Материал: Численное решение задач адсорбционного переноса вещества в пористых средах

Пористую среду считаем полубесконечной, одномерной, зону  равномерно распределенной в . Последнее предположение позволяет не сделать никаких допущений относительно геометрической формы агрегатов зоны . Элементы зоны  с определенной геометрической формой и вопросы переноса веществ, как указывалось выше, исследовались в [21, 22]. Считаем также, что адсорбция вещества происходит только в зоне , хотя в более общем случае необходимо учитывать адсорбционные явления в обеих зонах, где кинетика адсорбции может значительно отличаться [22]. В зоне  за счет неоднородности распределения скоростей движения жидкости в порах обычно происходит гидродинамическая дисперсия вещества, что приводит к линейной зависимости коэффициента дисперсии от скорости движения жидкости в порах [2, 3]. Здесь для простоты принимается постоянный коэффициент дисперсии , что, очевидно, следует понимать как некоторый эффективный коэффициент.

3. Решение задачи переноса вещества в пористой среде, насыщенной подвижной и неподвижной жидкостью

В этом параграфе решается задачи переноса вещества в пористой среде. В зависимости от вида кинетик адсорбции и внутреннего массообмена рассмотрим несколько случаев.

.1 Линейная кинетика адсорбции и внутреннего массообмена

В рамках сделанных допущений (приведеные в параграфе 2) уравнение переноса вещества в  можно записать в виде

, (3.1)

где  - концентрация вещества, мі/мі,  - скорость фильтрации, м/с,  -концентрация вещества в зоне ,  - концентрация адсорбированного вещества, ,  - общая плотность пористой среды, кг/мі.

В (3.1) член с  характеризует внутридиффузионный массообмен из зоны  в . Для его оценки можно использовать решение задачи диффузии из  в , представленную как геометрические тела определенной формы (цилиндры, шары и др.) [21, 22]. Здесь мы используем подход, когда массообмен определяется как кинетический процесс первого порядка [1, 7, 25, 27]. Таким образом, внутридиффузионный массообмен определяется кинетическим уравнением

, (3.2)

где  - const.

В зоне  происходит неравновесная адсорбция вещества, кинетика которой определяется, как и внутридиффузионный массообмен, уравнением первого порядка [8, 19]

, (3.3)

 - const.

Пусть в первоначально насыщенную чистой (без вещества) жидкостью среду с начального момента времени закачивается жидкость с постоянной концентрацией вещества . Рассмотрим такие периоды времени, где концентрационное поле не достигает правой границы среды, . При отмеченных допущениях начальные и граничные условия для задачи имеют вид

. (3.4)

Необходимо определить поля концентрации, адсорбированного вещества, диффундированного вещества из  в .

Задача (3.1) - (3.4) хотя и является линейной, получение аналитического решения является сложным, т.к. необходимо найти одновременно три поля. Поэтому для решения задачи применяем метод конечных разностей [30]. В рассматриваемой области

введена равномерная по направлениям сетка

,

где I - достаточно большое целое число, выбираемое так, чтобы отрезок [], , перекрывал область расчетного изменения полей с, S и N, h - шаг сетки по направлению х.

В открытой сеточной области

аппроксимировались уравнения (3.1), (3.2), (3.3) следующим образом:

 (3.5)

, (3.6)

, (3.7)

где , ,  - сеточные значения функций , ,  в точке .

Из явных сеточных уравнений (3.6), (3.7) определяем ,

, (3.8)

, (3.9)

где , ,

, .

Сеточные уравнения (3.5) приводятся к виду

, (3.10)

где , , ,

.

Устанавливается следующий порядок расчета решений. По (3.8), (3.9) определяются , , затем решая систему линейных уравнений (3.10) методом прогонки - .

Поскольку, схемы (3.8), (3.9) устойчивы, а для (3.10) условия устойчивости метода прогонки выполняются. Некоторые результаты расчетов для определенного набора значений исходных параметров приведены на рис.3.1-3.8.

Анализ графиков показывает, что за счет поступления вещества в среде формируются три поля с, S, N, которые продвигаются по пласту с течением времени. Можно наблюдать увеличение концентрации адсорбированного вещества и внутреннего массообмена в каждой точке пласта, включая точку х=0 .

Вещество попадая в среду вместе с несущий жидкостью может находиться во взвешенном состоянии (поле ), адсорбироваться (поле ) или диффундировать в зону с неподвижной жидкостью (поле ).

Взаимораспределение этих полей отражены на графиках (рис.3.1-3.8). Сравнивая графики рис.3.1-3.3, построенные для различных значений параметра  (при неизменных других параметрах) можно заметить запаздывающую динамику развития профилей N. C увеличением значения  переходной процесс затягивается.

На рис.3.4, 3.5 отражены результаты при увеличении значений параметра .

Рис.3.1. Профили концентраций с/с 0 (а), S (б), N (в) при  с^-1,  с^-1,  с в различные моменты времени.

Рис.3.2. Профили концентраций (а), S (б), N (в) при  с^-1,  с^-1,  с в различные моменты времени.

Рис.3.3. Профили концентраций (а), S (б), N (в) при  с^-1,  с^-1,  с в различные моменты времени.

Рис.3.4. Профили концентраций (а), S (б), N (в) при  с^-1,  с^-1,  с в различные моменты времени.

Рис.3.5. Профили концентраций  (а), S (б), N (в) при  с^-1,  с^-1,  с в различные моменты времени.

Рис.3.6. Профили концентраций  (а), S (б), N (в) при  с^-1,  с^-1, с в различные моменты времени.

Рис.3.7. Профили концентраций  (а), S (б), N (в) при  с^-1,  с^-1, с в различные моменты времени.

Рис.3.8. Профили концентраций (а), S (б), N (в) для равновесной адсорбции (штриховые кривые) и неравновесной адсорбции (сплошные кривые) при  с (1), 10800 с (2), 14400 с (3).  - см. рис.3.2.

Сравнивая рис.3.2, 3.4, 3.5 заметим увеличение значений концентрации адсорбированного вещества. Аккумуляция вещества в пласте за счет адсорбции приводит к уменьшению  и следовательно . Вследствие этого продвижение фронтов , ,  в направлении движения жидкости замедляется (рис.3.1, 3.4, 3.5). На рис.3.6, 3.7 отражены результаты при увеличении значений . Сравнивая графики рис.3.2, 3.6, 3.7 можно обнаружить уменьшение значений адсорбции с увеличением . Одновременно при этом продвижение профилей в направлении движения жидкости ускоряется. Обобщая сказанное, можно заключить, что влияние  и  на процесс адсорбции, и вообще на перенос вещества, взаимообратно.

При из (3.3) получаем

 (3.11)

равновесной закон адсорбции Генри. Характерным временем перехода от (3.3) к (3.11) является .

Для больших  из (3.4) получаем

 (3.12)

В зависимости от значений характерных времен  и a имеем переходные процессы с различной продолжительностью. Однако, здесь мы имеем сложный процесс переноса вещества, где переход к установившемуся состоянию концентрации -  определяется помимо прочих факторов кинетикой внутреннего массообмена (3.2) и адсорбции вещества (3.3). Для того, чтобы исследовать влияние кинетики адсорбции на характеристики переноса веществ решалась задача с равновесной адсорбцией (3.11) вместо (3.3). Сопоставительные графики задач (3.1), (3.2), (3.3) и (3.1), (3.2), (3.11) показаны на рис.3.8. Как видно и рис.3.8б даже при временах , значительно превышающих характерные времена  и  есть заметное расхождение в значениях равновесной и неравновесной адсорбции. В свою очередь, это отражается на графиках  и  (рис.3.8 а, б), что показывает вышеотмеченный сложный характер переходного процесса, где установление полей , ,  взаимодействуют друг с другом.

.2 Нелинейная кинетика адсорбции и линейная кинетика внутреннего массообмена

Здесь вместо линейной кинетики адсорбции (3.3) рассмотрим

, , (3.13)

нелинейную кинетику.

При  из (3.13) получим

, . (3.14)

изотерму Френдлиха (равновесную).

Результаты численного решения уравнений (3.1), (3.2), (3.13) показаны на рис.3.9-3.11. Как видно из представленных результатов, с уменьшением  значения адсорбции в среде увеличиваются (сравните рис.3.9б, 3.10б, 3.11б). За счет аккумуляции вещества в пласте, как и в случае линейной кинетики адсорбции, продвижение концентрационных профилей , ,  в среде замедляется. Полученные результаты показывают, что при прочих равных условиях в случае нелинейной кинетики адсорбция протекает более интенсивно, чем в случае линейной.