Иными словами, если бы эти прочие заряды каким-то оброзом изменились, а условия в Р, описываемые электрическим и магнитным полем в точке Р, остались бы прежними, то дви жение заряда тоже не изменилось бы. «Реальное» поле тогда есть совокупность чисел, заданных так, что то, что происхо дит в некоторой точке, зависит только от чисел в этой точке и нам больше не нужно знать, что происходит в других местах. Именно с таких позиций мы и хотим выяснить, является ли векторный потенциал «реальным» полем.
Вас может удивить тот факт, что векторный потенциал определяется не единственным образом, что его можно изме нить, добавив к нему градиент любого скаляра, а силы, дей ствующие' на частицы, не изменятся. Однако это не имеет ни чего общего с вопросом реальности в том смысле, о котором мы говорили. К примеру, магнитное поле как-то меняется при изменении относительного движения (равно как и Е или А). Но нас нисколько не будет заботить, что поле можно изменять таким образом. Нам это безразлично; это никак не связано с вопросом о том, действительно ли векторный потенциал — «реальное» поле, пригодное для описания магнитных эффек тов, или же это просто удобный математический прием.
Мы должны еще сделать кое-какие замечания о полезности векторного потенциала А. Мы видели, что им можно пользо ваться в формальной процедуре расчета магнитных полей за данных токов, в точности как <р может применяться для оты скания электрических полей. В электростатике мы видели, что Ф давалось скалярным интегралом
(15.22)
Из этого ф мы получали три составляющих Е при помощи трех дифференцирований. Обычно это было легче, чем вычис лять три интеграла в векторной формуле
(15.23)
Во-первых, их три, а во-вторых, каждый из них вообще-то немного посложнее, чем (15.22).
В магнитостатике преимущества не так ясны. Интеграл
для А уже сам по себе векторный: |
|
J (2) dV, |
(15.24) |
|
т. е. здесь написаны три интеграла. Кроме того, вычисляя ро тор А для получения В. надо взять шесть производных и рас-
IS
ставить их попарно. Сразу не ясно, проще ли это, чем прямое вычисление
В (I) — — р \ — |
lv dV2. |
(15.25) |
4л ецс2 J |
rj2 |
|
В простых задачах векторным потенциалом часто бывает пользоваться труднее, и вот по какой причине. Предположим, нас интересует магнитное поле В в одной только точке, а за дача обладает какой-то красивой симметрией. Скажем, нам нужно знать поле в точке на оси кольцевого тока. Вследствие симметрии интеграл в (15.25) легко возьмется и вы сразу по лучите В. Если бы, однако, мы начали с А, то пришлось бы вычислять В из производных А, а для этого надо было бы знать А во всех точках по соседству с той, которая нас инте ресует. Большая же часть их не лежит на оси симметрии, ин теграл для А усложняется. В задаче с кольцом, например, пришлось бы иметь дело с эллиптическими интегралами. В подобных задачах А, разумеется, не приносит большой пользы. Во многих сложных задачах, бесспорно, легче рабо тать с А, но в общем трудно было бы доказывать, что эгн технические облегчения стоят того, чтобы начать изучать еще одно векторное поле.
Мы ввели А потому, что оно действительно имеет большое физическое значение. Оно не просто связано с энергиями то ков (в чем мы убедились в последнем параграфе), оно — «ре альное» физическое поле в том смысле, о котором мы говорили выше. В классической механике силу, действующую на части цу, очевидно, можно записать в виде
F = ?(E + vXB), |
(15.26) |
так что, как только заданы силы, движение оказывается пол ностью определенным. В лк>бой области, где В = 0, хотя бы А и не было равно нулю (например, вне соленоида), влияние А ни в чем не сказывается. Поэтому долгое время считалось, что А — не «реальное» поле. Оказывается, однако, что в кванто вой механике существуют явления, свидетельствующие о том, что поле А на самом деле вполне «реальное» поле, в том смысле, в каком мы определили это слово. В следующем па раграфе мы покажем, что все это значит.
$ 5. Векторный потенциал и квантовая механика
Когда мы от классической механики переходим к кванто вой, то наши представления о важности тех или иных понятий во многом меняются. (Кое-какие из этих понятий мы уже рас сматривали раньше.) В частности, постепенно сходит на нет понятие силы, а понятия энергии и импульса приобретают
17
X
Ф и г . t5J5. Интерференционный опыт с электронами.
первостепенную важность. Вместо движения частиц, как вы помните, речь теперь идет уже об амплитудах вероятностей, которые меняются в пространстве и времени. В эти амплитуды входят длины волн, связанные с импульсами, и частоты, свя зываемые с энергиями. Импульсы и энергии определяют собой фазы волновых функций и по этой-то причине они важны для квантовой механики. Вместо силы речь теперь идет о том, ка ким образом взаимодействие меняет длину волны. Представ ление о силе становится уже второстепенным, если вообще о нем еще стоит говорить. Даже когда, к примеру, упоми нают о ядерных силах, то на самом деле, как правило, рабо тают все же с энергиями взаимодействия двух нуклонов, а не с силой их взаимодействия. Никому не приходит в голову диф ференцировать энергию, чтобы посмотреть, какова сила. В этом параграфе мы хотим рассказать, как возникают в квантовой механике векторный и скалярный потенциалы. Ока зывается, что именно из-за того, что в квантовой механике главную роль играют импульс и энергия, самый прямой путь введения в квантовое описание электромагнитных эффектов — сделать это с помощью А и <р.
