Материал: Эффект фотонной лавины в кристаллах и наноструктурах. Монография (Перлин), 2007, c.120

фермиевскими функциями распределения, соответствующими мгновенным концентрациям nc (t), nc1 (t) и p(t) электронов и дырок. Так в форму-

Аналогичным образом вводятся функции распределения fc и fp электронов в зоне c и дырок в зоне v, соответствующие энергиям εc (k(vcn) ) и εv (k(vcn) ) в точке n-фотонного резонанса k(vcn) между зонами v и c. В случае

относительно больших квантов возбуждающего света (hω t 1 эВ) и не очень малых продолжительностей световых импульсов (τI t 1 пс) такое приближение оказывается не очень плохим с учетом малых сечений внутризонного поглощения света и коротких времен внутризонной релаксации

электронов и дырок. Разумеется, в области бóльших длин волн (hω d 0.1 эВ) пользоваться этим приближением нельзя (см. [67]).

Для вычисления химических потенциалов μc и μp ( μp > 0) для элек-

тронов и дырок, фигурирующих в формулах для функций распределения, воспользуемся трансцендентными уравнениями:

Таким образом, требуется получить самосогласованное решение системы нелинейных дифференциальных уравнений (5.26) и трансцендентных уравнений (5.30). Сложность этой задачи делает невозможным качественный анализ динамики системы типа того, что был проведён в § 2.4, и получение простых формул для пороговых интенсивностей света и времен установления квазиравновесных населенностей в электронной системе. Поэтому будем использовать результаты численных расчётов, которые приводятся в следующем параграфе.

83

§ 5.5. Результаты численного решения уравнений баланса

На рис. 5.6-5.7 приведены результаты численного решения уравнений (5.26-5.30) для случая l = 2. На рис. 5.6 (а, б, в) сплошными линиями даются зависимости квазиравновесных концентраций электронов в обеих зонах проводимости (nc, nc1 ) и дырок в валентной зоне (p) от интенсивности све-

та. На этих рисунках штриховыми линиями показаны те же зависимости, рассчитанные с теми же параметрами, но без учета трехфотонных процессов оже-типа. На рис. 5.6 (г) дается зависимость времени установления квазиравновесных населенностей τeq от интенсивностей. Отметим следующие качественные особенности этих зависимостей. Имеется четко выраженное скачкообразное увеличение концентраций неравновесных носителей с ростом j вблизи порогового значения (при выбранных значениях параметров jth ≈ 2.7 1010 Вт/см2). При этом значении интенсивности происходит резкое возрастание времени τeq. Указанные особенности являются типичными для эффекта фотонной лавины, причем в рассматриваемом случае реализуется многофотонная лавина. Видно также, что концентрации неравновесных носителей при j > jth оказываются на 1-2 порядка выше, чем при обычных многофотонных межзонных переходах с вероятностями, рассчитанными при тех же значениях параметров.

На рис. 5.6 (г) видно, что при j ~ 1012 Вт/см2 время τeq ~ 1 пс. При уменьшении интенсивности j времена τeq быстро возрастают и для j ~ 1011 Вт/см2 оказываются уже в наносекундном диапазоне, тогда как максимальный практический интерес представляет взаимодействие с твердыми телами более коротких импульсов. Поэтому следует также рассмотреть генерацию неравновесных электрон-дырочных пар при продолжительностях лазерных импульсов τp, малых по сравнению с τeq.

На рис. 5.7 (а, б, в) показаны зависимости от интенсивности концентраций nc, nc1 и p, возникших в результате действия импульсов с продол-

жительностями 1, 5, 10 и 50 пс. Приведенные зависимости построены для импульсов, имеющих гауссову форму. Видно, что и здесь имеется область чрезвычайно резкого роста концентраций с увеличением интенсивности (при росте j на 30-40% концентрации возрастают на 4-5 порядков). При этом возможна ситуация, когда совсем небольшого увеличения интенсивности света оказывается достаточным для перехода от обратимого предпробойного возбуждения материала к его деструкции, возникающей при концентрациях неравновесных носителей, превышающей 1019 см−3. Если обозначить через jth′ интенсивность, вблизи которой скорость изменения,

например, p(j) максимальна, то имеем следующую приближенную зависи-

мость: j′ τ −13 .

th p

84