Воронежский государственный университет
Философская интерпретация "трех компонент" формализма Д. Гильберта в основаниях математики
А.М. Измайлова
Аннотация
Воронежский государственный уни¬верситет
Измайлова А. М., преподаватель фа¬культета философии и психологии в нашем исследовании мы постараемся раскрыть новый подход к анализу формалистской программы Гильберта. Мы примем некую установку о наличии в основаниях математики как минимум трех компонент, а именно: арифметической, геометрической и логической. Укажем подробнее, что имеем в виду под каждой, проведя подробный анализ программы формализма.
Ключевые слова: формализм, основание математики, арифметизация, логический анализ.
Abstract
Voronezh State University
Izmailova A. M., Lecturer of the Philosophy and Psychology Faculty
in our study, we will try to reveal a new approach to the analysis of the Hilbert formalist program. We will accept a certain attitude about the presence of at least three components in the foundations of mathematics, namely: arithmetic, geometric, and logical. We will specify in more detail what we mean by each, having carried out a detailed analysis of the formalism program.
Key words: formalism, foundation of mathematics, arithmetic, logical analysis.
Введение
Разобьем наше исследование на три части и проведем анализ формализма в соответствии с принятой ранее установкой [1--2].
1. Познавательный и теоретический аспект логической составляющей в программе формализма
Для последовательного изложения материала поставим несколько задач, на которые будем ссылаться в ходе нашего исследования:
1) необходимо рассмотреть основные положения программы логицизма;
2) провести сравнительный анализ программ формализма и логицизма на предмет общих и различных закономерностей в их объективном рассмотрении; 3) подведем итог о логической составляющей программы формализма как одной из компонент программы Гильберта.
Начнем с программы логицизма, основателями которой считаются Фреге, Рассел и Пеано. В основе данного направления в основании математики лежат представления о логической природе математических понятий. Главный тезис, который провозглашают логицисты, звучит следующим образом -- всю математику возможно свести к логике. Заметим то, что данное направление стремится обосновать истинность математических теорий через их редукцию к аксиомам логики, надежность которых обеспечена статусом логики в системе знаний. Таким образом, логицизм основывается на нескольких положениях, а именно:
1. Любой математический объект может быть записан в понятиях логики.
2. Каждое математическое утверждение можно вывести из логических правил вывода (если его записать в виде набора символов), что будет являться общезначимым суждением для логического исчисления.
Теперь рассмотрим более подробно вклад представителей логицизма в развитие направления. По мнению Рассела, его труд «Principia Mathematica» [3--4] был основан на двух логических анализах того времени, поэтому он стал обобщением наиболее важных результатов, принятых к тому времени в области обоснования математики.
Первый анализ был связан с арифметизацией математики, а именно сведением ее многообразного содержания к единой теории натурального числа. Этой проблемой занимался немецкий логик и математик Г. Фреге [5--6], который доказал то, что всю традиционную математику можно мыслить как полностью состоящей из высказываний о натуральных числах. Другими словами, все ее объекты можно определить с помощью натуральных чисел, а ее суждения вывести из свойств натурального ряда, употребляя в качестве аппарата символы и законы логики.
Второй анализ состоял в аксиоматизации арифметики, т. е. редуцировании теории натуральных чисел к набору аксиом и неопределяемым терминам. Этот анализ был выполнен итальянским математиком Д. Пеано. По утверждению самого Пеано, достаточно всего трех неопределяемых терминов и пяти аксиом, которые носят его имя, чтобы формализовать теорию натуральных чисел и тем самым всю арифметику.
Таким образом, в истории известен тот факт, что математика и логика были полностью разными сферами научной деятельности. Однако сейчас, как полагал Рассел, эти области стали единым целым, поэтому иногда нелегко провести между ними какую-либо границу.
Так или иначе, логицизм стал первым направлением в основаниях математики, который хотел спасти математику от парадоксов и подтвердить ее статус надежности в глазах всей науки.
После достаточно подробной характеристики логицизма перейдем к вопросу о сравнительном анализе двух указанных выше направлений. Без всякого сомнения, две школы имели различия по значению, методам и использованным средствам своей деятельности. Однако в ходе нашего исследования важен другой вопрос, а именно нас будет интересовать их отношение к природе математических объектов и как эти два направления в основаниях математики решали проблему достоверности математического познания. Школа Гильберта, как нам известно, решала эти вопросы, основываясь на доказательстве непротиворечивости формальной системы. Логицисты, в свою очередь, считали, что в основе математического знания лежит «число». Именно его онтологический статус интересовал их представителей. Пеано утверждал, сошлемся на его аксиому два, что «натуральное число, следующее за любым натуральным числом, есть натуральное число» [7, с. 157]. Рассел говорит, что «...натуральное число есть всё, что является числом некоторого класса» [3, с. 12]. Фреге, в свою очередь, отходит от них, высказываясь о натуральном числе как об: «объеме равночисленных понятий» [5, с. 33]. При этом Рассел в своем произведении [4] соглашается с Фреге и его трактовкой числа, хоть и с некоторой оговоркой, ссылаясь, например, на «тройку лошадей». Этот пример, как известно, иллюстрирует число «три», как число конкретного натурального ряда, а сама тройка лошадей не является примером натурального числа «три» и не должна пониматься математиками, как отождествление числа и «тройки лошадей». Другими словами, конкретное число не тождественно тому множеству, элементы которого оно означает. Число «три» не тождественно «тройке лошадей», оно идентично с тем свойством, которое соединяет все множества, состоящие из трех элементов в один общий класс и делает его уникальным.
