Материал: Элементы линейной алгебры
4. Доказать:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
д)
.
6. Вычислить определители:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Ответы:
а) -1487600; б)
-29 400 000; в)
;
г)
.
7. Найти сумму всех
алгебраических дополнений определителя
.
Ответ:
.
8. Известно, что
числа 20604, 53227, 25755, 20927, 289 делятся на 17. Не
вычисляя определитель
,
показать, что он тоже делится на 17.
Если матрица - квадратная, невырожденная, то эти уравнения имеют единственное решение, которое можно получить с помощью обратной матрицы. Так как при умножении матриц коммутативный закон не выполняется, они решаются разными способами.
При поиске решения первое из уравнений надо умножать на обратную матрицу слева, а второе справа, т.е.
,
(5)
.
(6)
►Пример 5. Найти
решение матричного уравнения
,
то есть определить матрицу
,
если
;
.
Решение.
Решение в матричном
виде определяется формулой (5), т.е.
,
если матрица
невырожденная. Вычислим определитель
матрицы
:
.
Следовательно, матрица невырожденная, и для нее существует обратная матрица. Проведем вычисления, необходимые для построения обратной матрицы. Вычислим алгебраические дополнения:
Составим обратную
матрицу
и
найдем неизвестную матрицу
.
,
При вычислениях
множитель
рекомендуем оставлять перед матрицей
и проводить умножение полученной матрицы
на него на последнем этапе вычислений.
►Пример 6.
Найти решение матричного уравнения
,
если
.
Решение.
Формулой (5)
воспользоваться нельзя, так как матрица
не квадратная, следовательно, для нее
не существует обратной матрицы. Умножим
обе части уравнения на транспонированную
матрицу
слева,
получаем
.
Матрица
− квадратная и, если ее определитель
не равен нулю, то решение заданного
уравнения имеет вид
.
Проведем вычисления:
.
Определитель
полученной матрицы
.
Следовательно, обратная матрица к
матрице
существует, и можно найти матрицу
:.
,
,
.
◄
Упражнения.
1. Для заданных матриц найти обратную матрицу:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Ответы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
2. Найти неизвестную матрицу из уравнений:
а)
;
б)
;
4. Ранг матрицы
Рангом
матрицы
(обозначение:
)
называется порядок
отличного
от нуля минора этой матрицы при условии,
что все ее миноры более высоких порядков
равны нулю. Минор наивысшего порядка,
отличный от нуля, называется базисным
минором
или просто базисом.
Матрица может иметь несколько различных
базисов. Для определения базиса над
матрицей производят элементарные
преобразования,
при которых ранг матрицы не изменяется.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся:
- транспонирование;
- удаление или добавление строки (столбца), состоящей из нулей;
- умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
- перестановка строк (столбцов);
-прибавление к элементам какой-либо строки элементов другой строки, умноженных на постоянное число (то же самое для столбцов).
Выполняя элементарные
преобразования над матрицей, получаем
другую матрицу, называемую эквивалентной.
Переход от исходной матрицы к эквивалентной
будем обозначать символом “
”,
над котором указаны действия, проводимые
со строками.
Используя выше перечисленные действия, матрицу можно преобразовать к треугольному виду, что позволяет легко определить ее ранг.
►Пример 7.
Найти ранг матрицы
.
Решение. Преобразуем матрицу:
Минор
,
а все миноры четвертого порядка равны
нулю, т.к. содержат нулевую строку.
Следовательно,
.
◄
При преобразовании матрицы мы проводили операции только со строками и по определенному алгоритму. Этот метод стандартный, но не является обязательным.
С рангом матрицы связано понятие линейно зависимых (независимых) векторов. Пусть имеется система из векторов
Линейной
комбинацией
векторов
,
называется выражение
,
где
-
числа.
в)
;
г)
;
д)
.
Ответы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.