Материал: Аналитическое исследование оптимального управления динамической экономической системой

Для нахождения матрицы частных производных воспользуемся соотношениями (2.2.12).

Получим

  (2.2.17)

      (2.2.18)

(2.2.19)

Равенства (2.2.17)-(2.2.19) задают элементы матрицы частных производных В сопряженном уравнении (2.2.5) фигурирует объект , который представляет собой транспонированную матрицу частных производных .

Из (2.2.17), (2.2.18), (2.2.19) получаем

         (2.2.20)

Где транспонированная матрица .

Для нахождения вектора частных производных

воспользуемся равенством (2.2.9). Имеем

      (2.2.21)     

Тогда из соотношения (2.2.5) с учетом (2.2.20) ,(2.2.21) и условия получаем систему уравнений

         (2.2.22)

Система дифференциальных уравнений относительно функций представляет собой систему сопряженных уравнений в рассматриваемой задаче оптимального управления.

Теперь найдем условия трансверсальности в рассматриваемой задаче оптимального управления. Заметим, что функция определяющая терминальный член целевого функционала, предполагается аналитически заданной. Но тогда можно считать, что заданы и частные производные этой функции, а именно:

  (2.2.23)

Теоретическая часть условий трансервальности для данного вида задач имеет вид (2.2.6). Как уже отмечалось, для данного вида задач с фиксированным временем и закрепленным левым концом траектории можно считать множитель Лагранжа (рассматриваемая задача на максимум). Правая часть соотношений (2.6) образуется при подстановке в производные, терминальной функции (2.23), предполагаемые заданными, значений аргументов

Таким образом, получаем из (2.2.6)

  (2.2.24)

Полученные соотношения (2.2.24) определяют, что граничные условия для функций  в точке  которые являются решениями системы дифференциальных уравнений (2.2.22) заданы и выражаются явно через значения основных функций (состояний) .

Условия трансверсальности установлены.

Теперь выпишем условие максимума. Для этого необходимо найти явное представление для функции Понтрягина в рассматриваемой задаче оптимального управления. Теоретическая форма функции Понтрягина в классической задаче оптимального управления (2.2.1) - (2.2.4) имеет вид

Явное представление для функции Понтрягина в рассматриваемой задаче оптимального управления определяется формулой (2.2.13). Заметим, что объекты, входящие в формулу (2.2.13), имеют следующий характер:

вектор - функция сопряженных переменных (сопряженная функция); по содержанию она представляет собой множитель Лагранжа, соответствующий ограничению дифференциальной связи исходнй задачи оптимального управления;

вектор - функция, описывающая состояние системы в произвольный момент времени

скалярная функция, описывающая управление системой в произвольный момент времени

Воспользуемся общей теоретической формой принципа максимума (2.2.8). Тогда для рассматриваемой задачи оптимального управления получаем условие максимума в следующем виде

   (2.25)

при  

Условие максимума установлено. Теорема 2 доказана.

§3. Анализ условия максимума и структура функции опимального управления

После формулировки основного теоретического результата, а именно, теоремы о необходимых условиях экстремума в рассматриваемой задаче оптимального управления (теорема 2 §2 данной главы), дальнейшее исследование задачи заключается в исследовании системы соотношений, состоящей из необходимых условий экстремума (2.2.14), (2.2.15), (2.2.16) и ограничений исходной задачи оптимального управления. Такая система является весьма сложной, а различные системы соотношений, входящие в неё, связаны между собой. Полное исследование данной системы выходит за рамки настоящей работы.

Ключевую роль в системе, состоящей из необходимых условий и ограничений исходной задачи, является условие максимума функции Понтрягина. Известно, что данное условие позволяет определить общую структуру, то есть основные аналитические особенности функции оптимального управления. В связи с этим проведем анализ условия максимума (2.2.25) в рассматриваемой задаче оптимального управления.

Как уже было отмечено ранее (см п.2.1, §2 настоящей главы), содержание условия максимума заключается в следующем: если зафиксировать все аргументы функции Понтрягина, кроме параметра управления то данная функция достигает максимума на значении то есть на оптимальном значении параметра управления. Заметим дополнительно, что условие максимума, как и остальные необходимые условия, заведомо выполняется на оптимальном управляемом процессе  то есть в данном случае при

Преобразуем аналитическое выражение функции Понтрягина (2.2.13), сгруппировав все члены, содержащие параметр управления

      (2.3.1)

Введем обозначение

       (2.3.2)

С учетом этого обозначения выражение для функции Понтрягина (2.3.1) можно переписать в виде

   (2.3.3)

где функция задается формулой (2.3.2).

Теперь перепишем условие максимума с учетом нового представления для функции Понтрягина (2.3.3)

          (2.3.4)

Согласно содержанию условия максимума, изложенному выше, функция Понтрягина достигает максимума при при условии, что остальные переменные являются фиксированными. Но тогда соотношение (2.3.4) можно записать в виде

      (2.3.5)

Заметим, что в рассматриваемой задаче оптимального управления функция имеет смысл удельного объёма производства ( производительности труда) в первом секторе и удовлетворяет условию

Тогда

.         (2.3.6)

При фиксированных значениях  значение функции также является фиксированным. Отсюда следует, что функцию можно рассматривать как линейную функцию от с коэффициентом Множество допустимых управлений в рассматриваемой задаче Но максимум линейной функции на отрезке достигается в одной из граничных точек этого отрезка, то есть в данном случае при если и при если  Таким образом, оптимальное значение параметра управления , на котором достигается максимум функции Понтрягина, определяется знаком вспомогательной функции

Возможен, правда, случай, когда при некоторых значениях выполняется условие  Тогда функция Понтрягина не зависит явно от параметра управления В этом случае условие максимума не дает возможности определить оптимальное значение параметра управления .

Из предыдущих рассуждений следует, что в рассматриваемой задаче оптимального управления функция определяется следующим соотношением

      (2.3.7)

где так называемое особое управление, которое не определяется непосредственно из условия максимума функции Понтрягина.

Соотношение (2.3.7) задает структуру оптимального управления. Эту структуру можно описать следующим образом.

Если функция обращается в ноль только в изолированных точках, то есть меняет знак в этих точках, то оптимальное управление является кусочно - постоянной функцией, которая принимает только два значения: 0 и 1.

Точки называются точками переключения управления. В этих точках функция оптимального управления имеет разрыв первого рода (скачки). В остальных точках функция не определяется из условия максимума. Обычно в указанных точках функция доопределяется по непрерывности справа: .

Если же функция обращается в ноль по некоторым интервале:

где - замкнутый интервал, то на этом интервале управление является особым и не определяется из условия максимума. Нахождение такого управления представляет собой весьма сложную отдельную задачу.

Заключение

В работе была рассмотрена трехсекторная инвестиционная модель, являющаяся одним из вариантов трехсекторной динамической модели функционирования национальной экономики.

В первой главе приводится общее описание динамической трехсекторной модели экономики и выводится система динамических соотношений для функций удельного капитала в трехсекторной инвестиционной модели.

Во второй главе работы приводится общий теоретический результат о необходимых условиях экстремума в общей задаче оптимального управления с фиксированным интервалом времени и закрепленным левым концом траектории.