Материал: Эффект фотонной лавины в кристаллах и наноструктурах. Монография (Перлин), 2007, c.120
ГЛАВА 2. ЭФФЕКТ ФОТОННОЙ ЛАВИНЫ В ЛЕГИРОВАННЫХ КВАНТОВЫХ ЯМАХ
§ 2.1. Схема фотонной лавины в легированной квантовой яме
Рассмотрим глубокую прямоугольную квантовую яму для электронов с шириной 2a и глубиной Ec (см. рис. 2.1). Пусть в яме существует не менее
Рис. 2.1. Схема оптических и оже-переходов при фотонной лавине в легиро-
ванных квантовых ямах
трех подзон размерного квантования, которые мы пронумеруем в порядке возрастания энергии как 1, 2 и 3. Предполагается, что ямы равномерно легированы. При этом в отсутствие оптической накачки электроны с концентрацией n0 заполняют состояния вблизи дна нижней подзоны 1 до квазиуровня Ферми EF, тогда как подзоны 2 и 3 практически не заселены. Пред-
полагается, что энергетические зазоры между подзонами hωij велики по
сравнению с EF и T. Считаем также, что ω32>ω21, причем h(ω32 – ω21) > EF, T, а частота падающего света ω попадает в резонанс с переходом между
второй и третьей подзонами: ω ≈ ω32. При малых интенсивностях света j идут лишь очень слабые фотопереходы в области далекого коротковолнового крыла полосы поглощения между подзонами 1 и 2. Эти переходы являются непрямыми в двумерном k-пространстве. Они происходят в состояния, далекие от дна подзоны 2 с передачей большого поперечного импульса, например, за счет участвующих в элементарном акте фононов. При увеличении интенсивности j те немногие электроны, которые оказались в подзоне 2, быстро (за времена ~ 10−13 c) попадают на дно этой подзоны, по-
18
сле чего могут либо опуститься еще ниже и вернуться в подзону 1, либо поглотить фотон hω и оказаться в подзоне 3. Сила осциллятора для резонансных разрешенных переходов 2 → 3 очень велика, т.к. определяется геометрическими размерами квантовой ямы. Из подзоны 3 электроны могут «свалиться» в подзоны 2 и 1 (скорости этих процессов рассматриваются в § 2.3). В то же время, как будет показано ниже (см. § 2.2), большой эффективностью обладает и процесс оже-типа 31 → 22: столкновение электрона в подзоне 3 с электроном в подзоне 1 приводит к тому, что они оба попадают в подзону 2. Каждый из этих электронов может таким же образом привести к появлению двух электронов в подзоне 2 и т.д. При больших интенсивностях света благодаря этому механизму скорость прихода электронов в подзону 2, превышает скорость их ухода в подзону 1 за счет межподзонной релаксации. В этом случае и происходит лавинообразное увеличение заселенности. Поскольку ключевую роль для эффекта фотонной лавины в квантовых ямах играют межподзонные переходы оже-типа
31→ 22, рассмотрим их подробнее.
§2.2. Вероятности переходов оже-типа 31 → 22
Вероятность перехода между состоянием, в котором имеется по одному электрону в подзонах 3 и 1 с двумерными волновыми векторами k3 и k1, и состоянием, где оба электрона оказываются в подзоне 2 с волновыми векторами k21 и k22, равна:
|
W (k3 ,k1 |
;k21,k22 ) = |
2π |
|
(d) |
(exc) |
) |
2 |
× |
|
|
h |
(Mk3 ,k1;k21 |
,k22 + Mk3 ,k1;k21 ,k22 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.1) |
|
|
|
|
×δ(E3k3 |
+ E1k1 |
− E2k21 |
− E2k22 ), |
|
|
|
|
где E |
= E |
+ h2k |
2 2m − энергия электронов с эффективной массой mc и |
|||||||
ik |
i0 |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
двумерным волновым вектором k в i-ой подзоне, Ei0 обозначает энергию
дна i-й подзоны размерного квантования, M (d) |
и M (exc) |
− прямой и |
ki ,k j ;kk ,kl |
ki ,k j ;kk ,kl |
|
обменный матричные элементы оператора межэлектронного кулоновского взаимодействия. Эти матричные элементы строятся на волновых функциях:
ψi,ki (r) = |
1 |
eiki r ϕi (z)uc0 (r) , |
(2.2) |
|
S |
||||
|
|
|
где S – площадь квантовой ямы, z и r – проекции вектора координаты электрона на направление оси роста наноструктуры (ось Z) и на плоскость квантовой ямы соответственно, ϕj(z) − огибающая волновая функция для i- го уровня, uck(r) – блоховская амплитуда для зоны проводимости. Согласно закону сохранения квазиимпульса для рассматриваемого процесса
k3 −k21 = k22 −k1 ≡ q . |
(2.3) |
19
Для вычисления матричного элемента кулоновского взаимодействия его следует представить в виде трехмерного ряда Фурье:
1 |
= |
4π |
∑exp(iq2 |
r) , |
(2.4) |
||
r |
SL |
||||||
|
q |
q |
|
|
|||
где L – линейный размер материала в направлении оси Z. Используя (2.4), получим после ряда стандартных преобразований следующее выражение для прямого матричного элемента:
(d ) |
|
2πe2 |
2a |
2a |
e−q|z1−z2| |
|
|
|
|
||
Mk3 ,k1 ,k3 −q,k1+q |
= |
|
|
∫dz1 |
∫dz2 |
|
ϕ3 |
(z1)ϕ2 (z1)ϕ1 |
(z2 )ϕ2 (z2 ) , |
(2.5) |
|
S εL |
(Ω,q) |
q |
|||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
||||
где εL (Ω,q) – продольная диэлектрическая проницаемость, зависящая от
переданных при взаимодействии двух частиц энергии hΩ и импульса hq. Рассматриваемые нами процессы характеризуются большими значениями q. Дело в том, что величина q определяется расстройкой резонанса
η = (E30 + E10 − 2E20 ) h(ω −ω21) |
(2.6) |
на переходе между первой и второй подзонами. По смыслу рассматриваемой задачи расстройка η не может быть малой, иначе (в случае эквидистантных подзон размерного квантования) будет идти обычное каскадное поглощение света. Существенно, что диэлектрическая проницаемость не имеет особенностей в актуальной области значений q.
Выражение для обменного матричного элемента M (exc) |
отли- |
k3 ,k1 ,k3 −q,k1+q |
|
чается от приведенного выше [формула (2.5)] заменой в правой части q на q′ ≡ q + (k1 −k3 ) . В модели прямоугольной квантовой ямы с бесконечно
высокими стенками волновые функции ϕn(z) имеют вид:
ϕn |
(z) = |
1 |
nπ z |
|
a |
sin |
. |
||
|
|
|
2a |
|
Вводя обозначение ξ ≡ 2qa , получим из (2.5, 2.7):
|
M (d) |
|
|
= 16πe2a |
× |
|
k3 ,k1 ,k3 |
−q,k1 |
+q |
Sεξ |
|
|
|
|
|
|
|
×2∫a dx1 |
2∫a dx2 e−ξ|x1−x2|sin3π x1 sinπ x2 sin 2π x1 sin 2π x2. |
||||
0 |
0 |
|
|
|
|
Вычисляя двойной интеграл в правой части (2.8), получим:
(d) |
16πe2a % (d ) |
(ξ), |
|
Mk3 ,k1 ,k3 −q,k1+q = |
SεLξ |
M |
|
|
|
|
|
(2.7)
(2.8)
(2.9)
20
|
|
|
6 |
2 |
4 |
|
4 |
−384) + 225π |
6 |
|
4 |
−ξ |
|
|
% (d ) |
|
ξ |
+ 35π ξ |
|
+ |
π ξ(259ξ |
|
|
−384π ξ e |
|
|
(2.10) |
||
M |
(ξ) = |
|
|
4(ξ2 |
+π 2 )2 (ξ4 |
+ 34π 2ξ2 + 225π 4 ) |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Считаем для простоты, что электроны в подзонах 1 и 3 заполняют состояния на дне подзоны до соответствующего квазиуровня Ферми. Состояния в подзоне 2, где электроны оказываются в результате процесса оже-типа 31 → 22, расположены далеко от дна подзоны, т.к. в силу законов сохранения энергии и импульса они характеризуются при не очень малых значениях расстройки резонанса η достаточно большими значениями волновых векторов k21 и k22. Поэтому заполнение этих состояний можно не учитывать. Тогда для полной вероятности переходов 31 → 22 имеем:
W31,22 = |
S3 |
|
∫ |
dk1 |
∫ |
dk3 ∫dq W (k3 ,k1;k3 −q,k1 + q) , |
(2.11) |
(2π) |
6 |
||||||
|
|
k ≤k |
k ≤k |
3F |
|
||
|
|
|
1 |
1F |
3 |
|
|
где kiF – граничные волновые числа Ферми для i-ой подзоны. Представим δ-функцию в правой части (2.1) в виде
=δ(E3k3 |
+ E1k1 − E2(k3 −q) − E2(k1+q) ) = |
|
|
|
|||||
= m2c |
δ |
(λ − q2 −q (k1 −k3 )), |
|
|
(2.12) |
||||
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ = mc (E + E |
|
− 2E |
|
) ≡ mc η mc (ω −ω |
|
) . |
(2.13) |
||
h2 30 |
10 |
|
20 |
h2 |
h |
21 |
|
|
|
Выполняя с помощью δ-функции интегрирование по углу между двумер-
ными векторами q и (k1−k3), получим вместо |
выражение |
|
||||
→ |
|
mc |
|
|
. |
(2.14) |
h2 (q | k1 |
−k3 | −λ + q2 )(q | k1 |
|
|
|||
|
−k3 | +λ − q2 ) |
|
||||
Пределы интегрирования по q = |q| в (2.11) таковы, что подкоренное выражение в знаменателе (2.14) всегда положительно. Вводя безразмерные величины
ni ≡ 4a |
2 |
% |
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
% |
= 4λa |
2 |
, |
|
|
ni , ki ≡ 2aki , |
kFi ≡ 2akFi |
= 2 π ni , λ |
|
||||||||||||||
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
s2 (θ) = |
1 |
| k% |
1 −k% |
3 |= |
1 |
|
k%12 + k%32 − 2k%1k%3 cosθ , |
|
(2.15) |
||||||||
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
p2 (θ) = |
1 |
k%2 |
+ k%2 |
− 2k%k% |
cosθ + 4λ% , |
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
||||
где ni – концентрации носителей в i-ой зоне, θ – угол между k1 и k3, получим:
21
Рис. 2.2. Интеграл I (d ) (n%1, n%3 ,λ%) в формулах (2.15, 2.16) как функция от n%3 при различных значениях λ%(а) и как функция λ% при различных значениях n%3 (б); n%1 = 0.5
22