Материал: Vremyanka_VKB21-23

Распределение Пуассона (случай редких событий)

Распределением Пуассона называется распределение случайной величины ξ, принимающей значение 0;1;2;3;… со следующими вероятностями:

…

Геометрическое распределение

Геометрическим распределением называется распределение случайной величины ξ:1;2;3;… со следующими вероятностями , где р – вероятность единичного успеха, q – вероятность неуспеха.

бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

(0<q<1) – условие нормировки выполнено.

Задача:

Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания р, вероятность непопадания – q. Какова вероятность попасть с первого выстрела, со второго выстрела?

Непрерывные случайные величины.

Непрерывные случайные величины – величины, которые принимают все значения числовой оси( ).

В случае непрерывных случайных величин бессмысленно говорить о вероятности каждого его конкретного значения. Можно лишь обсуждать вероятность попадания случайной величины на некоторый промежуток числовой оси. Поэтому для описания непрерывных случайных величин вводится понятие плотности распределения вероятности р(х).

Свойства плотности вероятности:

1.

2. - условие нормировки;

3. Вероятность попадания случайной величины ξ на [a;b] имеет следующий вид

Свойства функции распределения вероятностей:

1.функция непрерывна;

2.не убывает;

3.

4.

5.

Примеры непрерывных случайных величин.

1. Равномерное распределение на отрезке.

2. Показательное распределение.

λ – положительный параметр

Многомерные законы распределения

На примере двумерных распределений

Предположим, что в рамках опыта исследуются 2 дискретные случайные величины ξ(кси) и η(эта).

Определение: Совместным законом распределения дискретных случайных величин ξ и η (или законом их совместного распределения) называется вероятность , определенная на всем множестве упорядоченных пар

Двумерный закон распределения случайных величин ξ и η имеет вид следующей таблицы:

Из двумерного закона одномерные законы выводятся легко.

В общем случае одномерные законы не определяют многомерного распределения, т.к.

к*m – количество неизвестных

k+m – количество уравнений.

В случае непрерывных случайных величин ξ и η их совместное распределение задается плотностью совместного распределения вероятностей .

1.

2. - условие нормировки;

3.

Независимые случайные величины

Случайные величины ξ и η называются независимыми, если для совместного закона распределения дискретных случайных величин ξ и η и для плотности совместного распределения вероятностей непрерывных случайных величин ξ и η выполняются следующие соотношения:

Если случайные величины независимы, то двумерное распределение или плотность двумерного распределения однозначно определяются одномерными законами.

Операции над случайными величинами:

1. Сложение и вычитание дискретных случайных величин: (дзета)

Замечание: Если какие-то суммы совпадают, то соответствующие вероятности просто складываются.

2. Произведение двух дискретных случайных величин

3. Сумма двух независимых непрерывных случайных величин

Математическое ожидание

Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины называется сумма попарных произведений значений этой случайной величины на вероятности их осуществления.

Обозначения:

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется выражение следующего вида:

Примеры:

1.

2. Выпадение грани кубика

4. Равномерное распределение на отрезке [0,1]

Свойства математического ожидания

4.Константа-множитель выносится из-под знака математического ожидания.

5. Математическое ожидание от алгебраической суммы любых случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий.

а) для дискретных