Материал: А27819 Лазарев В.Л. Робастое управление

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

В широком понимании БИТ – это совокупность методов анализа объектов различной природы на основе статистических процедур исследования априорных и апостериорных данных. Байесовские сети являются одной из моделей «баз знаний» на основе вероятностных характеристик.

12. Методы теории энтропийных потенциалов (ТЭП), основанные на оценивании состояний неопределенности систем по величинам энтропийных потенциалов. Данные оценки являются унифицированными, объективными и удобно определяемыми. Кроме того, ТЭП и ее методы не являются «изолированными», они могут использоваться в качестве «инструментов» при реализации большинства вышеупомянутых подходов и технологий исследований. Теория имеет перспективы развития и применения.

Каждый из методов и подходов имеет свои достоинства, недостатки, предпочтительные области применения.

Ниже излагаются суть, основные положения ТЭП, иллюстрируются ее возможности и перспективы применения в теории и на практике для решения широкого круга задач мониторинга и управления.

136

8.ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭНТРОПИЙНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

8.1.Основные понятия и определения

Теория энтропийных потенциалов (ТЭП) является дальнейшим развитием энтропийного подхода к описанию состояний систем различной природы [18–21].

Базовая идея ТЭП состоит в «уходе» от величины энтропии к другой величине, с ней связанной. Эта величина наряду со свойствами закона распределения параметра должна прямо или косвенно выражаться через набор характеристик, описывающих и другие свойства его состояния неопределенности. Причем такие характеристики должны поддаваться определению при наличии ограниченных объемов исходных данных. Очевидно, что среди них должны быть величины, характеризующие разброс параметра относительно его центра или средневзвешенного значения, а также реальный диапазон изменения. Таким образом, была поставлена задача интеграции и «расширения» возможностей использования свойств энтропии в составе группы этих характеристик для описания состояния неопределенности параметра.

Решение поставленной задачи предлагается осуществить на основе базовых понятий энтропийного потенциала (ЭП), комплексного ЭП и набора многомерных комплексных ЭП. С использованием созданной базы был разработан ряд вспомогательных понятий, позволяющих упростить процедуры решения ряда задач.

Понятие ЭП параметра является одним из основополагающих. Оно вводится с помощью следующего определения.

Определение 1. Энтропийным потенциалом e параметра х называется половина диапазона изменения ограниченного распределения, имеющего такую же энтропию Н(х), что и закон распределения данного параметра.

Как следует из определения, в качестве базы для нахождения величины ЭП должно быть выбрано распределение, имеющее огра-

ниченный диапазон изменения, равный [– e,

e], т. е.

x [– e, e].

(8.1)

137

В данном случае соответствующая плотность распределения

вероятностей будет зависеть от величины

e, т. е.

p(x) = p(x, e).

(8.2)

В качестве p(x) целесообразно использовать функцию, симмет-

ричную относительно центра диапазона [–

e, e]. Величина энтропии

базового распределения согласно выражению (7.1) также будет зависеть от величины e в соответствии с формулой (8.2). Приравнивая энтропию параметра Н(х) с произвольным законом распределения энтропии базового распределения с ограниченным диапазоном изменения параметра Н (х, e), получим

H (x)

H (x, e ) .

(8.3)

Решая уравнение (8.3) относительно

e, получим выражение

для нахождения величины ЭП в виде

 

e

F{H (x)}.

(8.4)

 

 

 

Очевидно, что величина e

будет зависеть от вида выбранного

базового закона распределения с ограниченным диапазоном изменения параметра. Например, могут быть использованы некоторые из типовых законов. Рассмотрим частные варианты реализации изложенного подхода.

1. Найдем выражение для величины ЭП e1 на базе закона рав-

 

 

1

 

при

 

x

 

e

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

номерной плотности (p(x)= 2

 

 

 

 

e

 

 

). Приравнивая энтро-

 

 

 

 

 

0 при

x

 

 

e .

 

пию параметра с произвольным законом распределения Н(х) энтропии параметра, распределенного по закону равномерной плотности в диапазоне х [– e1, e1], получим

 

1

1

e1

 

 

 

 

H (x)

 

ln

 

dx

2 e1

2 e1

 

 

 

 

e1

 

1

 

ln

 

1

 

dx ln 2 e1

. (8.5)

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

e1

 

e1

 

138

Откуда получаем выражение для величины e1 в виде (8.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

e

H ( x)

.

(8.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

e1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. По аналогии найдем выражение для величины ЭП

e2 на базе

треугольного закона

распределения или распределения

Симпсо-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 при

х

e ;

 

 

 

 

 

 

на (p(x)=

e

 

x

 

 

х

):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при

e .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

| x |

 

 

 

|

x |

 

 

 

e 2

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H (x)

e2

 

 

ln

 

e2

 

 

 

 

dx

 

2

 

e2

 

ln

e2

 

dx

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e2

 

 

 

e2

 

 

 

 

 

 

0

 

 

e2

 

 

e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.7)

 

 

 

 

 

ln e2

 

ln

e2

e.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Откуда также получаем искомое выражение для величины

e2

 

1

 

eH ( x) .

(8.8)

e2

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Рассуждая аналогично, записав выражение для Н(х) в соответствии с формулой (7.1) и выполнив промежуточные выкладки и преобразования, найдем выражение для величины ЭП e3 на базе арксинусоидального закона распределения. В результате

H (x) ln

 

 

e3

.

(8.9)

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Откуда и получаем выражение для величины

e3

 

2

e

H ( x)

.

(8.10)

e3

 

 

 

 

 

 

 

И так далее, по аналогии, можно получить выражения для величин ЭП на базах других законов распределения с ограниченными

139

диапазонами изменения параметров для параметра с произвольным законом распределения в виде выражения (8.4).

Таким образом, используя введенное понятие ЭП, представляется возможным осуществить «унификацию» состояний неопределенности параметров на базе конкретного закона распределения.

При необходимости переход от одной базовой величины ЭП( ei) к другой ( ej) может быть осуществлен с помощью коэффициентов перехода Ki,j

Ki, j

ej

, (i

I; j

J).

ei

 

 

 

 

 

Так, например, e2

e1K1,2 ,

где

K1,2

e2

e1

 

 

 

 

 

 

 

(8.11)

2

 

1, 21. Вели-

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

чина

коэффициента

перехода

в «обратном» направлении от ej

к ei

K

 

1

, т. е.

K2,1

 

e

 

0,824. Значения величин коэффици-

 

 

 

 

j,i

 

2

 

Ki, j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ентов перехода для используемых n величин ЭП могут быть вычислены заранее и табулированы. В этом случае таблица будет представлять собой квадратную матрицу переходов K = Ki,j (i I; j J) размерностью n с элементами главной диагонали, равными единице. В табл. 8.1 приведены выражения и значения коэффициентов перехода для трех

величин ЭП, определенных выше:

e1, e2, e3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 8.1

Коэффициенты перехода для трех базовых значений величин ЭП

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исходный ЭП

ei

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Конечный ЭП ej

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e1

 

 

 

 

 

 

e2

 

 

 

e3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K1,2

2

 

 

1, 21

4

 

 

 

 

 

 

 

K

1

 

 

 

 

 

 

K1,3

 

 

 

1, 27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e1

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

1,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K2,1

 

 

 

e

0,824

 

 

 

K2,2

1

2

e

 

e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K2,3

 

 

 

1,05

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e3

 

K

3,1

 

 

 

 

 

 

0,785

 

K

3,2

 

 

 

 

 

0,953

K3,3

 

 

1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

140

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
__RGR2
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET