более масштабное применение.
Развивая данное предположение, можно сказать, что эти две «части» числа могут и существовать совершенно независимо друг от друга. Для нас кажется совершенно очевидным, что мотоцикл, несущийся по трассе, и его чертеж на столе конструктора -- совершенно разные качественные вещи, хотя и то и другое отображено в нашем сознании с помощью одних и тех же знаков -- чисел. И там и там у мотоцикла по два колеса, одному мотору и т. д. Однако чертеж и мотоцикл - два разных (по качеству!) числительных мира. Почему так происходит?!
Количество и качество не одно и то же, они будут всегда давать некое противоречие в конкретной части числа. Однако нам это и нужно, чтоб построить две разные науки - физику и математику.
К примеру, в стае летят пять лебедей, но оценить все качества стаи одним числом (5) неправильно. А вот конкретный выигрыш (как предметное качество) напрямую зависит от количества купленных лотерейных билетов, хотя это количество никак явно не выражено в реальной сущности.
Таким образом, в природе (на примитивно составных вещах и явлениях) показать конкретно сосредоточенную (качественно-количественную) функциональность однозначно нельзя, по крайней мере - довольно трудно. И строить утвердительные научные тезисы о природном статусе числа как родового, только физического начала без математического не следует.
Растущая на дереве груша существует сама по себе, обладая набором естественных качеств. А вот фото этой груши данными качествами не наделено. Но там и там мы видим одну грушу, т. е. акцентируемся на отображении в нашем сознании количественной особенности явления. Если на этом дереве вырастут еще две груши, то их качественные характеристики изменятся (в том числе и у первой груши). А на новом фото этой груши мы не будем наблюдать изменения качественных свойств. Но между числом «один» и числом «три» мы определим искусственно разработанные нами правила их соединения в группу.
Доказав предположение, что конкретная часть числа содержит в себе разные понятия, надо сказать, как все эти рассуждения связаны с природой чисел.
Учитывая, что количество и качество лежат в основе разделения математики и физики, как отмечалось выше, приведем пример.
Вечный спор математиков и физиков о природе числа. Математики, заявляя об отсутствии чисел в природе, выставляют на первое место их абстрактное содержание. Они не правы, как и физики, утверждая обратное. Математик и физик, исходя из вышесказанного, начиная с разных мотивов, стремятся к одной и той же цели. Математики выделяют и считают абстрактные цифры, используя правила и аксиомы. Математик -- это всего лишь механизм оформления абстракции в формулу. Физик дает формулам применение. Поэтому и выходит, что они работают не с разными частями числа, а с разными числами вообще.
Число должно быть различно, чтобы не было данных противоречий. Можно предположить, что число делится на математическое и физическое. Эти два числа должны иметь разную природу, хотя и состоять из одинаковых частей, как описано выше: абстрактной и конкретной. Тогда в чем должно проявляться их различие?! Опишем подробнее.
Следуя рассуждению, математический и физический ноль или единица не будут одним и тем же. Различия будут содержаться в природе числа. Число «ноль» или «единица» -- это будет абстракция, оформленная в цифру, для математика. Итак, математическое число -- это число, в котором конкретная часть представлена как количественная (для счета!), поэтому, соответственно, это число используют математики. Здесь прав Гильберт, который называет математику наукой о знаках [12].
Физический ноль -- это пустота, оформленная в цифру, следовательно, физическое число -- это число, в котором конкретная часть выражена, наоборот, как качественная.
Приведем простой пример. Две груши и две планеты с точки зрения математического числа одно и то же, ведь количественная их характеристика совпадает. С точки зрения физического числа они различны, различны их качественные части: груша и планета не одно и то же.
Важно иметь в виду, что физическое число и математическое число будут строго различны в конкретной части числа, но имеют нечто общее -- их природу. Попробуем описать эту природу на основе наших частей. Они будут исходить из чего-то общего, естественного и понятного -- это абстрактная их часть. Именно эта часть будет связывать все числа. Ведь никто не будет спорить, что числа мы не встретим на улице и не пригласим их в гости. Абстракция как мысленное отвлечение позволяет выделять нам это существенное. Благодаря этому все числа -- «родственники».
Однако мы не имеем права оставлять без внимания конкретное (естественное). Оно закрепит за ним (и за его математическим письменным отображением) осознанное представление, что любое число не просто описательно-числительная абстракция, а вполне реальная физическая данность природы, с богатыми специализированными качествами и выразимым количеством.
Можно сделать вывод, что число - это абстрактно-конкретная форма, оформленная в цифре или любом другом знаке. Число берет начало в абстракции, а потом оформляется естественно в природе.
Все открытия совершались в области естественных наук только благодаря тому, что используя математически выраженную правильную абстракцию, физики объясняли природу. Синтез математики и физики в работе над числом очень важен. А направления номинализма и реализма (платонизма) всё больше стараются развести эти две стороны, что является огромным минусом для науки.
В конце хотелось бы подчеркнуть, что природа числа, выраженная в его «едином двуличии», заложена в нем благодаря миру. Поэтому мы можем наблюдать количественные и качественные отличия, но никогда не видеть само «число».
Таким образом, нужно отметить последнее, что дает основания нам перейти к последней компоненте, которую Гильберт считал самой главной из трех. Арифметическая компонента, несомненно, является связующим звеном между логической и геометрической частью программы формализации. Это выражается в том, что «число», как объект синтеза конкретного и абстрактного (или действительного и идеального [11]), дает скрытые возможности в реализации формализма в основаниях математики и содействует новому пониманию абстракции на том уровне, как понимал ее Гильберт.
3. Геометрические основания, составляющие математику, их отношение к процессу познания в программе формализма
Наряду с двумя основными компонентами формалистского построения систем Гильберт выделял главную пропозицию, которая в нашем исследовании носит название геометрической компоненты.
На основании геометрии, как мы помним, Гильберт построил свою аксиоматику [10]. Ведь на тот момент именно геометрия носила более проясненный характер, именно в ней были выстроены ряды аксиом, из которых выводились доказательства той или иной теоремы. Математика в целом до Гильберта носила неопределенный статус, в ней не было строгих доказательств, даже по поводу каждого обозначения велись споры и собирались консилиумы ученых. Гильберт создал мир математики довольно ясный, понятный и хорошо выводимый, ибо была использована опора на логическое пространство. Кто-то удивится, почему именно Гильберт внес этот вклад в развитие математики, ведь это одна из самых древних наук (!), неужели до него не было ученых?! И будет прав, Гильберт обобщил результаты Фреге, Рассела, М. Паша, разъяснил и убрал вызывающие споры парадоксы, объединил математику в единое целое.
Содержательная установка формалистского построения математики аргументировала несводимость геометрической компоненты к двум другим, вот это и стало для Гильберта важным. Геометрическая часть его программы указывает на то, что она может трактоваться с реалистических позиций, позволяет призвать априорность, включенность в структуру разума базисных геометрических понятий, истин и интуиций. Именно таким родом априорности вызвана геометрическая важность для гильбертовской программы.
Как мы выяснили ранее, любая формальная система требует доказательства ее непротиворечивости. Такое доказательство Гильберт называл «методом абсолютного доказательства» [11]. Ранее мы показали его механизм работы. Сейчас укажем значение геометрии в его реализации.