Материал: Д6520 Алексеев Математические методы в инженерии

Переменные двойственной задачи (ДЗ):

u_i – потенциал поставщика A_i, i = 1m;

v_j – потенциал потребителя B_j, j = 1n.

Сформулируем в терминах потенциалов критерий оптимальности плана перевозок.

Теорема 2. Пусть Х^* = () – план перевозок ТЗ. Для того, чтобы этот план был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы существовали потенциалы поставщиков u_i, i = 1m, и потенциалы потребителей v_j, j = 1n, удовлетворяющие следующим условиям:

– сумма потенциалов каждого поставщика и каждого потребителя не превосходит соответствующей стоимости перевозки единицы груза, т. е.

; (7)

– если по плану Х* имеет место перевозка от поставщика A_i потребителю B_j, то сумма их потенциалов равна соответствующей стоимости перевозки единицы груза, т. е. если  > 0, то

Таким образом, чтобы выполнить проверку оптимальности плана перевозок, необходимо для всех занятых ячеек составить систему уравнений относительно потенциалов:

u_i + v_j = с_ij. (8)

Так как занятых ячеек m+n–1, а неизвестных потенциалов m+n, то одному из неизвестных нужно придать произвольное значение (обычно полагают u₁ = 0), и тогда остальные потенциалы определяются однозначно. Затем для свободных ячеек проверяются условия (7), или

_ij = u_i + v_j – с_ij ≤ 0 (7)

(_ij называется оценкой соответствующей ячейки). Если все эти неравенства выполняются, то, согласно приведённому выше критерию (теорема 2), план перевозок оптимальный. Если хотя бы одно из неравенств (7) не выполняется, то план не является оптимальным. В этом случае из свободных ячеек с положительной оценкой выбирается та, для которой эта оценка является наибольшей. Если наибольших оценок несколько, то выбирается та из ячеек, где меньше тариф.

В транспортной таблице для выбранной свободной ячейки проводится замкнутая ломаная прямая, звенья которой лежат только в строках или столбцах и соединяют какие-либо две ячейки, а вершины (кроме начальной) расположены в занятых ячейках. Такая ломаная прямая называется циклом.

Для каждой ячейки можно построить только один цикл. Вершинам цикла приписываются чередующиеся знаки, причём свободная ячейка снабжается знаком «+». В ячейках, соответствующих отрицательным вершинам цикла, отыскивается наименьшее значение объёма перевозок, α = min, которое перераспределяется по ячейкам цикла, т. е. прибавляется к переменным в ячейках со знаком «+» и вычитается от переменных в ячейках со знаком «–». В ячейках, не вошедших в цикл, переменные остаются неизменными. Ячейка «–», по которой определялась величина α, остаётся пустой. Если ячеек с наименьшим значением объёма перевозок α несколько, то пустой остаётся одна из них (желательно с большим тарифом).

В результате перераспределения перевозок по циклу получается новый план с меньшими затратами. Примеры некоторых циклов показаны на рис. 1.

Рис. 1. Примеры некоторых циклов

В новом плане вновь определяются потенциалы поставщиков и потребителей, и производится проверка плана на оптимальность. Когда среди оценок не окажется больше отрицательных, полученный план будет оптимальным.

Таким образом, алгоритм решения ТЗ методом потенциалов состоит из следующих этапов:

Этап 1. Составление начального плана перевозок.

Этап 2. Вычисление потенциалов поставщиков и потребителей; проверка оптимальности плана перевозок. Если план оптимальный, то задача решена; иначе следует переход к этапу 3.

Этап 3. Построение нового (улучшенного) плана перевозок, для которого транспортные затраты меньше или, по крайней мере, равны затратам для предыдущего плана. Далее следует переход к этапу 2.

Пример 3. Рассмотрим применение метода потенциалов для нахождения оптимального плана ТЗ, опорный план которой найден методом минимальной стоимости (ММС).

Для определения потенциалов составляем систему уравнений (для занятых ячеек):

u₁+v₂=2, u₁+v₄=1, u₁+v₅=0, u₂+v₃=1, u₃+v₁=3, u₃+v₂=2, u₄+v₁=5, u₄+v₃=2.

Полагая u₁=0, находим v₂=2, v₄=1, v₅=0, u₃=0, v₁=3, u₄=2, v₃=0, u₂=1.

Потенциалы проставлены в таблицу (столбец u_i и строка v_j), которую мы обозначим «Итерация 0». Потенциалы можно вычислять и непосредственно в таблице, не выписывая систему уравнений. Если известны потенциал и тариф занятой ячейки, то из соотношения u_i+v_j = с_ij легко определить неизвестный потенциал (из суммы вычесть известное слагаемое).

Определим оценки свободных ячеек (_ij = u_i+v_j–с_ij):

₁₁ = 0+3–3 = 0, ₁₃ = 0+0–4 = –4, ₂₁ = 1+3–2 = 2, ₂₂ = 1+2–3 = 0,

₂₄ = 1+1–5 = –3, ₂₅ = 1+1–5 = –3, ₃₃ = 0+0–4 = –4, ₃₄ = 0+1–4 = –3,

₃₅ = 0+0–0 = 0, ₄₂ = 2+2–3 = 1, ₄₄ = 2+1–6 = –3, ₄₅ = 2+0–0 = 2.

Далее оценки будем также вычислять непосредственно в таблице, помещая их в левом нижнем углу каждой свободной ячейки. Так как среди оценок есть положительные, то план Х₀ = Х_м.ст не является оптимальным. Перейдём к этапу 3 – улучшению плана Х₀. Для этого выберем ячейку (4,5) (она имеет одну из наибольших положительных оценок (2) и меньший тариф, чем ячейка (2,1) с той же оценкой). Из этой ячейки проводим цикл, в который войдут ячейки (4,5) (отмечается знаком «+»), (1,5) (отмечается знаком «–»), (1,2) (отмечается знаком «+»), (3,2) (отмечается знаком «–»), (3,1) (отмечается знаком «+»), (4,1) (отмечается знаком «–»).

Наименьшее значение груза, стоящее в вершинах цикла со знаком «–», α = min(20,15,25) = 15. Это число прибавляется к переменным в ячейках со знаком «+» и вычитается от переменных в ячейках со знаком «–». В результате получается новый план с меньшими затратами.

Для нового плана Х₁ определяем новые потенциалы и оценки свободных ячеек (итерация 1). Новый план также не оптимален. Перейдём к этапу 3 – улучшению плана Х₁. Для этого выберем ячейку (2,1) (она имеет одну из наибольших положительных оценок (2) и меньший тариф, чем ячейка (1,1) с той же оценкой). Из этой ячейки проводим цикл (табл. 3). В цикл войдут ячейки (2,1) (отмечается знаком «+»), (4,1) (знак «–»), (4,3) (знак «+»), (2,3) (знак «–»). Наименьшее значение груза, стоящее в двух вершинах цикла со знаком «–», одинаково, α = min (10,10) = 10. Из базиса должна уйти только одна переменная; пусть это будет переменная х₄₁ = 10 (тариф этой ячейки больше). Это число прибавляется к переменным в ячейках со знаком «+» и вычитается от переменных в ячейках со знаком «–». В результате получается новый (вырожденный) план с меньшими затратами (итерация 2).

Итерация 2
Вj Аi	30	25	35	20	20	ui
50	3 – 0	2 25	4 – –2	1 20	0 5	0
10	2 10	3 – –2	1 0	5 – –5	0 – –1	–1
20	3 20	2 – 0	4 – –2	4 – –3	0 – 0	0
50	5 – –2	3 – –1	2 35	6 – –5	0 15	0
vj	3	2	2	1	0

Для нового плана все оценки неположительные. Следовательно, полученный план

Х^ =

является оптимальным (фиктивного потребителя в ответе не указываем). Кроме того, план вырожден (базисная переменная х₂₃ = 0) и альтернативен (некоторые оценки ₁₁=₃₂=₃₄ = 0). При данном плане стоимость перевозок z_min = 225 + 120 + 210 + 320 + 235 = 230 ден. ед.

