Курсовая работа: Анализ и синтез системы автоматического регулирования

Введение

В курсовой работе по теории автоматического управления (ТАУ) требуется провести анализ и синтез системы автоматического регулирования (САР), содержащей контур с жесткой отрицательной обратной связью. Учитывая тот факт, что расчет систем различной физической природы, принадлежащих к определенному классу, одинаков, предложена САР угловой скорости двигателя постоянного тока.

Система, предназначенная для расчета, является линейной системой третьего порядка, дифференциальные уравнения каждого звена которой могут быть составлены с применением известных в электромеханике законов.

САР состоит из регулируемого объекта и элементов управления, которые воздействуют на объект при изменении одной или нескольких регулируемых переменных. Под влиянием входных сигналов (управления или возмущения) изменяются регулируемые переменные. Цель регулирования заключается в формировании таких законов, при которых выходные регулируемые переменные мало отличались бы от требуемых значений. Решение данной задачи во многих случаях осложняется наличием случайных возмущений (помех). При этом необходимо выбрать такой закон регулирования, при котором сигналы управления проходили бы через систему с малыми искажениями, а сигналы шума практически не пропускались.

Во многих технологических процессах требуется управлять движением ИО регулировать скорость движения и ее направление, точно осуществлять остановку в заданной позиции, ограничивать ускорение движения. Такие системы управления немыслимы без автоматизации, причем применение автоматических устройств самое различное - от простейших автоматов, используемых в отдельных узлах аппаратуры связи, до автоматизированных комплексов связи. Вот почему для анализа и синтеза систем связи, глубокого понимания принципов их построения и функционирования необходимо изучение и использование теории систем управления.

логарифмический автоматический регулирование передаточный

Раздел 1. Описание структуры и принципа работы системы

АСР является статической, поэтому работает со статической ошибкой, которая не должна превысить заданной величины.

Рис. 1.1. Принципиальная схема системы стабилизации угловой скорости ДПТ

В таблице 1 приведены значения коэффициентов математических моделей элементов системы.

щД - частота двигателя(фактическая скорость на выходе);

MC - момент сопротивления от нагрузки ;ТГ - тахогенератор; ЭУ- электронный усилитель; G - генератор; ПD - трехфазный приводной двигатель; ОВГ - обмотка возбудителя генератора; М - мотор; Н - нагрузка(помеха); ОВМ - стартерная обмотка.

Система стабилизации угловой скорости ДПТ является одноконтурной САР, работающей по отклонению регулируемой величины. Регулируемым параметром является скорость ДПТ щД. Скорость вращения вала двигателя постоянного тока (ДПТ) задаётся напряжением Uз , которое через сопротивление Rз подаётся на вход операционного усилителя.

Также на Uз подаётся через сопротивление R1 напряжение с тахогенератора UТГ. Двигатель представлен двумя графическими элементами: буквой M и обмоткой ОВМ, это и есть электродвигатель. На статорную обмотку подается постоянное напряжение, мы им и управляем, а вот на ротор М мы будем подавать нужное нам напряжение. При увеличении нагрузки MC уменьшается скорость вращения вала двигателя щД и соответственно снижается напряжение тахогенератора UТГ. Суммарное напряжение Uе увеличивается, следовательно, увеличивается напряжение обмотки возбудителя тахогенератора(ОВГ), напряжение на двигателе и угловая скорость. При уменьшении нагрузки MC увеличивается напряжение тахогенератора UТГ .Суммарное напряжение Uе уменьшается,при этом уменьшается напряжение ОВГ и угловая скорость ДПТ Снижается.

Таблица 1. Исходные значения коэффициентов системы

Раздел 2. Математическое описание системы

1. ЭУ - электронный усилитель:

,

где kЭУ - коэффициент электронного усилителя

2. Г - генератор:

;

;

,

где k1 - коэффициент генератора; Т1 - постоянная времени генератора; Lв и Rв - индуктивность и сопротивления обмотки возбуждения генератора; RМ - магнитное сопротивления обмотки возбуждения генератора; Се - электрическая постоянная генератора; щГ - угловая скорость вращения якоря генератора; wв - число витков обмотки возбуждения генератора; Ф - магнитный поток, наводимый в обмотке возбуждения генератора; Iв - ток обмотки возбуждения генератора.

3. М - двигатель постоянного тока:

;

;

;

;

,

где kД - коэффициент двигателя по управляющему воздействию, kf - коэффициент двигателя по возмущающему воздействию, ТМ - электромеханическая постоянная времени двигателя, ТЯ - электромагнитная постоянная времени двигателя; Lя и Rя - индуктивность и сопротивления обмотки якоря двигателя; Iя - ток обмотки якоря двигателя; ЕД - ЭДС якоря двигателя; Ф - магнитный поток, наводимый в обмотке якоря двигателя; Се - электрическая постоянная двигателя; См - магнитная постоянная двигателя; JД - момент инерции двигателя; МД - активный момент на валу двигателя.

4. ТГ - тахогенератор:

.

где kТГ - коэффициент тахогенератора.

По уравнениям звеньев АСР получим их передаточные функции. Понятие передаточная функция является наиболее важной категорией в теории автоматического управления и регулирования. Передаточная функция является своего рода математической моделью АСР, т.к. полностью характеризует динамические свойства системы. Передаточной функцией называется отношение изображения выходного сигнала Y(p) к изображению входного воздействия X(p) при нулевых начальных условиях:

,

где р - оператор Лапласа.

Передаточные функции звеньев системы получаем, используя определение передаточной функции и выражение

1. ЭУ - электронный усилитель:

.

2. Г - генератор:

.

3. М - двигатель постоянного тока:

Уравнение двигателя постоянного тока в операторной форме имеет вид:

.

Для двигателя постоянного тока входным воздействием является напряжение UД, возмущающим воздействием момент MН, а выходным угловая скорость щД, таким образом можно применить принцип наложения (суперпозиции) и выделить следующие два случая:

· сигнал MН (p) = 0;

· сигнал UД (p) = 0.

Тогда, для двигателя постоянного тока, имеющего входы по управлению и по возмущению, можно определить две передаточные функции

по управлению:

;

по возмущению:

.

Тогда, общая передаточная функция двигателя постоянного тока:

4. ТГ - тахогенератор:

.

Раздел 3. Анализ автоматической системы регулирования, без корректирующего звена.

3.1 Исследование АСР по критерию Гурвица

Критерий А. Гурвица является достаточным условием для определения устойчивости системы с отрицательной обратной связью и работает с коэффициентами характеристического полинома системы. Для определения устойчивости по Гурвицу строится матрица Гурвица, состоящая из коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы.

По главной диагонали матрицы от верхнего левого угла записываются по порядку все коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы, начиная с d1 и заканчивая dn. Затем каждый столбец матрицы дополняется таким образом, чтобы вниз от диагонали номер индекса коэффициента d уменьшался, а вверх - увеличивался. Коэффициенты с индексами меньше 0 и больше, чем n заменяются нулями.

.

Формулировка критерия Гурвица:

Для устойчивой замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы все n главных диагональных миноров матрицы были положительны:

; и т.д.

Если хотя бы один определитель будет равен нулю, то система будет находится на границе устойчивости. Если хотя бы один определитель будет отрицателен, то система неустойчива, не зависимо от числа положительных или нулевых определителей.

Для исследования устойчивости замкнутой АСР по критерию устойчивости Гурвица понадобится характеристический полином замкнутой системы.

Передаточная функция прямой ветви системы:

;

.

Передаточная функция обратной связи системы:

.

Получим эквивалентную передаточную функцию прямой ветви системы, охваченную обратной связью или передаточную функцию замкнутой системы:

;

.

Передаточная функция замкнутой системы после упрощения:

.

Выражение, находящееся в знаменателе передаточной функции замкнутой системы, является характеристическим полиномом замкнутой системы:

.

Подставим численные значения коэффициентов и преобразуем выражение:

Поскольку степень полинома замкнутой системы n равна 3, то матрица Гурвица будет иметь размер 3х3.

Коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы имеют следующие значения: d0 = 0,0021296, d1 = 0,11132, d2 = 0,682, d3 = 9,19.

Матрица Гурвица имеет вид:

.

Диагональные миноры матрицы Гурвица:

Д1 = 0,11132 > 0;

.

Вывод: замкнутая система устойчива, так как не имеет отрицательных миноров.

3.2 Исследование АСР по критерию Михайлова

Частотные критерии, по сравнению с алгебраическими, являются более наглядным в силу своей простой геометрической интерпретации т.к. они являются графическими критериями.

Критерий А. В. Михайлова используется по частотному годографу, полученному из характеристического полинома передаточной функции системы. Частотный годограф DЗ(j) получается путем перевода характеристического полинома замкнутой системы в частотную область, для этого вместо оператора дифференцирования p подставляется частотная комплексная переменная j, где - мнимая единица.

При возведении выражения j в соответствующую степень, полином замкнутой системы является комплексным и может быть представлен в виде:

;

где UD() - действительная часть выражения, получаемая из слагаемых уравнения, не содержащих мнимости j; VD() - мнимая часть, получаемая из слагаемых выражения, содержащих мнимости j.

Построение годографа Михайлова производится на комплексной плоскости [+1; j] по выражению DЗ(j). При изменении часты от 0 до вычисляются значения UD() и VD() - абсцисса и ордината годографа.

Формулировка критерия Михайлова

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на положительной действительной полуоси комплексной плоскости [+1; j] и огибал против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n - старший показатель степени характеристического полинома замкнутой системы.

В пункте 3.1 был получен характеристический полином такой замкнутой системы DЗАМ(p):

.

Тогда получим частотный годограф Михайлова путем перевода характеристического полинома замкнутой системы (3.20) в частотную область:

.

Получим действительную и мнимую часть частотного годографа Михайлова (3.21), возведя частотный оператор j в соответствующую степень:

.

;

.

Вычисляем значения действительной и мнимой части частотного годографа Михайлова при изменении часты от 0 до требуемого значения, при котором можно сделать вывод об устойчивости системы. Шаг изменения частоты принимаем произвольный с учетом удобства восприятия графика. Вычисления проводим в MS Excel.

Таблица 3.1 Значения действительной и мнимой части частотного годографа Михайлова