Курсовая работа: Анализ и синтез системы автоматического регулирования

По таблице 3.1 строим годограф Михайлова

Рис. 3.1 Годограф Михайлова

Вывод: замкнутая система устойчива, т.к. годограф Михайлова начинается на положительной действительной полуоси и огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно 3 квадранта, где 3 - порядок характеристического полинома замкнутой системы.

3.3 Исследование АСР по критерию Найквиста

Критерий Г. Найквиста позволяет по амплитудно-фазовой частотной характеристике (АФЧХ) разомкнутой системы оценить устойчивость замкнутой системы с отрицательной обратной связью.

АФЧХ разомкнутой системы можно построить на комплексной плоскости [+1; j], откладывая вещественную UРАЗ(щ) и мнимую VРАЗ(щ) составляющую частотной передаточной функции разомкнутой системы WРАЗ(jщ), или в полярной системе координат, откладывая угол фазы ц() разомкнутой системы относительно оси +1 и в этом направлении откладывать вектор амплитуды разомкнутой системы А().

Вещественную UРАЗ(щ) и мнимую VРАЗ(щ) функции WРАЗ(jщ) можно определить по АЧХ АРАЗ() и ФЧХ цРАЗ() разомкнутой системы:

;

.

АЧХ передаточной функции разомкнутой системы АРАЗ() равна произведению АЧХ отдельных звеньев, а ФЧХ цРАЗ() - сумме ФЧХ звеньев:

;

.

Найти АЧХ А() и ФЧХ ц() можно по вещественной U(щ) и мнимой V(щ) составляющим частотной передаточной функции W(jщ) звена.

Амплитуда А() и фаза ц() частотной передаточной функции W(jщ):

;

.

Формулировка критерия Найквиста

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы на комплексной плоскости [+1; j] при изменении частоты от 0 до не охватывала точку с координатами (-1; j0). Если АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами (-1; j0), то система находится на границе устойчивости.

Для построения АФЧХ разомкнутой системы необходимо перейти к частотной форме записи передаточной функции разомкнутой системы.

Передаточная функция разомкнутой системы:

;

.

Проведем преобразования, выделив общий коэффициент усиления разомкнутой системы kРАЗ:

;

.

;

Передаточная функция разомкнутой системы в частотной форме (p = jщ):

.

Запишем выражения амплитуд А() и фаз ц() частотных передаточных функции для каждого звена (табл. 3.2). Вычисляем значения амплитуд А() и фаз ц() при изменении часты от 0 до значения, при котором UРАЗ(щ) и VРАЗ(щ) станут равны нулю. Также вычислим амплитуду АРАЗ() и фазу цРАЗ() передаточной функции разомкнутой системы, а также вещественную UРАЗ(щ) и мнимую VРАЗ(щ) составляющую частотной передаточной функции разомкнутой системы WРАЗ(jщ). Шаг изменения частоты принимаем произвольный с учетом удобства восприятия графика. Вычисления проводим в MS Excel (табл. 3.3).

Таблица 3.2 Выражения амплитуд А() и фаз ц() передаточных функции звеньев системы

Таблица 3.3 Значения амплитуд А() и фаз ц() передаточных функции звеньев системы

По значениям вещественной UРАЗ(щ) и мнимой VРАЗ(щ) части частотной передаточной функции разомкнутой системы из таблицы 3.3 строим в MS Excel годограф Найквиста (рис. 3.2).

Рис. 3.2.Годограф Найквиста (АФЧХ)

Вывод: замкнутая система устойчива, так как АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1; j0).

3.4 Исследование АСР по логарифмическому критерию

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это зависимость отношения амплитуды сигнала на выходе звена к амплитуде на входе A = ymax/xmax от частоты входного сигнала .

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - зависимость угла сдвига по фазе сигнала на выходе звена от частоты входного сигнала .

Логарифмические частотные характеристики - АЧХ и ФЧХ, представленные в логарифмическом масштабе.

Параметры L и lgщ определяются следующим образом:

где ;

.

Ордината ЛАХ L измеряется в децибелах [дБ].

Децибел - логарифмическая единица уровней, затуханий и усилений.

1 Б = 10 дБ - это увеличение мощности сигнала в 10 раз.

2 Б = 20 дБ - это увеличение мощности сигнала в 100 раз;

3 Б = 30 дБ - это увеличение мощности сигнала в 1000 раз и т.д.

Абсцисса ЛАХ и ЛФХ lgщ измеряется в декадах [дек].

Декада - логарифмическая единица частот, соответствующая изменению частоты щ в 10 раз.

Логарифмические критерии, так же как и критерий Найквиста, позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по виду ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы.