Такого рода рассуждения интересовали логицистов в области природы математических объектов. Однако в проблеме достоверности математического познания они по праву считаются первыми создателями развитого логического аппарата, который начинал складываться еще с Лейбница и завершился уже к деятельности формалистов. Именно об этом аппарате логического анализа и пойдет речь дальше, потому что формалисты заимствовали его для своей цели построения абсолютного доказательства непротиворечивости математики.
Логицисты в своих работах пользовались конструированием математических понятий на основе одного из четырех фундаментальных отношений:
1. «Принадлежность элемента к классу» [4]. Раскроем значение этого отношения, сославшись на идеи Кантора, который утверждал «принадлежность элемента множеству» [8], как видно, Рассел взял эту формулировку именно у него. Термин «класс» был введен Расселом в своем знаменитом парадоксе лжеца, который вскрыл ошибки в «Наивной теории множеств» Кантора. Проще говоря, Рассел заменил термин «множество» на «класс», чтобы устранить всяческие парадоксы, возникающие в то время вокруг этого понятия.
2. «Применение функции к аргументу» [4]. Смыслом этого отношения является схожая трактовка Фреге термина «функции». Дело в том, что
Рассел не мог согласиться с ним по поводу того, что функция может стать аргументом, а аргумент -- функцией (а также в том, что функция -- это неопределяемое понятие, как было у Фреге), - и ввел следующее замечание: «Если функция может рассматриваться как аргумент, значит, это должно считаться в математике неверным и противоречить здравому смыслу».
3. «Именование». Отношение, связанное с именем объекта в математике, было заимствовано Расселом у Фреге.
4. «Часть -- целое». Значение этого отношения определяется тем фактом, что Рассел использовал в своих произведениях идеи античных авторов. Ссылаясь на это отношение в логике, легче всего показать отношение род -- вид (мереологическое деление), которое широко используется в современных работах С. Лесневского [9].
А. М. Измайлова Философская интерпретация «трех компонент»...
Несмотря на умение конвертировать математические понятия в логические, логицизм все-таки потерпел неудачу. Всё следовало к тому, что математика включает в себя не только строго логические законы, а еще и внелогические правила вывода и аксиомы (аксиома бесконечности, принцип математической индукции и т. д.). «Все логические суждения могут быть выражены полностью в терминах логических констант вместе с терминами» [5], как говорит Рассел. Однако обратное утверждение, что все суждения, которые выражены таким образом, являются логическими, -- неверно.
2. Формалистское понимание гносеологического статуса арифметического компонента в математическом знании
В этой части работы укажем на несколько аспектов данной проблемы, связанных с арифметической компонентой программы формализма Гильберта: 1) дадим подробный анализ понятия «числа», не зависимо от его содержания и значения, как в логицизме; 2) постараемся провести сравнение предложений, которые использовал Гильберт в своем исследовании с понятием «числа», которое будет выведено из наших общих рассуждений; 3) укажем на тот факт, как арифметическая компонента программы связана с двумя другими, о которых идет речь в работе.
Начнем с природы «числа», о которой довольно много рассуждали логицисты. Основным представителем является Фреге, который заметил тот интересный аспект, что число имеет две части: содержание и значение, как у любого объекта, независимо от того, физический он или абстрактный. Ошибка Фреге в том, что он, разделив все объекты на абстрактные и физические, отнес к абстрактным числа, но не смог соединить в них содержание числа и его значение. Рассел успел заметить и осознать ошибку, допущенную Фреге, но устранить ее не смог, так как сам запутался в «значениях числа» [4]. В итоге можно констатировать: логицизм как направление не нашел выхода в проблеме природы «числа», а лишь свел число к сумме понятий о нем.
Взгляд Гильберта остановился именно на этом открытом вопросе. Ведь именно доказательство непротиворечивости арифметики должно было вызвать фурор всех математиков, а без прояснения природы «числа» этого, к сожалению, сделать невозможно. Разработав метод, по которому Гильберт, на его взгляд, смог бы доказать непротиворечивость, он начал разбираться в природе числа и бесконечности, которая сопровождала все числа. Природа числа не в том, что они аналоги каких-то объектов; природа числа должна заключать в себе две части. Гильберт называл их «действительная» и «идеальная» [10--13]. В своей программе он использовал только действительные предложения, которые не давали противоречий. Однако, на наш взгляд, природа числа имеет более широкое применение и требует более подробного анализа, чем дан ниже.
Числа предназначены для того, чтобы считать объекты, входящие в состав тех или иных объединений или групп. Числа никак не связаны с индивидуальной характеристикой считаемых объектов. Например, число «восемь» есть результат абстрагирования, производимого при рассмотрении всевозможных совокупностей, состоящих из восьми предметов: оно вообще не зависит ни от специальных свойств этих объектов, ни от употребляемых символов. Однако абстрактный характер идеи числа становится ясным только на очень высокой ступени умственного развития.
Для детей числа всегда связаны с самыми понятными для них объектами, например, пальцами или палочками. В языках народов числа также трактуются конкретно: для обозначения предметов различных типов употребляются разные сочетания числительных.
Современные ученые [14] соотносят числа с идеями, которые находятся в сознании. Другие говорят, что это не правильно, ведь сознание не бесконечно. А это означает, что туда невозможно вместить все числа, которых бесконечное количество. Числа -- реальны, абстрактны, конечны, бесконечны и т. п. Разный взгляд на природу числа нам не дает строгости понятий, которой должна обладать математика. Становится не ясно, где находится число? Почему именно 2+2=4 и 3+2=5, а не 8 и 9?! Ответы даются различные и иногда противоречащие друг другу.