Надо сперва слегка напомнить, как действует квантовая механика. Мы снова вернемся к описанному в вып. 3, гл. 37, воображаемому опыту, в котором электроны испытывали ди фракцию на двух щелях. На фиг. 15.5 показано то же уст ройство. Электроны (все они обладают примерно одинаковой энергией.) покидают источник и движутся к стенке с двумя узкими щелями. За стенкой находится «защитный» вал — по глотитель с подвижным детектором. Этот детектор предназна чен для измерения частоты /, с которой электроны попадают в небольшой участок поглотителя на расстоянии х от оси сим метрии. Частота эта пропорциональна вероятности того, что отдельный электрон, вылетевший из источника, достигнет
1$
этого участка «вала». Вероятность обладает распределением сложного вида (оно показано на рисунке), которое объяс няется интерференцией двух амплитуд, по одной от каждой щели. Интерференция двух амплитуд зависит от их разности фаз. Иными словами, когда амплитуды равны С,е1ф‘ и С2е1ф\ разность фаз 6 = O i—Ф2 определяет интерференционную кар тину [см. вып. 3, гл. 29, уравнение (29.12)]. Если расстояние от щелей до экрана равно L, а разность длин путей электро нов, проходящих через две щели, равна а (как показано на фигуре), то разность фаз двух волн дается отношением
6 = у . |
(15.27) |
Как обычно, мы полагаем Х= А,/2я, где X — длина волны, от вечающая пространственному изменению амплитуды вероят ности. Для простоты рассмотрим лишь те значения л, кото рые много меньше L; тогда можно будет принять
н |
, d |
(15.28) |
Когда х равно |
6 ~ Т х * |
|
нулю, то и б равно нулю; |
волны находятся |
в фазе, а вероятность имеет максимум. Когда б равно я, волны оказываются в противофазе, интерферируя деструктивно, н вероятность достигает минимума. Так электронная интенсив ность получает волнообразный вид.
Теперь мы хотим сформулировать тот закон, которым в квантовой механике заменяется закон силы F = <7vXB.Этот закон будет определять собой поведение квантовомеханнческих частиц в электромагнитном поле. Раз все происходящее определяется амплитудами, то закон должен будет объяснить, как сказывается на амплитудах влияние магнитного поля; с ускорениями же частиц мы больше никакого дела иметь не будем. Закон этот состоит в следующем: фазу, с какой ампли туда достигает детектора, двигаясь по какой-то траектории, присутствие магнитного поля меняет на величину, равную.ин тегралу от векторного потенциала вдоль этой траектории, умноженному на отношение заряда частицы к постоянной Планка. То есть
Изменение фазы под влиянием __j? |
^ |
A -ds. (15.29) |
|
магнитного поля - Ъ |
|||
|
|
Траектория
Если бы магнитного поля не было, то наблюдалась бы какая-то определенная фаза прибытия. Если же где-то появляется маг нитное поле, то фаза прибытия возрастает на величину инте грала в (Г5.29),
19
Хотя для наших теперешних рассуждений в этом нет необ ходимости, заметим все же, что влияние электростатического поля тоже выражается в изменении фазы, равном интегралу по времени от скалярного потенциала <р со знаком минус:
Изменение фазы под влиянием____q_г ,. электрического поля Ъ j ^
Эти два выражения справедливы лишь для статических полей, но, объединив их, мы получим правильный результат для любого, статического или динамического, электромаг нитного поля. Именно этот закон и заменяет собой формулу F — <7 (E-f- v X В). Мы сейчас, однако, будем говорить только о статическом магнитном поле.
Положим, что опыт с двумя щелями проводится в магнит ном поле. Мы хотим узнать, с какой фазой достигают экрана две волны, пути которых пролегают через две разные щели. Их интерференция определяет то место, где окажется макси мум вероятности. Фазу волны, бегущей по траектории (.1), мы назовем Фь а через Ф] (В = 0) обозначим фазу, когда магнит ного поля нет. Тогда после включения поля фаза достигает величины
ф 1= Ф,(5 = 0) + |
|- |
(15.30) |
|
(о |
|
Аналогично, фаза для траектории (2) равна |
|
|
Ф2 = Ф2(А = 0 )+ |
<« |
(15.31) |
|
|
|
Интерференция волн в детекторе зависит от разности фаз |
||
й= ф 1(Я *= 0)-Ф 2(Я = 0) + |- |
$ A - d s - - | |
$A-<*S. (15.32) |
|
(1) |
<2) |
Разность фаз в отсутствие поля мы обозначим 6(£ = 0); это та самая разность, которую мы подсчитали в уравнении (15.28). Кроме того, мы замечаем, что из двух интегралов можно сде лать один, идущий вперед по пути (1), а назад— по пути (2); этот замкнутый путь будет обозначаться (1— 2). Так что по лучается
б = б(В = 0) + |
ф -A-rfs. |
(15.33) |
|
0 - 2) |
|
Это уравнение сообщает нам, как под действием магнитного поля изменяется движение электрона; с его помощью мы мо жем найти новые положения максимумов и минимумов интен сивности.
20