Материал: Vremyanka_VKB21-23

б) для непрерывных

Следствие:

6. Если случайные величины ξ и η – независимы, то мат. ожидание от произведения случайных величин равно произведению их мат. ожиданий.

а) для дискретных

б) для непрерывных

7. Неравенство Йенсена

Если функция выпукла вниз, то для любой случайной величины ξ

Доказательство:

Предположим, что функция g(x) дважды дифференцируема по формуле Тейлора:

Вторая производная выпуклых вниз функций всегда положительная:

Пусть

8. Неравенство Ляпунова

Для любых положительных α,β; 0<α<β

Доказательство:

, т.к. , то функция выпукла вниз, значит применимо неравенство Йенсена

9. Неравенство Коши-Буняковского

Для любых двух случайных величин ξ и η

10. Неравенство Гёльдера

p>1,q>1

тогда

11. Неравенство Минковского

Если , р>1

Задача: По мишени делают 3 выстрела. Результаты этих выстрелов не зависят друг от друга. Вероятность попадания при первом , при втором , при третьем .

Рассматривается случайная величина, характеризующая число попаданий в мишень. Найти её мат. ожидание.

1.

а)

б)

в)

г)

2. - число попаданий при первом выстреле

- число попаданий при втором выстреле

- число попаданий при третьем выстреле

Функции случайного аргумента и их мат. Ожидание.

Определение: Если любому значению случайной величины ξ соответствует и при этом единственное значение случайной величины η, то говорят, что задана функция случайного аргумента ξ.

1. ξ – дискретная случайная величина.

Если в каких-то колонках будут одинаковые значения, они должны быть просуммированы.

2. ξ – непрерывная случайная величина

Рассматривается функция случайного аргумента ξ. При этом неслучайная функция дифференцируема, монотонна и имеет обратную . Пусть также случайная величина ξ имеет плотность распределения .

3.

4.

Дисперсия

От лат. рассеяние, разброс.

Определение: Дисперсией случайной величины ξ называется мат. ожидание квадрата отклонения случайной величины от её мат. ожидания.

- для дискретных

- для непрерывных

Определение: Арифметический квадратный корень из дисперсии называется средним квадратичным отклонением (стандартным).

Дисперсия характеризует степень разброса случайной величины около своего среднего значения.

Пример 1:

Пример 2: Равномерное распределение на отрезке [0;1]

Свойства дисперсии

1. Не отрицательность

2. Константа - множитель выносится из под знака дисперсии в квадрате.

Δ

Δ

4. Если случайные величины ξ и h независимые, то дисперсия суммы этих случайных величин равна сумме дисперсий

Δ

4’. где с = const

Δ

Математическое ожидание и дисперсия важнейших распределений

• Равномерное распределение на последовательности {1,2,3,…,N}

ξ	1	2	3	…	N
P				…

• Биномиальное распределение

ξ	0	1	2	…	N
P				…