Часто при решении транспортных задач возникает необходимость введения дополнительных ограничений (условий). Рассмотрим наиболее часто встречающиеся условия, используемые при решении задач транспортного типа.

Запрет перевозок от i-го поставщика к j-му потребителю. Для определения оптимальных планов таких задач предполагают, что тариф перевозки единицы груза из пункта А_i в пункт В_j является столь угодно большой величиной M, и при этом условии известными методами находят решение новой транспортной задачи. При таком предположении исключается возможность при оптимальном плане ТЗ перевозить грузы из А_i в В_j. Такой подход к нахождению решения ТЗ называется запрещением перевозок или блокированием соответствующей клетки таблицы данных задачи.

Фиксированная поставка. В отдельных ТЗ дополнительным условием является обеспечение перевозки по соответствующим маршрутам определенного количества груза. Пусть, например, из пункта А_i в пункт В_j требуется обязательно перевезти α_ij единиц груза. Тогда в ячейку таблицы данных ТЗ, находящуюся на пересечении строки А_i и столбца В_j, записывают указанное число α_ij и в дальнейшем эту ячейку считают свободной со сколь угодно большим тарифом перевозок М. Для полученной таким образом новой ТЗ находят оптимальный план, который определяет оптимальный план исходной задачи.

Нижние границы на поставки. Иногда требуется найти решение ТЗ, при котором из пункта А_i в пункт В_j должно быть завезено не менее заданного количества груза α_ij. Для определения оптимального плана какой задачи считают, что запасы пункта А_i и потребности пункта В_j меньше фактических на α_ij ед. Далее находят оптимальный план новой ТЗ, на основании которого и определяют решение исходной задачи. После этого к значению переменной х_ij добавляют α_ij.

Верхние границы на поставки. В некоторых ТЗ требуется найти оптимальный план перевозки при условии, что из пункта отправления А_i в пункт В_j перевозится не более чем α_ij единиц груза, т. е. x_ij ≤ α_ij. Для сведения условия задачи к разрешимому типу поставщика А_i или потребителя В_j (либо того, либо другого) делят на две части, как бы на два самостоятельных поставщика (или потребителя).

Рис. 2. Деление поставщика или потребителя на две части

При этом мощности этих условно самостоятельных поставщиков будут равны:  = α_ij и  = А_i–α_ij. Затраты на поставку продукции от поставщика к В_j и другим потребителям принимаются равными затратам, заданным в матрице C = (с_ij). Затраты на поставку продукции от поставщика к В_j принимаются равными  = М, где М – сколь угодно большое число. Затраты на поставку от к другим потребителям (помимо В_j) принимаются равными заданным в матрице C = (с_ij). Подобный прием обеспечивает положение, при котором переменная x_ij в решении задачи непременно будет равна нулю, в то время как переменная x_ij может принимать любое значение от нуля до a_ij, 0 ≤ x_ij ≤ α_ij. После получения оптимального решения соответствующие переменные поставщиков и (или потребителей и ) складываются.

Условия полного ввоза-вывоза. Аналогично решается задача в случае, если может возникнуть требование полного вывоза груза из отдельных пунктов отправления или полного удовлетворения заявок некоторых потребителей. Например, пусть в задаче требуется вывезти груз от поставщика А_i полностью. Это означает, что следует назначить очень высокую стоимость М перевозки от поставщика А_i в фиктивный пункт назначения. В случае требования полного удовлетворения заявок, например, некоторого потребителя B_j, следует назначить очень высокую стоимость М перевозки от фиктивного поставщика А_i потребителю B_j.

Усложнения типа полного ввоза–вывоза возможны лишь для открытых ТЗ.

Пример 4. Найдем решение ТЗ, исходные данные которой приведены в табл. 7 с учетом того, что из пункта А₁ в пункт В₁ перевозки не могут быть осуществлены, а из пункта А₃ в пункт В₁ будет завезено 10 ед. груза.

Таблица 7
Вj Аi	50	80	30	60
65	3	5	4	1
85	4	5	6	2
70	5	1	3	3