Материал: Элементы линейной алгебры
Если
,
то, комбинация
,
называется тривиальной
комбинацией. Она, очевидно, равна
=(0,0,..,0),
где
-
нулевой вектор.
Векторы
называются линейно
независимыми,
если любая нетривиальная комбинация
этих векторов не равна нулевому вектору.
Векторы называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору.
Если система из векторов линейно зависима, то один из них есть линейная комбинация остальных.
Ранг матрицы
определяет наибольшее число линейно
независимых строк (столбцов), рассматриваемых
как векторы. Так в матрице
из примера 7 три первых строки линейно
независимы, а две другие являются их
линейной комбинацией. Например, для
четвертой строки справедливо:
Матрица
имеет и ровно три линейно независимых
столбца. Например, для пятого столбца
имеем
Упражнения.
1. Найти ранг матриц:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Ответы: а) 4; б) 2; в) 4; г) 3.
2. Для матрицы примера 7 получить линейную комбинацию первых трех строк, равную пятой строке.
Ответ:
,
где
− обозначения строк.
5. Системы линейных уравнений. Основные понятия
Системой
линейных уравнений
с
неизвестными
(линейной
системой)
называется система вида
(7)
где
− заданные числа. Числа
называются коэффициентами
системы, а числа
- свободными
членами.
Линейная система называется однородной, если все свободные члены равны нулю, т.е.
(8)
В противном случае линейная система называется неоднородной.
Решением системы (7) называется упорядоченная совокупность чисел:
,
(9)
при подстановке которых вместо каждое уравнение системы обращается в тождество.
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система, не имеющая ни одного решения, - несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Однородная система
(8) всегда совместна, так как она имеет
очевидное решение:
.
Нулевое решение однородной системы
называется тривиальным.
Две системы называются равносильными или эквивалентными, если любое решение одной из них является также решением и другой, и обратно, т.е. они имеют одно и то же множество решений. В частности, любые две несовместные системы являются эквивалентными.
Линейную систему можно записать в матричной форме. Введем матрицы:
– матрица коэффициентов при неизвестных,
- матрица-столбец свободных членов,
- матрица-столбец неизвестных.
,
,
.
Тогда систему (7)
можно записать в виде матричного
уравнения
,
а решение (9) в виде матрицы-столбца
.
Замечание. Так
как и матрицу-столбец, и матрицу-строку
называют вектором, то решение системы,
когда это удобнее, можно записывать в
виде строки
.
Матрица коэффициентов
называется основной матрицей системы.
Матрица, составленная
из коэффициентов и свободных членов
называется расширенной матрицей системы.
Выражение «решить систему» означает: выяснить, совместна или несовместна система, а в случае совместности – найти все ее решения.
6. Решение линейных систем по формулам Крамера
Теорема Крамера.
Пусть дана система, в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных
(10)
Если определитель основной матрицы системы
,
не равен нулю, то
система имеет единственное решение
,
где
Определители
,
получены из определителя
заменой соответствующего столбца на
столбец свободных членов.
►Пример 8. По
формулам Крамера найти решение системы
уравнений
Решение.
Вычислим определители и найдем решение
Ответ:
.◄
Упражнения.
Решить системы по формулам Крамера:
1)
2)
3)
Ответы:
1)
,
2)
,
3)
.
7. Решение систем с помощью обратной матрицы
Система (7) из уравнений с неизвестными в матричной форме имеет вид ,
где
,
,
.
Если матрица невырожденная, то система имеет единственное решение, которое вычисляется по формуле (5) .
►Пример 9. С помощью обратной матрицы найти решение системы
Решение. Проведем необходимые вычисления:
.
Ответ:
.
◄
Упражнения.
Найти решение систем с помощью обратной матрицы:
а)
б)
в)
г)
Ответы:
а)
;
б)
;
в)
г)
.
8. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса
Рассмотрим линейную систему общего вида:
