Материал: Эффект фотонной лавины в кристаллах и наноструктурах. Монография (Перлин), 2007, c.120

при энергиях, по крайней мере, на порядок превышающих те, что актуальны для данной работы.

§ 3.3. Вероятности переходов оже-типа 3v → 11

Рассмотрим оже-переходы следующего типа: электрон с двумерным волновым вектором k3 , находящийся в подзоне 3 квантовой ямы, взаимодействует с электроном с волновым вектором kv = (kv , kv||).в валентной зоне области B В результате оба электрона переходят в подзону 1 квантовой ямы в состояния с волновыми векторами k11 и k12 . Переданный при этом импульс в плоскости, перпендикулярной оси роста наноструктуры, равен

Как и при выводе формул (2.16, 2.17) для вероятности переходов, 31 → 22, представим кулоновское взаимодействие в виде разложения в трехмерный ряд Фурье и выполним ряд стандартных преобразований. В результате получим следующее выражение для прямого матричного элемента, построенного на функциях (3.1-3.4):

– интегралы перекрывания блоховских амплитуд для m-й и n-й зон, которые для простоты считаются зависящими только от q0, но не от K. В свою очередь,

p – оператор импульса, VL – периодический потенциал решетки, σ – матрица Паули. Выполняя в (3.15) интегрирование по dq||, получим

38

где

Выражение для вероятности перехода запишем в виде:

дексами d и e отмечены прямой и обменный матричные элементы перехода. Вычисление семикратного интеграла в правой части (3.22) существенно упрощается, если учесть, что релаксация электронов внутри подзоны 3 происходит значительно быстрее других релаксационных процессов. В этом случае можно, не теряя точности вычислений, предположить, что все электроны в подзоне 3 находятся вблизи ее дна. Тогда в подынтегральной функции в правой части (3.22) можно положить k3 = 0. При этом

Характерная зависимость τaug-1 ( v ) изображена на рис. 3.4.

Обсудим роль разогрева носителей за счет внутриподзонного поглощения света. В случае обычной межзонной оже-рекомбинации учет разо-

39

грева (точнее, квазиравновесной нефермиевской части функции распределения, см., например, [68]) принципиально важен, т.к. лишь носители с кинетической энергией, превышающей определенное пороговое значение могут участвовать в оже-процессе. Для рассматриваемых в настоящей работе процессов оже-типа это не так – в них могут участвовать электроны в подзоне 3, даже если их кинетическая энергия равна нулю. Роль разогрева

Рис. 3.4. Зависимость скорости оже-переходов 3v → 11 от

v = E03 − 2E01 − Ev

здесь в некотором смысле играет фотовозбуждение носителей на переходах между подзонами 2 и 3. Этот процесс учитывается в нашей модели явным образом. Нужно лишь, чтобы величина v была положительной, что и предполагается в работе. В рассматриваемом нами случае глубоких кван-

товых ям и достаточно больших hω из-за малости коэффициента внутриподзонного поглощения света (на 2-3 порядка меньше, чем для межподзонного поглощения) разогрев электронов светом оказывается слабым. Так в наиболее актуальной области интенсивностей j ~ jth изменение электронной температуры, как показывают грубые оценки, едва ли может превысить 10 К. Это, конечно, не может привести к каким-либо ощутимым последствиям для рассматриваемых в работе эффектов. В области же высоких интенсивностей разогрев (в широком смысле) электронов должен приниматься во внимание наряду с другими факторами, осложняющими анализ в этом случае (см. заключительную часть § 3.4). Однако действительно существенную роль внутриподзонное фотовозбуждение носителей могло бы, в принципе, играть лишь при малых значениях v d 30÷50 мэВ. Заметим, что возможное увеличение вероятностей процессов оже-типа могло бы лишь увеличить эффективность рассматриваемого механизма каскадно-

40

лавинной генерации пар, понижая пороговое значение jth интенсивности света.

§ 3.4. Уравнения баланса для заселенностей

При составлении уравнений баланса следует иметь в виду, что при больших интенсивностях накачки j концентрации электронов в подзонах 2 и 3 становятся сопоставимыми, и следует учитывать фотоиндуцированные переходы как с поглощением, так и с испусканием фотона. Сказанное не относится к переходам v → 1, 1 → 2 и 3 → с, так как конечные состояния для этих переходов практически не заполнены из-за отдаленности от минимумов соответствующих подзон в квантовой яме или в зоне проводимости. Обладая относительно большой кинетической энергией, электроны или дырки в этих конечных состояниях быстро теряют ее за счет внутризонной или внутриподзонной релаксации и покидают область резонанса.

Система уравнений для концентраций неравновесных дырок p в ва-

лентной зоне, электронов n1,2,3 в трех подзонах зоны проводимости и электронов в непрерывном спектре зоны проводимости nc имеет вид:

(3.28), Wc3 — скорость захвата электронов из непрерывного спектра зоны проводимости в подзону 3 в квантовой яме. Индекс q принимает значения 1 или 2 для случаев одно- и двухфотонного перехода между валентной зоной в области B и подзоной 1 в квантовой яме. В уравнениях (3.28) фигурируют «двумерные» концентрации p, p0, nc частиц непрерывного зонного спектра, которые отличаются от обычных концентраций p%, p%0 , n%c множи-

комбинацию электронов в зоне проводимости и в подзоне 1 с дырками в валентной зоны области B. Величина p0 обозначает равновесную концентрацию дырок. Равновесную концентрацию электронов в зоне проводимости для простоты считаем равной нулю.

41

Состояния двух электронов в подзоне 2, куда они попадают в результате оже-перехода 31 → 22, в силу законов сохранения энергии и импульса характеризуются при не очень малых значениях расстройки резонанса ω −ω21 относительно большими значениями волновых векторов k21 и k22 .

Тем не менее, в рассматриваемой здесь модели, как показывают численные расчеты, концентрация n2 может при актуальных интенсивностях света j оказаться достаточной для заполнения этих состояний. При этом имеет место насыщение вероятностей оже-переходов, которое мы приближенно

описываем множителем [1+ (n2 nf ) r ] −1 . Приведенные ниже результаты

численных расчетов получены при использовании значений nf ≈ 3·1012 см-2, r = 4. Варьирование в разумных пределах значений nf и r, равно как и вероятности Wc3 захвата свободного электрона квантовой ямой, не приводит к качественному изменению результатов. Это обстоятельство, а также исследование зависимости решений (3.28) от других параметров (см. обсуждение в § 3.5), позволяет рассчитывать на то, что качественный характер результатов не изменится за счет многочастичных эффектов (см. обсуждение в § 2.4). В принципе, изменение заселенностей электронов в подзонах 1, 2, 3 может оказывать некоторое влияние на величины σi,i+1. Тем не менее, этот эффект едва ли может быть существенным в рассматриваемом нами случае глубоких квантовых ям, когда при всех актуальных значениях концентраций ni плазменные частоты электронов в яме ωp малы по сравнению с зазорами ωij между подзонами размерного квантования.

На рис. 3.5 показаны зависимости заселенностей n1,2,3 и nc от времени, прошедшего с момента включения накачки. Видно, что изменение за-

селенностей всех актуальных состояний происходит в некоторый момент времени (для выбранных значений параметров это 3.1 нс) скачкообразно. На рис. 3.6 изображены зависимости времени установления квазиравновесного распределения электронов τeq от интенсивности накачки j для одно- и двухфотонного варианта эффекта фотонной лавины.

На рис. 3.7 (а, б) приведены зависимости квазиравновесных заселенностей n1,2,3 и nc от интенсивности накачки j. В расчете были использованы следующие значения параметров, фигурирующих в правых частях уравне-

σv(2)1 =104 см2 МВт-2 пс-1 , d1 = 0.01 см2с−1, dс = 0.003 см2с−1, см. также § 3.2.

42