Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

51

ление проволоки достаточно велико, так что токи малы. Тогда магнитным полем от этого тока можно пренебречь.

Поток через петлю равен wLB, поэтому «правило потока» дало бы для э.д. с. (ее обозначим через S’)

S’ = — =e — wBv,

где v —скорость смещения перемычки.

Нам следовало бы понимать этот результат и с другой точки зрения, отправляясь от магнитной силы vXB, действую­ щей на заряды в движущейся перекладине. Эти заряды будут чувствовать силу, касательную к проволоке и равную vB для единичного заряда. Она постоянна вдоль длины w перемычки и равна нулю в остальных местах, поэтому интеграл равен

S = — wvB,

что в точности совпадает с результатом, полученным из ско­ рости изменения потока.

Приведенное доказательство можно распространить на лю­ бой случай, когда магнитное поле постоянно и провода дви­ жутся. Можно в общем виде доказать, что для любой цепи, части которой движутся в постоянном магнитном поле, э. д. с. равна производной потока по времени независимо от формы цепи.

Ну а что произойдет, если петля будет неподвижна, а маг­ нитное поле изменится? На этот вопрос мы не можем ответить с помощью тех же аргументов. Фарадей открыл (поставив опыт), что «правило потока» остается справедливым незави­ симо от того, почему меняется поток.

Сила, действующая на электрические заряды, в общем случае дается формулой F = q(E + vXB); новых особых «сил за счет изменения магнитного поля» ие существует. Любые

52

силы, действующие на покоящиеся заряды в неподвижной проволоке, возникают за счет Е. Наблюдения Фарадея при­ вели к открытию нового закона о связи электрического и магнитного полей: в области, где магнитное поле меняется со временем, генерируются электрические поля. Именно это элек­ трическое поле и гонит электроны по проволоке, и, таким об­ разом, оно-то и ответственно за появление э. д. с. в неподвиж­ ной цепи, когда магнитный поток изменяется.

Общий закон для электрического поля, связанного с изме­ няющимся магнитным полем, такой:

Мы назовем его законом Фарадея. Он был открыт Фарадеем, но впервые в дифференциальной форме записан Максвеллом в качестве одного из его уравнений. Давайте посмотрим, как из этого уравнения получается «правило потока» для цепей.

Используя теорему Стокса, этот закон можно записать в

где, как обычно, Г — произвольная замкнутая кривая, a S — любая поверхность, ограниченная этой кривой. Вспомним, что здесь Г—это математическая кривая, зафиксированная в про­ странстве, a S — фиксированная поверхность. Тогда произ­ водную по времени можно вынести за знак интеграла:

Применяя это соотношение к кривой Г, которая идет вдоль неподвижной цепи проводников, мы получаем снова «правило потока». Интеграл слева — это э. д. с., а в правой части с o6i ратным знаком стоит скорость изменения потока, проходящего внутри контура. Итак, соотношение (17.1), примененное к не­ подвижному контуру, эквивалентно «правилу потока».

Таким образом, «правило потока», согласно которому э. д. с. вч контуре равна взятой с обратным знаком скорости, с кото­ рой меняется магнитный поток через контур, применимо, ко­ гда поток меняется за счет изменения поля или когда дви­ жется контур (или когда происходит и то, и другое). Две возможности — «контур движется» или «поле меняется» — неразличимы в формулировке правила. Тем не менее для объяснения правила в этих двух случаях мы пользовались

S3

двумя совершенно разными законами: v X В для «движуще­ гося контура» и ? Х Е = —dB/dt для «меняющегося поля».

Мы не знаем в физике ни одного другого такого примера, когда бы простой и точный общий закон требовал для своего настоящего понимания анализа в терминах двух разных яв­ лений. Обычно столь красивое обобщение оказывается исхо­ дящим из единого глубокого основополагающего принципа. Но в этом случае какого-либо особо глубокого принципа не видно. Мы должны воспринимать «правило» как совместный эффект двух совершенно различных явлений.

На «правило потока» мы должны посмотреть следующим образом. Вообще говоря, сила на единичный заряд равна F/<?= E-f- v X В. В движущихся проводниках сила возникает за счет v. Кроме того, возникает поле Е, если где-либо ме­ няется магнитное поле. Эти эффекты независимы, но э.д. о. вокруг проволочной петли всегда равна скорости изменения магнитного потока сквозь петлю.

§ 2. Исключения из «правила потока»

Здесь мы приведем несколько примеров, частично извест­ ных Фарадею, которые показывают, как важно ясно понимать разницу между двумя эффектами, ответственными за возник­ новение наведенной э.д.с. Наши примеры включают те слу­ чаи, когда «правило потока» неприменимо либо потому, что вообще никаких проводов нет, либо потому, что путь, изби­ раемый индуцированными токами, проходит внутри объема проводника.

Вначале сделаем важное замечание: та часть э.д.с., кото­ рая возникает за счет поля Е, не связана с существованием физической проволоки (в отличие от части v XB) . Поле Е может существовать в пустом пространстве, и контурный ин-

М агниш

64

>Медные пластинки.

Фиг . 17.3. При повороте пла­ стинок в однородном магнит­ ном поле поток может сильно меняться, но э, д. с. не возни­ кает.

С-С?

Гальванометр

теграл от него по любой воображаемой линии в пространстве есть скорость изменения потока В через эту линию. (Заметь­ те, что это совсем непохоже на поле Е, создаваемое статиче­ скими зарядами, так как в электростатике контурный инте­ грал от Е по замкнутой петле всегда равен нулю.)

Теперь опишем случай, когда поток через контур не меняется, а э.д. с. тем не менее существует. На фиг. 17.2 по­ казан проводящий диск, помещенный в магнитное поле и ко­ торый может вращаться на неподвижной оси. Один контакт приделан к оси, а другой трется о внешний край диска. Цепь замыкается через гальванометр. Когда диск вращается, «кон­ тур» (в смысле места в пространстве, где текут токи) всегда остается тем же самым. Но часть «контура» проходит в диске, в движущемся материале. Хотя поток по контуру постоянен, э.д.с. все же есть, в этом можно убедиться по отклонению гальванометра. Ясно, что здесь перед нами случай, когда за счет силы v X В в движущемся диске возникает э. д. с., кото­ рая не может быть равна изменению потока.

В качестве обратного примера мы сейчас рассмотрим не­ сколько необычный случай, когда поток через «контур» (снова в смысле того места, где текут токи) изменяется, а э.д.с. отсутствует. Представим себе две металлические пластины со слегка изогнутыми краями (фиг. 17.3), помещенные водно­ родное магнитное поле, перпендикулярное их плоскости. Каж­ дая пластина присоединена к одному из полюсов гальвано­ метра, как показано на фигуре. Пластины образуют контакт в одной точке Р, так что цепь замкнута. Если теперь повер­ нуть пластины на небольшой угол, точка контакта сдвинется

6S