Документ: Частина1, страницы 16-20 | Студенческое хранилище

Приклад 2.3: Для показаного на рис. 2.11 ступінчатого стержня підібрати необхідні площі поперечних перерізів його окремих ділянок, якщо [s ] = 4 кН / см2 .

Значення повздовжніх сил на ді-

F2

= 30 kH

лянках стержня:

q = 20kH м

F =

20 kH

F3 =120kH

1

Ділянка BC:

N = -F1 = -20

кН ;

B

C

D

E

Ділянка CD: (1 м £ x £ 3 м) :

1м

2 м

N (x) = -F1 - F2 - g ×(x -1) =

x

= -50 - 20 ×(x -1);

x

N (1) = -50 kH ;

N (3) = -90 kH ;

+

30

-

Ділянка DE (3 м £ x £ 4 м) :

20

N = -F1 - F2 - g × 2 + F3 = 30 кН .

50

90

За

цими

даними

побудована

N, [kH ]

епюра N.

Необхідні площі попе-

рис. 2.11

речних

перерізів окремих

діля-

ви міцності (2.18):

нок

стержня

знаходяться

із

умо-

A

³

N BC

; A

³

20 кН

;

A

³

5 см2 ;

max

[s ]

4 кН / см2

BC

A

³

N CD

;

A

³

90 кН

;

A

³ 22.5

см2 ;

max

[s ]

4 кН / см2

CD

A

N DE

A

30 кН

A

³ 7.5 см2 .

³

max

;

³

;

4 кН / см2

DE

[s ]

DE

2.6. Розрахунок на міцність статично визначних стержневих систем.

Як елементи конструкцій , що працюють при розтягу або стиску, дуже часто зустрічаються не окремі стержні, а стержні, що з’єднані між собою в системи за допомогою шарнірних з’єднань. Такі системи називаються стержневими системами. В залежності від кількості стержнів в системі, способу їх з’єднання, системи можуть бути статично визначні або статично невизначні. Якщо система така, що невідомі повздовжні сили в стержнях можна визначити, використавши лише рівняння статики, то вона є статично визначна. Для визначення невідомих повздовжніх сил в стержнях такої системи використовують метод перерізів. Розрахунок на міцність здійснюють, використавши умову міцності (2.17).

Зазначимо, що в залежності від конструкції системи і кількості стержнів, для визначення зусиль N в усіх стержнях системи потрібно здійснювати один або більше перерізів.

- 15 -

Приклад 2.4: Для показаної на рис. 2.12 системи потрібно підібрати площі поперечних перерізів стержнів. Матеріал стержнів – сталь. Границя текучості 240 МПа, коефіцієнт запасу kт =1.5 .

1

Визначимо

повздовжні

силиN1,

N2

в

стержнях “1” і “2” системи. Для цього

прово-

N 1

димо переріз, що показаний на рисунку і на мі-

сці розрізів стержнів 1 і 2 прикладаємо невідо-

F = 40 kH

мі сили N1 ,

N2 . Сили ці доцільно початково

направляти від перерізу (на розтяг) . Складаємо

2

N2

30o

для залишеної частини (вузла В) рівняння ста-

x

B

тики:

å X = 0;

N2 + N1 ×cos 300 = 0 ;

рис. 2.12

y

åY = 0;

-N1 ×sin 300 + F = 0 .

N1 і N 2 ) і рів-

Так як невідомих сил дві(сили

нянь статики також два, то система статично визначна. Розв’язуючи систему рівнянь, знаходи-

мо

F

40

N

1

=

= 80 кН ;

sin 300

0.5

N

2

= -N ×cos 300

= -80 ×

3

= -68.5 кН .

1

2

Знак “+” у виразі для сили N1 говорить про те, що стержень “1” працює на розтяг, а знак “-” у

виразі для N2 - що стержень “2” працює на стиск.

З умови міцності (2.18) визначаємо площі поперечних перерізів стержнів:

A

³

N

1

;

A

³

N

2

,

де s

=

sт

=

240 МПа

=160 МПа

=16 кН / см

2

.

