Материал: Дискретные методы исследования социальных процессов

·              Анализ надёжности. Полная подсистема для анализа надёжности, поддерживающая блок схемы расчёта надёжности, деревья неисправностей, модели ненагруженного резервирования, и критерии важности.

·              Анализ выживаемости. Широкая поддержка цензурированных данных, оптимизированные платформы для параметрического и непараметрического моделирования выживаемости, а также ряд универсальных функций для проверки гипотез.

·              Развёрнутая поддержка теории вероятностей и статистики. Расширенные возможности по теории вероятностей и статистике, в том числе критерии статистической независимости, новые тесты для проверки статистических гипотез, поддержка взвешенных данных, а также новые параметрические и вторичные распределения вероятностей.

·              Расширенная поддержка графов и сетей. Новые и оптимизированные распределения вероятностей на графах, функции расчёта транспортных сетей, а также повышенная производительность подсистемы в целом.

·              Встроенная интеграция с языком R. Использование кода на языке R в процессе работы в системе Mathematica, обмениваясь данными между системой Mathematica и средой R, и выполняя R код непосредственно из системы Mathematica. Включает автоматическую загрузку среды выполнения R.

·              Обработка 3D объемных изображений. Подсистема по обработке изображений теперь поддерживает операции с трехмерными объемными изображениями, такие как пиксельные операции, локальное фильтрование, и морфологические операции. Также включает рендеринг трехмерных поверхностей и объёмов.

·              Новые передовые алгоритмы обработки изображений. Функции определения контура, распознавания лиц, функции улучшения изображений и другие высоко оптимизированные алгоритмы позволяют выполнять всесторонний анализ изображений.

·              Интерактивный помощник в работе с изображениями. Новый способ находить функции по работе с изображениями, используя указательный интерфейс-не покидая среды блокнота системы Mathematica.

·              Поддержка больших изображений. Работая с внешней памятью, система Mathematica 10 расширяет масштабы производительности до очень больших двумерных и трехмерных изображений.

·              Поддержка HDR изображений. Импортирование изображений с высоким динамическим диапазоном (HDR) и данных цветового профиля, а также улучшенная поддержка форматов JPEG и PNG.

·              Интегрированная поддержка обработки цифровых и аналоговых сигналов. Фильтрование и анализ сигналов-аудио, изображения, многомерные данные - а также непосредственное создание и использование интерактивных фильтров. Поддержка SystemModeler.

·              Расширенная функциональность систем управления. Построение моделей с запаздыванием или алгебраическими уравнениями, и их использование с полным набором функций систем управления в системе Mathematica. Автоматическое построение ПИД-регуляторов в соответствии с заданными критериями.

·              Значительные расширения в нахождении численных решений дифференциальных уравнений. Решение дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами, гибридных дискретно-непрерывных динамических систем, параметрических дифференциальных уравнений, а также дифференциально-алгебраических уравнений.

·              Встроенная поддержка символьных тензоров. Эффективная поддержка символьных массивов, от простых векторов до массивов произвольного ранга, размерности или симметрии. Новые и улучшенные базовые алгоритмы. Новые специальные функции, улучшения по функциям линейной и полиномиальной алгебры, а также значительное увеличение быстродействия по системе в целом.

·              Другие новые улучшения. Поддержка векторного анализа, в том числе векторного исчисления и координатных систем. Встроенная поддержка производственного и других календарей.

·              Расширенные визуализация и элементы управления. Высоко настраиваемые интерактивные индикаторы для приборных досок и элементов управления, системная поддержка автоматических легенд на графиках и диаграммах, а также новые функции визуализации, специализированные для обработки сигналов.

·              Новые форматы для функций импорта и экспорта. Широкая поддержка новых форматов данных, в таких дисциплинах как молекулярная биология, обработка изображений с высоким динамическим диапазоном, химическая спектроскопия.

·              Поддержка полного спектра интернет доступа. Полный доступ к интернету со стороны клиента для обмена информацией с удалёнными серверами, и для работы с программными интерфейсами веб-приложений. Асинхронное соединение для программирования в стиле AJAX.

·              Перепроектированные шаблоны слайд-шоу. Обновлённый внешний вид слайд-шоу, использующий новые стилевые шаблоны, и с поддержкой фоновых изображений.

·              Другие новые улучшения. Низкоуровневая поддержка операций ввода-вывода для потоков данных. Расширенная документация с рекомендуемыми примерами и учебными ресурсами. Переработанное стандартное стилевое оформление и новые шаблоны.

