Материал: А27819 Лазарев В.Л. Робастое управление

Для проведения исследований и сравнения получаемых результатов необходима конкретизация в выборе базового закона распределения и соответствующей величины ЭП. Выбор базового закона распределения должен осуществляться исходя из специфики рассматриваемой задачи, физических особенностей явлений, определяющих формирование параметров, и др. В дальнейшем, если не сделано специальной оговорки, будем полагать, что величина ЭП определяется на базе закона равномерной плотности в соответствии с выра-

уровня состояния неопределенности параметра и наоборот. Доказательство данного утверждения оформим в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Возрастание величины ЭП соответствует, в энтропийном смысле, повышению уровня состояния неопределенности и наоборот.

Доказательство. Выражение (8.6), описывающее взаимосвязь

Их взаимосвязь с величиной энтропии как аргумента также будет описываться возрастающей показательной функцией. Отсюда получаем

H (x){H1 (x) H2 (x)} ej {H1 (x)} ej {H2 (x)} , (j J). (8.13)

Что и требовалось доказать.

Величина ЭП, согласно определению, имеет размерность рассматриваемого параметра. Поэтому для каждого конкретного закона распределения ее можно выразить как масштабное изображение вели-

141

чины среднего квадратического отклонения (СКО) – , имеющей такую же размерность. Соответствующий коэффициент называется энтропийным коэффициентом и обозначается Ke = Ke1. Отсюда следует

ент Ke, характеризующий дестабилизационные свойства его закона распределения. Состоятельность такого представления подтверждается тем, что для многих типовых законов распределения, имеющих аналитическое описание плотностей вероятностей, указанная зависимость (8.14) получается в явном виде при определении величины e через базовое выражение (8.6). Из указанных зависимостей однозначно определяются величины энтропийных коэффициентов как сомножителей для величин СКО. В случаях, когда получение аналитического выражения величины ЭП не представляется возможным (например, когда определения осуществляются на основе ограниченной выборки по результатам эксперимента), значения величин Ke могут быть вычислены на основании зависимостей (8.6), (8.14) с использованием (7.1) и (7.2) из выражения

Следует отметить, что помимо выражения (8.14) величину ЭП можно выразить и через какие-либо другие характеристики распределения. Например, ее можно представить как масштабное изображение половины величины размаха распределения a в виде e Ke (a) , где Ke(a) – энтропийный коэффициент, «привязанный» к размаху выборки. Причем для ряда типовых «классических» законов распределения между величинами a и существует аналитическая зависимость. В таких случаях величины Ke(a) и Ke также будут взаимосвязаны. Однако для большинства реальных законов распределений данной зависимости не существует или она проявляется в «размытом» или «нечетком» виде. В дальнейшем с целью устранения неоднозначностей при проведении исследований и трактовки получаемых

142

результатов будем пользоваться определением энтропийного коэффициента, «привязанного» к величине СКО, т. е. из выражений (8.14) и (8.15). Целесообразность такого выбора обосновывается тем, что величина , в общем случае, при исследовании конкретной выборки является более объективной и «представительной» характеристикой рассеяния параметра, чем величина размаха.

Из выражения (8.15) видно, что величина Ke определяется энтропией параметра, а следовательно, и его законом распределения. Известно, что при одинаковой величине дисперсии или СКО максимальной энтропией обладает нормальный закон распределения. Следовательно, нормальному закону соответствует максимально возможное значение величины Ke = Ke(max). Определим это значение. Энтропия случайной величины x, распределенной по нормальному закону с плотностью веро-

Таким образом, диапазон изменения величины энтропийного коэффициента находится в пределах 2,07 Ke 0. (Для реальных, практических ситуаций этот диапазон является более узким: 2,07 Ke 1.) Величина энтропийного коэффициента описывает мультипликативную «составляющую неопределенности», определяемую видом закона распределения: чем больше значение Ke, тем менее предсказуемо проявление различных значений параметра, и наоборот. Отсюда видно, что использование нормального закона для аппроксимации реальных законов распределения параметров является грубой мажорантной оценкой и может существенно исказить картину состояний неопределенности. Следует отметить, что отображение «дестабилизационных» свойств ка- кого-либо закона распределения в величину энтропийного коэффициента является сюръекцией, так как различные законы распределения могут иметь одинаковое значение величины Ke. Другими словами можно сказать, что различные законы распределения, в энтропийном смысле, могут давать одинаковый дестабилизирующий эффект.

В случае, когда специфика рассматриваемой задачи обуслов-

нием коэффициента перехода K1,j. Действительно, согласно формулам (8.11) и (8.14) для i = 1 можно записать

По аналогии можно вывести выражения для определения значений энтропийных коэффициентов при переходах к другим базам.

Состояния неопределенности различных объектов, основанные на использовании понятия величины энтропийного потенциала, можно проиллюстрировать графически (рис. 8.1). Действительно, состояние неопределенности объекта характеризуется величиной e, которой согласно выражению (8.14) соответствует точка в декартовой системе координат на плоскости: и Ke. Очевидно, что такую систему координат

144

можно рассматривать как частный случай пространства состояний или фазового пространства – плоскость энтропийных потенциалов. Конкретному состоянию неопределенности объекта будет соответствовать изображающая точка, например, 1 ( 1; Ke1), определяющая прямоугольник со сторонами 1 и Ke1, лежащими на соответствующих осях. Площадь данного прямоугольника будет равна e1 Ke1σ1 . Из уравне-

ния (8.14) следует, что каждому значению e = C1 = const будет соответствовать множество точек на плоскости ; Ke, которые образуют линию постоянного энтропийного потенциала – «изотропу» состояния объекта. То есть энтропийный потенциал объекта для каждой точки такой изотропы будет постоянным и равным C1. Например, переход объекта из состояния, характеризующегося точкой 1, в состояние, характеризующееся точкой 2, не изменяет его энтропийный потенциал. При этом уменьшение степени разброса анализируемого параметра при переходе в точку 2 ( 2 1) компенсируется изменением характера рассеяния данного параметра в сторону увеличения энтропийного коэффициента (Ke2 Ke1).

Рис. 8.1. Плоскость энтропийных потенциалов

При уменьшении уровня состояния неопределенности объекта, например, вследствие естественной эволюции или реализацииσ управления происходит уменьшение величины его энтропийного потенциала,

145