Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

И поскольку ток поддерживается неизменным, то силы, действующие на электроны проводимости, не ускоряют их; электрическая энергия переходит не к электронам, а к тому источнику, который сохраняет силу тока постоянной.

Но заметьте, что сила, действующая на провод, равна 1В\

Отсюда мы заключаем, что механическая работа перемещения провода в точности равна электрической работе, производи­ мой над источником тока, так что энергия петли остается по­ стояннойil

Это не случайность. Это следствие закона, с которым мы уже знакомы. Полная сила, действующая на каждый из заря­ дов в проводе, равна

F = ? (Е -f v X В).

Скорость, с которой производится работа, равна

Если электрического поля нет, то остается только второе сла­ гаемое, а оно всегда равно нулю. Позже мы увидим, что из­ менение магнитных полей создает электрические поля, так что наши рассуждения применимы лишь к проводам в постоян­ ных магнитных полях.

Но тогда почему же принцип виртуальной работы дает правильный ответ? 'Потому, что пока мы не учитывали полную энергию Вселенной. Мы не включали в рассмотрение энергию тех токов, которые создают магнитное поле, с самого начала присутствующее в наших рассуждениях.

Но представим себе полную систему, наподобие изобра­ женной на фиг. 15.3, а, где петля с током I вдвигается в маг­ нитное поле Bi, созданное током /2 в катушке. Ток /ь текущий по петле, тоже будет создавать какое-то магнитное поле В2 близ катушки. Если петля движется, то поле В2 изменяется. В следующей главе мы увидим, что изменяющееся магнитное поле создает поле Е, и это поле действительно начнет

Фи г . 15.3. Вычисление энергии маленькой петли в магнитном поле.

II

действовать на заряды в катушке. Эту энергию мы обязаны включить в наш сводный баланс энергий.

Мы, конечно, могли бы подождать говорить об этом новом вкладе в энергию до следующей главы, но уже сейчас можно оценить его, если применить соображения принципа относи­ тельности. Приближаем петлю к неподвижной катушке и знаем, что электрическая энергия петли в точности равна и противоположна по знаку произведенной механической ра­ боте. Иначе говоря,

(/цех "f" ^электр (петли) ==0 .

Теперь предположим, что мы смотрим на происходящее с дру­ гой точки зрения: будем считать, что петля покоится, а ка­ тушка приближается к ней. Тогда катушка движется в поле, созданном петлей. Те же рассуждения приведут к выражению

( / Иех + UЭлектр (катушки) = 0

Механическая энергия в обоих случаях одна и та же — она определяется только силой, действующей между двумя конту­ рами.

Сложение двух уравнений дает

2С/Мех + Электр (петли) + (/MeKTP (катушки) = 0.

Полная энергия всей системы равна, конечно, сумме двух электрических энергий и взятой один раз механической энер­ гии. В итоге выходит

Unoля=£/»лектр (петди)4-£/электр (катушкн)+(/„еХ= — £/„ех. (15.13)

Полная энергия всей системы —это на самом деле UMn со знаком минус. Если нам нужна, скажем, полная энергия магнитного диполя, то следует писать

(/поли 5=3 *f* М■В.

И только тогда, когда мы потребуем, чтобы все токи остава­ лись постоянными, можно использовать лишь одну из частей энергии (/мех (всегда равную истинной энергии со знаком ми­ нус) для вычисления механических сил. В более общих зада­ чах надо соблюдать осторожность, чтобы не забыть ни одной из энергий.

Сходное положение наблюдалось и в электростатике. Мы показали там, что энергия конденсатора равна Q2/2C. Когда мы применяем принцип виртуальной работы, чтобы найти силу, действующую между обкладками конденсатора, то из­ менение энергии-равно Q2/2, умноженному на изменение в 1 /С,

12

А теперь предположим, что нам надо было бы подсчитать работу, затрачиваемую на сближение двух проводников, но при другом условии — что напряжение между ними остается постоянным. Тогда правильную величину силы мы могли бы получить из принципа виртуальной работы, если бы посту­ пили немного искусственным образом. Раз Q = CV, то полная энергия равна l/iCV2, Но если бы мы ввели условную энергию, равную —xkCV2, то принцип виртуальной работы можно было бы применить для получения сил, полагая изменение этой условной энергии равным механической работе (это при усло­ вии, что напряжение V считается постоянным). Тогда

а это то же самое, что написано а уравнении (15.14). Мы по­ лучаем правильный ответ, хотя пренебрегаем работой, кото­ рую электрическая система тратит на постоянное поддержа­ ние напряжения. И здесь опять электрическая энергия ровно вдвое больше механической и имеет обратный знак.

Итак, если мы ведем расчет искусственно, пренебрегая тем фактом, что источник потенциала должен тратить работу на то, чтобы напряжение оставалось неизменным, то все рав­ но мы приходим к правильному результату. Это в точности соответствует положению дел в магнитостатике.

§ 3. Энергия постоянных токов

Зная, что Uполн = —Uмех, используем этот факт, чтобы найти истинную энергию постоянных токов в магнитных по­ лях. Начать можно с истинной энергии небольшой токовой пе­ тельки. Обозначая С/Полп просто через U, напишем

Хотя эту энергию мы подсчитали только для плоской прямо­ угольной петли, все это верно и для плоской петельки произ­ вольной формы.

Энергию контура произвольной формы можно найти, пред­ ставив себе, что он состоит из небольших токовых петель. Ска» жем, имеется провод в форме петли Г (фиг. 15.4). Натянем на эту петлю поверхность S, а на ней наметим множество пете­ лек, каждую из которых можно считать плоской. Если заста­ вить ток / циркулировать по каждой петельке, то в итоге вый­ дет то же самое, как если бы ток шел только по петле Г, ибо токи на всех внутренних линиях взаимно уничтожатся. Систе­ ма небольших токов физически не будет отличима от исход­ ного контура, и энергия должна быть той же, т. е. должна быть равна сумме энергий всех петелек.

13

В пределе, когда петли становятся бесконечно малыми, сумма превращается В интеграл, и

где п — единичная нормаль к da.

Если мы положим В = VXA, то поверхностный интеграл

где ds — линейный элемент вдоль Г. Итак, мы получили энер­ гию контура произвольной формы:

Контур

В этом выражении А обозначает, конечно, векторный потен­ циал, возникающий из-за токов (отличных от тока 1 в про­ воде), которые создают поле В близ провода.

Далее, любое распределение постоянных токов можно счи­ тать состоящим из нитей, идущих вдоль тех линий, по кото­ рым течет ток. Для любой пары таких контуров энергия дается выражением (15.19), где интеграл взят вокруг одного из кон­ туров, а векторный потенциал А создан другим контуром. Пол­ ная энергия получается сложением всех таких пар. Если вме*

14

сто того, чтобы следить за парами, мы полностью просумми­ руем по всем нитям, то каждую энергию мы засчитаем дваж­ ды (такой же эффект мы наблюдали в электростатике), ;i полную энергию можно будет представить в виде

Это соответствует полученному для электростатической энер­ гии выражению

Значит, мы можем считать А, если угодно, своего рода потен­ циальной энергией токов в магнитостатике. К сожалению, это представление не очень полезно, потому что оно годится только для статических полей. В действительности, если поля со временем меняются, ни выражение (15.20), ни выражение (15.21) не дают правильной величины энергии.

§4. В или А ?

Вэтом параграфе нам хотелось бы обсудить такой вопрос: что такое векторный потенциал — просто полезное для расче­ тов приспособление (так в электродинамике полезен скаляр­ ный потенциал) или же он как поле вполне «реален»? Или же «реально» лишь магнитное поле, так как только оно ответ­ ственно за силу, действующую на движущуюся частицу?

Для начала нужно сказать, что выражение «реальное поле» реального смысла не имеет. Во-первых, вы вряд ли во­ обще полагаете, что магнитное поле хоть в какой-то степени «реально», потому что и сама идея поля — вещь довольно от­ влеченная. Вы не можете протянуть руку и пощупать это маг­ нитное поле. Кроме того, величина магнитного поля тоже не очень определенна; выбором подходящей подвижной системы координат можно, к примеру, добиться, чтобы магнитное поле в данной точке вообще пропало.

Под «реальным» полем мы Понимаем здесь вот что: реаль­ ное поле —это математическая функция, которая используется

нами, чтобы избежать представления о дальнодействии. Если в точке Р имеется заряженная частица, то на нее оказывают влияние другие заряды, расположенные на каком-то удалении от Р, О д и н прием, которым можно описать взаимодействие,— это говорить, что прочие заряды создают какие-то «условия» (какие — не имеет значения) в окрестности Р. Если мы знаем эти условия (мы их описываем, задавая электрическое и маг­ нитное поля), то можем полностью определить поведение ча­ стицы, нимало не заботясь после о том, чтб именно создало эти условия.

15