Формулировка логарифмического критерия

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии, ЛАХ разомкнутой системы должна пересечь ось абсцисс раньше, чем ЛФХ, спадая окончательно, перейдёт через значение - р. То есть, на частоте среза щср величина фазы ц должна быть меньше значения | - р |.

Запас устойчивости по амплитуде ДL - это величина допустимого увеличения общего коэффициента усиления разомкнутой системы, при котором замкнутая система окажется на границе устойчивости .

Запас устойчивости по фазе Дц - это величина допустимого увеличения запаздывания по фазе разомкнутой системы на частоте среза щср, при котором замкнутая система окажется на границе устойчивости .

Для построения ЛАХ и ЛФХ системы необходимо разложить передаточную функцию разомкнутой системы на элементарные звенья, амплитуды А() и фазы ц() которых приведены в пункте 3.3. Допускается использовать асимптотические ЛАХ, которые графически представляют собой ломаные прямые линии (табл. 3.4).

Затем на плоскости строятся ЛАХ и ЛФХ каждого отдельного звена и методом графического суммирования находятся результирующие ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы:

;

.

Таблица 3.4 Асимптотические логарифмические частотные характеристики типовых динамических звеньев

Зная выражения амплитуд А() и фаз ц() частотных передаточных функции для каждого звена (табл. 3.2), представим их в логарифмическом масштабе (табл. 3.5).

Таблица 3.5 Выражения логарифмических амплитуд L() и фаз ц() передаточных функции звеньев

Вычисляем значения логарифмических амплитуд L() и фаз ц() для каждого звена при изменении часты от 0 до значения, при котором результирующая ЛФХ пересекает значение - р. Также вычислим амплитуду LРАЗ() и фазу цРАЗ() передаточной функции разомкнутой системы WРАЗ(jщ). Шаг изменения частоты принимаем произвольный с учетом удобства восприятия графика. Вычисления проводим в MS Excel (табл. 3.6).

Таблица 3.6 Значения логарифмических амплитуд L() и фаз ц() передаточных функции звеньев

По таблице 3.6 строим логарифмические частотные характеристики системы (рис. 3.3)

Рис. 3.3 Логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы (ЛАХ и ЛФХ)

3.5 Проверка статистической ошибки

Статическая ошибка:

Раздел 4. Анализ автоматической системы регулирования, c корректирующим звеном.

4.1 Расчет передаточной функции корректирующего звена

Коррекция динамических свойств линейных систем осуществляется для выполнения рассмотренных ранее требований по точности, устойчивости и качеству переходных процессов. Осуществляется коррекция путем введения в систему специальных корректирующих звеньев с особо подобранной передаточной функцией WКЗ(p).

В данном случае корректирующее звено включается в систему относительно прямой ветви последовательно, образуя новую структуру системы (рис. 4.1).

Рис. 4.1 Блок-схема стабилизации угловой скорости ДПТ с корректирующим звеном

Корректирующие звенья аналоговых линейных электрических систем обычно выполняются в виде пассивных или активных четырехполюсников (АЧ и ПЧ) постоянного тока.

Рассмотрим принципиальную электрическую схему заданного корректирующего звена в виде пассивного четырехполюсника (рис. 4.2).

Рис.4.2.Пассивное корректирующее звено.

Параметры корректирующей цепи:

Передаточная функция корректирующего звена:

Передаточная функция разомкнутой системы с корректирующим звеном:

Где:

Находим такое значение k0, чтобы статическая ошибка соответствовала разрешенной:

4.2 Исследование скорректированной АСР по критерию Гурвица

Для исследования устойчивости замкнутой АСР по критерию устойчивости Гурвица понадобится характеристический полином замкнутой скорректированной системы.

Передаточная функция прямой ветви скорректированной системы:

Передаточная функция обратной связи системы:

Получим эквивалентную передаточную функцию прямой ветви системы, охваченную обратной связью или передаточную функцию замкнутой скорректированной системы:

; (4.9)

Передаточная функция замкнутой скорректированной системы после упрощения:

Выражение, находящееся в знаменателе передаточной функции замкнутой скорректированной системы, является характеристическим полиномом замкнутой скорректированной системы:

Подставим численные значения коэффициентов и преобразуем выражение:

%Вводим в командную строку Matlab:%

>> syms p;

expand((2.5*p+1)*(0.2*p+1)*(0.035*0.15*p^2+0.15*p+1)+0.235*(0.3*p+1)*10*0.5*1.3*0.36)

Поскольку степень полинома замкнутой системы n равна 4, то матрица Гурвица будет иметь размер 4х4.