Новый проект Mathematica 10 в первую очередь представляет собой специализированное программное обеспечение для учёных, студентов ВУЗов и школьников, которые готовятся к экзаменам и решают домашние задания по высшей математики [7].

Глава 2. Математические модели в социологических исследованиях

2.1 Модели демографических процессов

Конструктивный синтез социальных наук и математики требует введения адекватных способов измерения социальных величин. Одной из наиболее доступных для непосредственного измерения социальных величин является численность людей. Поэтому неудивительно, что именно область демографии привлекает исследователей, давая надежды на успех в построении количественной теории. Примечательно, что и проникновение математических методов в социальную сферу во многом проходило под флагом описания популяционной динамики животных.

Численность популяции может меняться во времени различным образом: расти, совершать колебания, падать и причины этого могут быть различны. Здесь мы рассмотрим модели роста популяций и математический аппарат, позволяющий описывать динамику численности разных популяций.

Однако несмотря на измеримость данных и, более того, на очевидность формулы, вытекающей из закона сохранения и описывающей демографическую динамику:

, (4)

где N - число людей, B - число рождений и D - число смертей в единицу времени, на микроуровне оказывается, что и число рождений, и число смертей зависят от многих других социальных параметров, и в том числе от "человеческого фактора" - принятия решений отдельными людьми, слабо поддающегося формализации.

Кроме того, формула (4) не учитывает перемещения людей в пространстве, а следовательно она должна быть расширена:

,

где вектор J соответствует миграционному потоку. В этом случае задача еще больше усложняется, поскольку миграционные процессы еще сильнее подвержены влиянию внешних факторов.

Поэтому описание демографических процессов на микроуровне наталкивается на существенные проблемы, связанные, прежде всего, с неразработанностью формальных социальных законов, увязывающих экономические, политические, этические и прочие факторы, определяющие поведение малых групп людей.

Таким образом, единственным пока доступным подходом является макроописание, не вдающееся в мелкие детали демографического процесса и описывающее динамику больших людских масс, для которых влияние человеческого фактора заметно ниже.

Рассмотрим модель, предложенную Мальтусом в 1798 г. в классическом труде "О законе роста народонаселения". Томас Роберт Мальтус (1766-1834) - известный английский демограф и экономист, обратил внимание на тот факт, что численность популяции растет по экспоненте (в геометрической прогрессии), в то время как производство питания растет со временем линейно (в арифметической прогрессии), из чего сделал справедливый вывод, что рано или поздно экспонента обязательно "обгонит" линейную функцию, и наступит голод. На основании этих выводов Мальтус говорит о необходимости ввести ограничения на рождаемость, в особенности для беднейших слоев общества. "Экономический пессимизм", следующий из прогнозов предложенной им модели, в основу которой положен анализ эмпирических данных, Мальтус противопоставлял модным в начале IXX века оптимистическим идеям гуманистов: Жана-Жака Руссо, Уильяма Годвина и других, предсказывающих человечеству грядущее счастье и процветание. Можно говорить о том, что Мальтус был первым ученым - "алармистом", который на основании результатов моделирования "бил тревогу" и предупреждал человечество об опасности следования развитию по используемым ранее сценариям прогресса.

Динамика популяций в соответствии с моделью Мальтуса протекает по закону:

где q - некоторое число, большее единицы, а x_n есть численность популяции в n-м году.

Пусть в год Рождества Христова число жителей некоторого города было равно х_0. Через год его численность будет равна x₁ = qx₀. В году с номером n его численность будет равна x_n= qⁿ x₀.

В экономической интерпретации x_{n -} величина вклада в банке в n-м году, а величина q определена процентной ставкой.

Удобно рассмотреть вариант q= 1,03, что соответствует ежегодному 3% -му приросту населения, а в экономической интерпретации начислению 3% годовых на начальный вклад, график функции на рис.3. Оценим как происходит рост населения. Через сколько лет удвоится населения города?

Разумеется, что при ежегодном росте в 3 % гарантировано удвоение через 34 года. Однако эффект начисления процентов на проценты приводит к тому, что уже через 24 года величина x₀ удвоится:

₂₄ = (1,03) ²⁴ · x₀ = 2,032793 · x₀ > 2 · x_0.

Нетрудно посчитать, что через 48 лет население увеличится в 4 раза, через 64 года - в 8 раз, а через 24 n лет - более, чем в 2 ⁿраз. К 1992 году население увеличилось более, чем в 2⁸³ раз, т.к. 1992 = 24*83. Т.е. численность потомства одной пары, жившей во времена Рождества Христова равна 2⁸³*2 = 2⁸⁴ (х₀ = 2).