[s

kт

1

]

2

]

[

]

1.5

Тоді

A ³

80

;

A ³ 5 см2 ;

1

16

1

A2

³

68.5

;

A2 ³ 4.3 см2 .

16

Знак “-“ у виразі N2 , що враховує напрям сили N2 , при визначенні площі не враховується,

E

тобто

N2

береться

за

абсолютною

-вели

чиною.

N CE

Приклад 2.5: Абсолютно жорсткий брус BD

RB

F = 20 kH

(рис. 2.13) шарнірно закріплений у точціВ і

підтримується стальним стержнем СЕ кругло-

B

30

o

C

го

поперечного

перерізу, діаметр

якого

d = 3см .

Система

навантажена

силою

H B

2 м

1 м

F = 20 кН .

Перевірити міцність системи,

як-

		що [s ] = 16 кН / см2 .
	рис. 2.13	Міцність системи буде забезпечена , якщо ви-
	рис. 2.13	конуватиметься умова міцності в стержні СЕ
		конуватиметься умова міцності в стержні СЕ

- 16 -

NCE £ [s ].

ACE

Для визначення сили NCE використаємо метод перерізів, провівши переріз так, як показано на

рис.2.13.

Складемо рівняння статики

åM B = 0 : NCE ×sin 300 × 2 - F × 3 = 0

NCE =

F ×3

= 60 кН .

2 ×sin 300

Площа поперечного перерізу стержня

A

=

p ×d 2

=

3.14 ×32

= 7.065см2

CE

4

NCE

60 кН

Перевіряємо міцність

£ [s

];

= 8.5 кН / см2

<16 кН / см2

7.065см2

A

CE

Міцність системи забезпечена.

2.7. Статично невизначні задачі при розтягу або стиску.

Стержні і шарнірно-стержневі системи, повздовжні сили в яких неможливо визначити за допомогою лише рівнянь статики, називаються статично невизначними. При розрахунку таких конструкцій необхідно складати додаткові рівняння – рівняння сумісності деформацій, що враховують характер деформацій конструкції.

Кількість додаткових рівнянь, що необхідно скласти для розрахунку конструкції, характеризує степінь її статичної невизначност.і Їх завжди можна скласти стільки, скільки необхідно для розв’язування задачі. При складанні цих рівнянь враховується те, що в конструкції стержні не можуть подовжуватись незалежно.

Коли в статично визначних системах зусилля в стержнях можуть виникати лише при дії на систему зовнішнього навантаження, то в статично невизначних системах зусилля виникають і при відсутності зовнішніх силвід зміни температури середовища, неточності виготовлення окремих елементів.

Найважливішим етапом розрахунку статично невизначних систем є складання рівнянь су-

місності деформацій. Послідовність розрахунку статично невизначних систем:

1.Визначають степінь статичної невизначності задачі;

2.Використавши метод перерізів, складають рівняння статики;

3.Розглядаючи систему в деформованому стані, встановлюють зв’язки між переміщеннями окремих елементів;

4.Виражають у рівняннях переміщень переміщення через зусилля;

5.Розв’язавши сумісно рівняння статики і перетворені рівняння деформацій, визначають зусилля в стержнях;

6.Використавши умову міцності, розв’язують поставлену задачу розрахунку на міцність.

Приклад 2.6:	Жорсткий брус BD опирається на шарнірно нерухому опору в точці В і підтри-
мується стержнями CE і DE. Система навантажена силою F =100 кН (рис.2.14.а). Визначити
напруження	в стержнях системи, якщо площі поперечних перерізів рівніA = 4 см2 ,
	EC

- 17 -

y

E	E

3м	NED
	NEC

YB

b

B

b

C

a

D

X B

B

C

a

D

x

C2

D2

2 м

1м

2 м

A

C1

F =100kH

F =100kH D1

a)

рис. 2.14

б )

A = 8 см2 .

ED

Використовуючи метод перерізів, уявно розріжемо систему і в місцях розрізів прикла-

демо

сили NED ,

N EC

та

реакції X B , YB

(рис.2.14.б). Для

визначення чотирьох невідомих

NED ,

NEC , X B ,

YB можна скласти

три

рівняння

статики( å X = 0 ,

åY = 0 , åM B = 0 ).

Тому система один раз статично невизначна.

Рівняння статики :

åM B = 0;

NED ×5×sin a + NEC ×2 ×sin b - F ×3 = 0 ,

å X = 0;

X B + NEC ×cos b + NED ×cosa = 0 ,

(а)

åY = 0;

YB + NEC ×sin b + NED ×sin a - F = 0 ,

де sin a =

BE

; sin b =

BE

.

ED

EC

ED =

52 + 32

= 5.83 м ;

EC =

22 + 32 = 3.6 м .

Тоді:

sin a =

3

= 0.51;

sin b =

3

= 0.83 .

5.83

3.6

Підставивши останні значення в перше рівняння системи (а), одержуємо:

2.55 × NED +1.66 × NEC = 300 .

(б)

Друге і третє рівняння системи (а) недоцільно використовувати, так як в них входять невідомі X B , YB , які для розв’язування задачі не потрібні.

Оскільки задача один раз статично невизначна, складаємо одне додаткове рівняння сумісності деформацій. Внаслідок видовження стержнів ED і CD, абсолютно жорсткий брус BD, що закріплений в точціВ, залишаючись прямим , повернеться навколо точки В і займе нове положення BD1 (рис.2.14.б). Стержень ED при цьому видовжується на величину DlED , а сте-

ржень ЕС - на величину DlEC .

Із подібності трикутників BCC1 і BDD1 можна записати:

- 18 -

DD1 = CC1

BD AC

Із прямокутного трикутника DD2 D1 і CC2C1 знаходимо

DD =	DD2	=	DlED	;	СС	=	CC2	=	DlEC	.

1	sin a		sina		1		sin b		sin b

Підставивши знайдені значення у співвідношення (в), отримаємо після перетворень:

DlED =1.54 ×DlEC

Вираз (г) - це рівняння переміщень для заданої задачі. Перетворимо його, виразивши видовження за законом Гука:

DlED	=	NED ×lED	;	DlEC	=	NEC ×lEC	.

		E × AED				E × AEC

Після перетворень це рівняння набирає вигляду:

NED =1.90 × NCE

Розв’язавши сумісно рівняння (б) і (д), знаходимо величини зусиль в стержнях:

NED = 88 кН ; NEC = 46 кН .

Напруження в стержнях системи:

s

ED

=

NED

=

88 кН

=11кН / см2 ; s

EC

=

NEC

=

46 кН

=11.5 кН / см2 .

A

8 см2

A

4 см2

ED

EC

(в)

(г)

(д)

Приклад 2.7: Стержень (рис.2.15.а), верхня частина якого сталева, з площею поперечного пере-

різу A =10см2 , а нижня – мідна, з площею A

= 20

см ,

Nс

c

м

вставлений між двома жорсткими нерухомими опорами і

нагрітий на Dt = 500 C . Визначити напруження в сталевій

сталь

lc

= 0, 2 м

і

мідній

частинах,

якщо

модулі

пружності

E c

= 2 ×104 кН / см2 , Eм =1×104 кН / см2 .

Коефіцієнти

тем-

-7

-7 1

пературного розширення aс =125×10

, a

м =165×10

.

град

Відкинувши зв’язки і використавши метод перерізів,

складаємо рівняння статики (рис.2.16.б):

мідь

l м = 0,3 м

å Y = 0 : N м - Nс = 0

Þ Nс = N м

(а)

Так як стержень встановлений між жорсткими опорами,

то повне його видовження:

Dlп = Dlс + Dlм = 0

(б)

Деформація стержня при одночасній дії сили і темпера-

б)

N

тури визначається за формулою:

a)

N ×l

м

Dl = a ×l ×Dt +

.

рис. 2.15

E × A

NC ×lC

N м ×lм

Dl = a

C

×l × Dt +

; Dl

м

= a

м

×l

м

× Dt +

; (в)

C

EC × AC

Eм × Aм

Після підстановки значення DlC і Dlм із виразів (в) в рівняння (б), переході до числових даних і перетворень, це рівняння набирає вигляду

- 19 -

Материал: Частина1

Смотрите также: