Материал: Аналитическое исследование оптимального управления динамической экономической системой

Аналитическое исследование оптимального управления динамической экономической системой

Оглавление

Введение

Глава 1. Оптимальное управление в модели трехсекторной экономики

§1. Общее описание моделитрехсекторной экономики

§2. Вывод дифференциальных уравнений для функций удельного капитала (основные динамические соотношения )

Глава 2. Оптимальное управление инвестициями фондосоздающего сектора в модели трехсекторной экономики по отношению к функционалу

накопленного удельного производства

§1. Постановка задачи оптимального управления

§2. Основное утверждение о необходимых условиях экстремума в форме принципа максимума Понтрягина

.1 Теоретическая форма принципа максимума. (теорема 1)

.2 Принцип максимума в рассматриваемой задаче оптимального управления (теорема 2)

§3. Анализ условия максимума и структура функции оптимального управления

Заключение

Список литературы

Введение

В данной работе проводится аналитическое исследование оптимального управления динамической экономической системой. Под закрытой экономической системой понимается экономическая система национального уровня, ориентированная на замкнутый характер и достижение независимости от заграничных факторов (поставки из-за рубежа, зарубежные инвестиции). То есть, закрытая экономика - экономика, не имеющая экспортно - импортных отношений. Подобная экономика часто встречается во времена военных действия или тогда, когда в силу политических соображений страна переходит в режим изоляции от "враждебного" мира.

Исследования, проведенные в данной работе основаны на принципе максимума Понтрягина. Теория данного принципа представлена в изданиях отечественной научной литературы [1], [2].

В работах автора трехсекторной модели экономики [6],[7] исследуются некоторые задачи оптимального управления, которые отличаются от рассматриваемой в данной работе по форме поставноки, и по содержанию математических методов, а также по характеру полученных результатов.

Рассмотрим отдельные аспекты о составе проведенного исследования и его итогах. Сначала приводим описание основных характеристик данной динамической экономической модели и формулируем математическую постановку задачи оптимального управления. Затем выводим аналитические соотношения: сопряженные уравнения, условия трансверсальности и условие максимума функции Понтрягина.На полученном условии максимума функции Понтрягина определяется аналитическая структура функции оптимального управления.

Глава 1. Оптимальное управление в модели трехсекторной экономики

§1. Общее описание модели трехсекторной экономики

Для начала опишем теоретическую экономическую модель и в ее рамках сформулируем математическую задачу оптимального управления. Трехсекторная модель экономики была разработана В.А.Колемаевым. Экономику подразделяют на три сектора: материальный (нулевой) - вырабатывает предметы работы; фондообразующий (первый) - производство средств труда; потребительский (второй) сектор - производство предметов потребления.

Для описания такой модели экономики будем использовать характеристики, которые представляют собой функции от времени:

 - количество (величина) произведенной продукции вом секторе,

 - капитал в ом секторе,

 - величина трудовых ресурсов         в ом секторе,

 - количество инвестиций вый сектор,

Кроме этого, заданы числовые параметры:

 - часть прироста единицы объема трудовых ресурсов за единицу времени во всей модели экономики,

- часть выбывших за единицу времени главных (основных) производственных фондов в ом секторе,

В работе использованы удельные характеристики, которые определяются по отношению к единице объема трудовых ресурсов. Следует ввести следующие обозначения:

- фондовооруженность ого сектора экономики,

- удельные инвестиции в ый сектор,

- производительность труда в данном секторе,

- удельный выпуск продукции ого сектора по отношению к единице объема трудовых ресурсов, занятых во всей экономической системе,

 - часть трудовых ресурсов ого сектора в общем объеме трудовых ресурсов, которые заняты во всей экономической системе,

Чтобы описать эволюции данной экономической системы в трехсекторной модели экономики будем использовать следующие соотношения, выполняемые в любой фиксированный момент времени  из заданного множества значений временного параметра.

Производственная функция в каждом секторе представляет собой функцию Кобба-Дугласа

где - заданные параметры

Суммарное число занятых в производственной сфере и число занятых в j-ом секторе экономики изменяется с постоянным темпом прироста на данном интервале времени.

 ,

В данной работе предполагается, что  > 0.

При  = 0 объем трудовых ресурсов не меняется со временем, что не оправдано в реальных экономических системах.

Выполняются соотношения, которые называются балансом инвестиций и балансом трудовых ресурсов:

Имеются заданные значения параметров модели в начальный момент времени

Отсюда получаем начальные значения для удельных параметром

Динамика производственных фондов по секторам будет описываться дифференциальными соотношениями:

Из соотношений для основных производственных фондов вытекают соответствующие соотношения для фондовооруженностей,

         (1.1.1)

Далее введем обозначение

Параметр является коэффициентом выбывания удельного капитала , который связан с выбыванием основных фондов и приростом величины трудовых ресурсов.

Эти параметры полагаются известными.

Главной целью данной работы является изучение влияния инвестиций в фондообразующий сектор экономики на показатели качества управления. Учитывая это, мы введем дополнительное положение о распределении инвестиций, которое не используется в исходной модели.

То есть, после того, как определим объем инвестиций в фондообразующий сектор, распределим оставшиеся инвестиции между потребительским и материальным секторами в заданном отношении. Учитывая соотношение баланса инвестиций, получаем равенства

где заданный фиксированный параметр,

§2. Вывод дифференциальных уравнений для функций удельного капитала (основные динамические соотношения)

Теперь получим динамическое соотношение, которое описывает изменение во времени параметров удельного капитала

Эти соотношения носят названия дифференциальной связи и описывают изменение состояний системы при заданном управлении.

Возьмем за основу динамические соотношения, характеризующие трехсекторную модель экономики, представленные в предыдущем разделе.

(1.2.1)

        (1.2.2)

  (1.2.3)

Обозначим

    (1.2.4)

Учитывая, что получаем из соотношения (1.2.4)

        (1.2.5)

Подставим (1.2.5) в левую часть равенства (1.2.4)

   (1.2.6)

Разделим обе части равенства (1.2.6) на . Получим

.     (1.2.7)

Обозначим

.       (1.2.8)

Из (1.2.8) при  получаем

    (1.2.9)

с учетом вида управления  уравнение (1.2.9) принимает форму

  (1.2.10)

Теперь рассмотрим соотношение (1.2.8) при  Заметим, что из (1.2.2) следует

 .         (1.2.11)

Из (2.11) следует

         (1.2.12)

       (1.2.13)

Заметим, что

(1.2.14)

В то же время, с учетом представления для

   (1.2.15)

   (1.2.16)

Из (1.2.12) с учетом (1.2.14), (1.2.15) получаем

.         (1.2.17)

Аналогично из (1.2.13) с учетом (1.2.14), (1.2.16) получаем

.   (1.2.18)

Воспользуемся вновь соотношением (1.2.8) и подставим в него выражение (1.2.17) при  и выражение (1.2.18) при . Имеем

        (1.2.19)

       (1.2.20)

удельный капитал понтрягин экономика

Соотношения (1.2.10), (1.2.19), (1.2.20) образуют систему уравнений дифференциальной связи.

       (1.2.21)

Данная система образует систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно функций которые выполняют в данной модели роль состояний. Найденные уравнения являются разрешенными относительно производных и правая часть зависит от параметра управления . В соответствии с терминологией, принятой в теории управления, набор функций связанных соотношениями (1.2.21), называется управляемым процессом.

Глава 2. Оптимальное управление инвестициями фондосоздающего сектора в модели трехсекторной экономики по отношению к функционалу         накопленного удельного производства

§1. Постановка задачи оптимального управления

Рассмотрим математическую постановку задачи оптимального управления на заданном конечном интервале времени

Определим функции, которые характеризуют состояния и управления в заданной системе. Будем рассматривать в качестве состояний системы значения функций фондовооруженности в каждом секторе

В качестве параметра управления рассматриваем некоторую величину, которая связана с удельными инвестициями в фондообразующий сектор экономики.

Обозначим управление как  и будем называть величину функцией управления. Выясним экономическое содержание функции . Из условия баланса инвестиций (§ 1), выполняемого в любой момент времени следует оценка