Материал: Аналитическое исследование оптимального управления динамической экономической системой

 (2.1.1)

Равенство в этом соотношении достигается в случае, когда то есть при  Величина являет собой максимально возможное значение удельных инвестиций в фондосоздающем секторе. Следовательно, по экономическому содержанию функция представляет собой долю удельных инвестиций в первый (фондообразующий) сектор от максимально возможного объема удельных инвестиций, который совпадает с величиной удельного произведенного продукта данного сектора . Заметим также следующее

Введем трехмерный параметр который характеризует состояние системы и одномерный параметр который характеризует управление.

Далее методично опишем основные части задачи оптимального управления: целевой функционал и ограничения.

Целевой функционал вводится в виде

Первое слагаемое в данном показателе (интегральная часть целевого функционала) выражает накопленный (суммарный) удельный продукт, произведенный за фиксированный период . Сомножитель  под знаком интеграла называется дисконтирующим. Он показывает формулу учета инфляции.([10],[11]).

Второе слагаемое (терминальный член) целевого функционала учитывает влияние на цель управления конечных значений параметров фондовооруженности так как параметры выражают достигнутый уровень технологического развития в системе. Дисконтирующий множитель  описан выше.

. Рассмотрим в качестве основных ограничений систему соотношений (1.2.21). По форме эти соотношения представляют собой систему дифференциальных уравнений относительно функций состояний разрешенных относительно производной. Правая часть этих состояний зависит от функции управления . Такие соотношения в теории управления называются дифференциальной связью и описывают изменения состояния под воздействием управления.

Предполагается, что заданы начальные значения для функций, описывающих состояния системы

.

Задание начальных значений естественно для реальных динамических систем.

Определим ограничения на управления. Из соотношения (2.1.1) и неотрицательности удельных инвестиций вытекает:

        (2.1.2)

То есть, множество допустимых управлений имеет вид Если предположить то Тогда следовательно, Тогда получаем  Если функция управления принимает одно из значений 0 или 1, это означает, что либо инвестиции в первый сектор, либо инвестиции в нулевой и второй секторы являются нулевыми.

Будем рассматривать следующую задачу

  (2.1.3)

        (2.1.4)

   (2.1.5)

       (2.1.6)

Задача (2.1.3) - (2.1.6) представляет собой классическую задачу оптимального управления на заданном фиксированном конечном интервале времени и с закрепленным левым концом траектории. Целевой функционал является функционалом смешанного типа с интегральной и терминальной частями. Соотношения (2.1.4) называются дифференциальной связью и описывают динамику изменения состояния под воздействием управления . Величины предполагаются известными и задают начальные значения параметров состояний (удельного капитала). Равенства (2.1.5) определяют закрепленный левый конец траектории, описываемой набором функций состояний . Соотношение (2.1.6) является ограничением на управление и определяется возможными значениями параметра в рассматриваемой модели.

§2. Основное утверждение о необходимых условиях экстремума в форме принципа максимума Понтрягина

Приведем основные теоретические результаты, на которых будет строиться последующее решение поставленной задачи оптимального управления. В научной литературе ([1],[2],[5]) эти результаты называются принципом максимума Понтрягина.

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления (классическая или понтрягинская постановка)

        (2.2.2)

          (2.2.3)

     (2.2.4)

В задаче (2.2.1) - (2.2.4) присутствуют следующие объекты:

состояние системы в момент времени

управление системой в момент времени подынтегральная функция целевого функционала (интегрант);

терминальная функция, задающая терминальную часть целевого функционала;

функция, задающая ограничение (2.2.2), называемое дифференциальной связью;

фиксированный вектор (число), задающий граничное условие для функции в момент (начальное состояние системы);

заданное множество (множество допустимых управлений).

Введем вспомогательную функцию в задаче (2.2.1) - (2.2.4), которая обычно называется функцией Понтрягина или гамильтонианом

(Величины играют роль множителей Лагранжа в рассматриваемой экстремальной задаче с ограничениями. Вектор - функция  называется сопряженной функцией или сопряженной переменной.

.1 Теоретическая форма принципа максимума (теорема 1)

Известен следующий результат в теории оптимального управления, который носит название принципа максимума Понтрягина.

Теорема 1.

Пусть  - оптимальный управляемый процесс в задаче (2.2.1) - (2.2.4). Тогда найдутся не равные нулю одновременно множитель Лагранжа такие, что выполняются следующие соотношения:

1)     

система сопряженных уравнений; (2.2.5)

2)     

3)     

условие трансверсальности в точке ;      (2.2.6)

4)     

5)     

условие максимума функции Понтрягина.      (2.2.7)

Заметим, что соотношение (2.2.7) можно записать в виде

 (2.2.8)

Соотношения (2.2.7) и (2.2.8) имеют следующий смысл: функция Понтрягина достигает максимума по аргументу на множестве допустимых управлений при , то есть на оптимальном значении управления, при условии, что все остальные аргументы являются фиксированными. Условия (2.2.7) и (2.2.8) выполняются во всех точках непрерывности функции , то есть при всех , кроме, быть может, точек разрыва (скачков) функции оптимального управления .

Можно доказать, что в соотношениях (2.2.5), 2.2.6), (2.2.8) значение , то есть можно положить его равным  или любому другому отрицательному числу ( в задаче на максимум).

На основе теоремы 1 получим систему необходимых условий экстремума в рассматриваемой задаче оптимального управления.

Заметим сначала, что в рассматриваемой задаче состояние системы - вектор - функция фондовооруженности (удельного капитала), функция управления - скалярная величина, представляющая собой долю инвестиций в системе.

Выпишем основные объекты, определяющие рассматриваемую задачу оптимального управления:

Интегрант (подынтегральная функция целевого функционала)

    (2.2.9)

Терминальная часть целевого функционала (терминант)

,          (2.2.10)

где функция предполагается аналитически заданной.

Функция, определяющая дифференциальную связь

  (2.2.11)

вектор - функция векторных аргументов , компоненты которой определяются соотношениями

  (2.2.12)

Для удобства выпишем сразу представление для функции Понтрягина

 (2.2.13)

2.2 Принцип максимума в рассматриваемой задаче оптимального управления (теорема 2)

Теперь можно сформулировать утверждение о необходимых условиях экстремума в рассматриваемой задаче оптимального управления.

Теорема 2. Пусть  - оптимальный управляемый процесс в исходной задаче оптимального управления. Тогда найдутся не равные нулю одновременно число и вектор - функция

такие, что выполняются следующие соотношения

. Сопряженное уравнение

        (2.2.14)

при

.Условие трансверсальности

(2.2.15)

при

3. Условие максимума функции Понтрягина

         (2.2.16)

при    

Доказательство.

Применим теорему 1 к поставленной задаче оптимального управления. Для получения соотношений (2.2.5), (2.2.6), (2.2.8) определим необходимые вспомогательные объекты. Заметим предварительно, что в поставленной задаче .