Таким образом посчитали, что при трехпроцентном ежегодном росте населения количество потомков одной пары современников Христа составит в среднем более 10²⁵ человек. Это такое количество, что если каждому человеку выделить на Земле один квадратный сантиметр, то все они на Земле не поместятся.

Действительно, т.к.2¹⁰ = 1024, то

⁸⁴ = (2¹⁰) ^8,4 = 1024 ^8,4> (10³) ^8,4> 10 ²⁵.

Рис. 3. График роста величины x_n = (1,03) ⁿ. Сверху: при n, меняющемся от 0 до 10.

Снизу: при n, меняющемся от 0 до 2016, в измененном масштабе по обеим осям.

Итогом обсуждения мальтузианской модели является вывод:

Гипотеза постоянного в течение двух тысячелетий ежегодного трехпроцентного экономического роста (постоянного трехпроцентного роста практически любой величины) опровергается арифметикой.

Эти соображения заставляют прислушаться к аргументам сторонников ограничения экономического роста и качественной диверсификации экономики. Такие идеи высказывались так называемым Римским клубом.

Недостатком модели Мальтуса является то, что она не учитывает системный характер развития. Производство, например, пищи и воспроизводство населения взаимообусловлены посредством множества связей. Естественно, что при слишком большихx: конкуренция за ресурсы (пищу) приводит к уменьшению k. Поэтому жесткая модель Мальтуса нуждается в уточнении, учитывающем зависимость коэффициента к от численности населения.

Возвращаясь к модели развития науки, заметим, что дальнейший экспоненциальный рост по модели Мальтуса привел бы к тому, что в XX в. исчерпались бы запасы бумаги и чернил, а число ученых достигло бы половины населения земного шара. Ясно, что общество не может этого допустить и, следовательно, развитие науки должно быть подавлено, что и наблюдается во многих странах (в том числе и в России) в виде различного рода реформ академической науки [2, с. 7-8].

Вместо жесткой модели Мальтуса рассмотрим мягкую модель:

_n+1 = kx_n

допускающую выбор разных функций k (х). Простейшим примером является к (х) = а - bх, что приводит к так называемой логистической модели:

_n+1 = ax_n - bx_n² (3.1)

Выбор данной функции может быть обоснован определенными соображениями. Так как ресурсы ограниченны, то естественно пред и итожить, что уровень рождаемое тис ростом численности населения будет падать, а уровень смертности увеличиваться.

Зададим уровень рождаемости функцией:

= r₀ - k_rx

где г₀ - первоначальный уровень рождаемости; k_r - скорость падения уровня рождаемости но мере увеличения численности населения х. Аналогично, уровень смертности может быть найден как:

= d₀ + k_dx

где d₀ - первоначальный уровень рождаемости; k_d - скоростьроста уровня смертности но мере увеличения численности населения. Тогда для коэффициента к в уравнении Мальтуса имеем:

= r - d = (r₀ - k_rx) - (d₀ + k_dx) - = (r₀ - d₀) - (k_r+ k_d) x

Пусть a = (r ₀ - d ₀), a b = (k_r + k_d). Подставив приведенные выражения в уравнение Мальтуса, получим дифференциальное уравнение.

Заметим" что сделанные выводы справедливы для широкого класса моделей с различными убывающими функциями к (х). Логистическая модель удовлетворительно описывает многочисленные явления насыщения. Эмпирический анализ огромного числа природных, технико-экономических и социокультурных процессов показал, что их рост, развитие, распространение подчиняются логистическому закону. В книге Ю.М. Плотинского "Модели социальных процессов" приведено множество примеров, начиная от развития транспорта и коммуникаций до роста народонаселения [18, с.184, 191]. S-Образные кривые хорошо описывают замещение одного вида техники другим, смену технологий, эволюционные процессы в экономической и социокультурном сферах.

Можно привести еще немало примеров успешного использования данной модели на практике.

Экспоненциальная модель с отловом

В этой модели не учитывается конкуренция, зато предполагается, что на каждом такте происходит уменьшение численности популяции на фиксированное число. Это фиксированное число мы обозначим посредством c и будем называть квотой отлова. Модель определяется формулой:

_n+1 = a · x_n - c. (6)

Будем считать, что a > 1.

Вот возможная экономическая интерпретация модели (6):

x_n может означать доход фирмы в n-ый период времени;