Материал: Эффект фотонной лавины в кристаллах и наноструктурах. Монография (Перлин), 2007, c.120

гией E01 нижней подзоны в яме, выражение для скорости переходов между первой и второй подзонами, полученное в работе [45], принимает вид:

где ε∞ и ε0 – высокочастотная и статическая диэлектрические проницаемости. В работе [52] вместо (2.20) получено выражение

где Λ – функция кинетической энергии электрона, принимающая в актуальной для нас области энергий значения ~ 1÷2×10−1. Обе формулы дают оценку W21 ~ 1011с-1 .

§ 2.4. Уравнения баланса для заселенностей электронов в подзонах размерного квантования

Кинетику фотопереходов в квантовых ямах мы будем описывать с помощью уравнений баланса для населенностей электронов в подзонах. Ясно, что такой подход к решению задачи является весьма грубым, т.к. явным образом не учитывается кинетика электронов внутри каждой из подзон. Вместе с тем, имеется ряд факторов, которые все же позволяют считать данное приближение удовлетворительным. Прежде всего, это малость вероятностей запрещенных непрямых внутризонных фотопереходов по сравнению с вероятностями разрешенных прямых межподзонных переходов. Внутриподзонные и непрямые межподзонные фотопереходы приводят к появлению высокоэнергетических хвостов функций распределения электронов в подзонах. Однако число электронов в этих хвостах незначительно, как из-за слабого внутриподзонного поглощения, так и благодаря коротким временам внутриподзонной релаксации. Роль этих хвостов в принятой модели фотонной лавины мала, и можно считать, что при низких температурах практически все электроны, находящиеся в какой-либо подзоне заполняют состояния на ее дне вплоть до уровня Ферми. При составлении уравнений баланса следует иметь в виду то обстоятельство, что при больших интенсивностях накачки j концентрации электронов во всех трех подзонах размерного квантования в квантовых ямах становятся сопоставимыми. При этом следует учитывать межподзонные переходы как с поглощением, так и с испусканием фотона. Сказанное не относится к переходам 2 → 1, так как электроны, попавшие в подзону 2 из подзоны 1 за счет слабого поглощения света и из подзоны 3 благодаря межподзонной релаксации и оже-процессам 31 → 22, сначала оказываются в состояниях, далеких от дна подзоны 2. Затем за времена ~ 10-13 с они релаксируют в область

24

вблизи дна подзоны, откуда вынужденные переходы в подзону 1 с испусканием фотона невозможны из-за отсутствия резонанса.

Система уравнений для концентраций электронов в трех подзонах зоны проводимости имеет вид:

n&1 = −σ12 jn1 +W21n2 +W31n3 −W31,22 (n1,n3 )

c начальными условиями ni(0) = n0δ1i. В формулах (2.22) Wij (i > j) – скорости релаксационных переходов из i-й подзоны в j-ю, σji – сечения оптических переходов между j-ой и i-ой подзонами. При численных расчетах удобно пользоваться уравнениями баланса именно в форме (2.22), хотя благодаря соотношению n1 + n2 + n3 = n0 можно свести (2.22) к системе из

двух нелинейных уравнений. Оценка сечений σji производится с учетом того, что матричные элементы переходов в случае поля, направленного вдоль оси роста наноструктуры Z, для квантовой ямы с бесконечными стенками равны:

а типичные ширины полос межподзонного поглощения составляют 10÷30 мэВ (см., например обзор [53]). Тогда для резонансных переходов

между соседними подзонами получим σi,i+1 4 см2/(пc МВт) (a/10 нм)2. Значение σ12 для нерезонансного непрямого перехода уменьшается с уве-

личением расстройки резонанса η [см. формулу (2.6)]. При η ~ 100 мэВ величина σ12 оказывается на 4÷5 порядков меньше, чем σ23.

Вообще говоря, положение пиков и интенсивности межподзонных переходов зависят от уровня легирования квантовой ямы, в том числе, благодаря многочастичным эффектам. Теоретическое рассмотрение соответствующего круга вопросов дано в обзоре [54]. Как показывает сравнение теории с экспериментом (см., например, [55]), вклад в коротковолновый сдвиг пиков межподзонного поглощения инфракрасного света вносят эффекты деполяризации (плазмонный сдвиг), эффекты экситонного типа (взаимодействие возбужденного электрона с дыркой в основном состоянии), а также эффекты прямого и обменного кулоновского взаимодействия. В рассматриваемой нами ситуации уровень легирования, т.е. величина n0, не меняется. В принципе, перераспределение электронов между подзонами 1, 2, 3 может оказывать некоторое влияние на величины σi,i+1. Повидимому, этим эффектом можно пренебречь в случае, когда плазменная частота электронов в квантовой яме ωp мала по сравнению с зазорами ωij между подзонами размерного квантования. В случае глубоких и узких

25

квантовых ям (см. ниже обсуждение в § 2.5) это условие выполняется при всех актуальных концентрациях n0. Впрочем, сколько-нибудь корректный учет этого эффекта весьма сложен и выходит за рамки нашего анализа.

Вернемся к формулам (2.16–2.19). Если безразмерный параметр

расстройки резонанса λ% d 1, то скорость W31,22 переходов оже-типа 31 → 22 слабо зависит от λ% и может быть представлена в виде

В этом случае система уравнений баланса (2.22) приводится к более простой форме:

Относительная простота системы нелинейных уравнений (2.25) позволяет провести ее качественное исследование с помощью стандартных методов нелинейной динамики. Как нетрудно убедиться, для системы (2.25) имеются две стационарных точки, а именно, стабильный узел и нестабильный узел. При σ12 = 0 (отсутствует поглощение света на нерезо-

нансных переходах между первой и второй подзонами размерного квантования) и n0γ >Wpq эти две стационарные точки вырождаются в одну при

бифуркационном значении интенсивности j = jth , где

особенности решений нелинейной системы (2.25) сохраняются, становясь с увеличением σ12 все более сглаженными. Эти особенности проявляются в виде резкого возрастания квазиравновесных значений n2 и n3 и убывания n1 при увеличении j вблизи jth. При интенсивностях света, близких к jth происходит также резкое возрастание времени τeq установления квазиравновесных населенностей. Для населенностей np, близких к квазиравновесным

значениям np∞, выполняется соотношение np∞ − np ≈ np∞ exp(−t τc ) , где τc

можно назвать временем эквилибрации. Для систем, подобных рассматриваемым нами, обычно τeq ~ 3 −5 τc . При j = jth , и при выполнении неравен-

ства n0γ >Wpq получим:

26

В отличие от пороговой интенсивности jth время эквилибрации τc зависит от сечения σ12 оптического поглощения на переходах между подзонами 1 и 2, уменьшаясь при увеличении σ12.

§ 2.5. Результаты численного решения уравнений баланса и их обсуждение

Результаты численного решения системы нелинейных уравнений (2.22) даны на рис. 2.3−2.6. На рис. 2.3 представлены типичные зависимости концентраций ni от времени t, прошедшего с начала импульса накачки с интенсивностью j = 0.7 МВт/см2.

Рис. 2.3. Зависимости концентраций носителей в подзонах от времени с мо-

мента включения импульса накачки (пояснения в тексте)

В расчете использовались следующие значения параметров, фигури-

данном случае τeq ≈ 12.5 пс) устанавливается квазиравновесное распределение электронов в подзонах 1, 2, 3, причем концентрация электронов в подзонах 2 и 3 оказывается при выбранных значениях параметров выше, чем в нижней подзоне 1.

27