Материал: Д6520 Алексеев Математические методы в инженерии

Министерство образования и науки Российской Федерации

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

Институт холода и биотехнологий

Г.В. Алексеев

Математические методы в инженерии Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург

2012

УДК 681.3.06

Алексеев Г.В. Математические методы в инженерии: Учеб.-метод. пособие.  СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ, 2012.  39 с.

Описаны принципы создания и использования алгоритмов решения задач оптимизации на базе современного пакета прикладных программ Mathcad.

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по магистерским про-граммам «Машины и агрегаты пищевой промышленности» и «Процессы и аппараты пищевых производств» (направление 151000 – Технологические машины и оборудо-вание). Оно может быть полезно студентам старших курсов, аспирантам и соискателям ученой степени.

Рецензент: доктор техн. наук, проф. В.А. Арет

Рекомендовано к печати редакционно-издательским советом Института холода и биотехнологий

В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена программа его развития на 2009–2018 годы. В 2011 году Университет получил наименование «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики».

 Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, 2012

 Алексеев Г.В., 2012

Введение

Цель практических занятий – научить студентов, обучающихся по магистерским программам направления 151000 «Технологические машины и оборудование», самостоятельно исследовать проблемы, препятствующие дальнейшему совершенствованию производства технологических машин и оборудования для пищевой промышленности и пищевых производств и выбирать пути их решения.

Студенты, выполнившие соответствующие задания, в частности, должны:

• знать методы и средства обеспечения оптимального конструирования машиностроительной продукции и новейшие технологии конструирования технических устройств;

• уметь строить план «транспортной задачи» для моделирования процесса пищевого производства при определении оптимальных условий его реализации с точки зрения новейших технологий или выбора оптимальной конструкции для соответствующего аппарата или технического устройства;

• иметь навык по использованию компьютерной техники для реализации оптимальных режимов процессов и параметров конструкций оборудования для пищевых производств.

Курс «Математические методы в инженерии» базируется на естественнонаучной и инженерной подготовке студентов и тесно связан с такими дисциплинами, как высшая математика (разделы: теория вероятности и математическая статистика), теория механизмов и машин (в полном объеме), гидравлика (в полном объеме), инженерная графика (в полном объеме) и «Информатика» (разделы: операционная система Windows, численные методы вычислений и пакет прикладных программ Mathcad).

При изучении дисциплины «Математические методы в инженерии» требуется проведение достаточно большого объема вычислительных работ, поэтому предусматривается проведение практических занятий с применением компьютерной техники.

Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для более глубокой проработки отдельных разделов теоретического курса и для помощи при самостоятельном выполнении студентом индивидуальных заданий, в том числе, с использованием персонального компьютера.

Транспортная задача по критерию стоимостей Задание

Одним из направлений в области разработки и внедрения новых технологий производства продуктов питания и конструкций для их осуществления является оптимизация реализуемых физико-хими-ческих процессов переработки пищевого сырья.

Если достижение требуемого потребительского свойства в заданном процессе или производительности, например, некоторого технологического аппарата принять за целевую функцию, то совокупность параметров операций этого процесса или набор комплектующих оборудования часто может быть найден при решении одной из наиболее распространенных задач линейного программирования – «транспортной задачи».

Инновационные технологии производства продуктов питания с новыми ингредиентами также требуют новых подходов в их реализации.

Краткие сведения из теории

Пусть некоторый однородный товар (ингредиенты, участвующие в процессе) хранится на m пунктах отправления А_i (i = 1m) и требуется в n пунктах назначения В_j (j = 1n). Известны следующие параметры: а_i – запас товара на i-м пункте отправления; b_j – потребность в товаре в j-м пункте назначения; с_ij – длительность перемещения единицы товара из i-го пункта отправления склада в j-й пункт назначения. Предполагается, что длительность перемещения произвольного количества товара пропорциональна этому количеству. Требуется составить план перемещений ингредиентов так, чтобы удовлетворить потребности при имеющихся запасах, обеспечив при этом наименьшую суммарную длительность перемещений.

Обозначим через х_ij количество товара, перевозимого из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения. Стоимость перевозки товара из А_i в В_j составит с_ijх_ij, а суммарная стоимость перевозок есть . Следовательно,

z =min. (1)

Далее, все запасы из пункта А_i должны быть вывезены, т. е.

, i = 1m. (2)

Все потребности пункта В_j должны быть удовлетворены, т. е.

, j = 1n. (3)

Естественно предполагать также, что

х_ij  0, i = 1m, j = 1n. (4)

Таким образом, математическая модель транспортной задачи (ТЗ) состоит в определении неотрицательного плана перевозок Х= (х_ij), для которого выполняются условия (2) и (3), а целевая функция (1) принимает наименьшее значение. Матрица Х = (х_ij)_m×n называется матрицей перевозок.

Для наглядности условия ТЗ можно представить в виде таблицы (табл. 1).

Здесь в 1-й строке показаны потребности пунктов назначения В_j (j = 1n), в 1-м столбце – запас товара в пунктах отправления А_i (i = 1 m). В каждой ячейке (i, j) в верхнем левом углу приведены стоимости перевозки единицы товара с_ij, а в cередине – количество товара, перевозимого из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения х_ij.

Таблица 1

Условия транспортной задачи

Если сумма всех запасов равна сумме всех заявок, т. е.

= , (5)

то мы имеем ТЗ закрытого типа.

Определение 1. Всякое неотрицательное решение систем линейных уравнений, определяемое матрицей перевозок Х, называется планом ТЗ.

Определение 2. План Х^*, при котором функция (1) принимает своё минимальное значение, называется оптимальным планом ТЗ.

Теорема 1. Для того, чтобы ТЗ имела допустимые планы, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство (5).

Необходимость. Просуммируем равенства (2) по всем j от 1 до п, а равенства (3) по всем i от 1 до m:

.

При этом суммируются все переменные х_ij как по строкам, так и по столбцам как в первом равенстве, так и во втором, поэтому левые части равенств равны, , а тогда равны и правые:

Достаточность. Обозначим α. Пусть

х_ij = . (6)

Так как а_i  b_j  0, то α > 0, поэтому х_ij  0, i = 1m, j = 1n. Следовательно, выполнены ограничения (4) ТЗ. Далее, просуммируем равенства (6) по i от 1 до m:

= а_i = b_j, j = 1n,

т. е. выполнены ограничения (3) ТЗ. Аналогично, просуммировав равенства (6) по j от 1 до п, получим выполнение ограничений (2) ТЗ.

В случае если сумма запасов не равна сумме потребностей (заявок), имеем задачу открытого типа. Если сумма заявок превышает сумму запасов, вводится фиктивный поставщик А_m+1, «запас» которого равен разности между суммой заявок и суммой запасов:

А_m+1 =–

В случае если сумма запасов превышает сумму заявок, вводится фиктивный потребитель В_п+1, «заявка» которого равна разности между суммой запасов и суммой заявок:

b_п+1 = –.