Материал: UMK_Umumiy_astronomiya_Fizika

§ 1.12. Sferik uchburchak: sferik trigonometriyaning asosiy formulalari

Astronomiyaning ko‘pgina masalalarini qaraganimizda osmon sferasidan foydalanganimiz uchun osmon jismlarining ko‘rinma va haqiqiy harakatlari bilan bog‘liq bo‘lgan ko‘p masalalarni echish sferik uchburchak xossalari va formulalariga tayanadi. Sferaning biror katta aylanasi tekisligi bo‘ylab yotmaydigan uch nuqtasi orqali o‘tkazilgan katta aylanalarning kesishishidan hosil bo‘lgan uchburchak sferik uchburchak deyiladi. Sferik uchburchakning burchagi deb, shu burchakning tashkil etuvchi katta aylana tekisliklari hosil qilgan ikki yokli burchakka aytiladi. Bu sferik burchaklar uning uchlaridan tomonlariga o‘tkazilgan urinmalar orasidagi tekis burchak bilan o‘lchanadi.

Sferik uchburchak sferada yotgan shunchaki ixtiyoriy uchta burchakga ega bo'lgan shakl emas; uning tomonlari katta aylanalarning yoylari bo'lishi kerak. Agarda sferaning radiusi r bo'lsa, AB yoyning uzunligi

bo'ladi, bu yerda c – markazdan qaraganda AB yoyi tashkil etadigan burchak. Bu burchak AB tomonning markaziy burchagi deyiladi. Tomonlarning uzunliklari va markaziy burchaklar bir biriga yagona yo'l bilan o'tgani sababli, tomonlar o'rniga burchaklarni ifodalash qulay. Bu borada, sferaning radiusi sferik trigonometriya tenglamalariga kirmaydi. Bu yerda biz katta (A,B,C) xarflar bilan sferik uchburchakning burchaklarini va ularga qarama-qarshi tomonlarini, yoki aniqroq qilib aytganda, ularga mos markaziy burchaklarni kichik (a,b,c) harflar bilan belgilaymiz.

Sferik uchburchak ichki burchaklarining yig‘indisi 180° katta bulib 540° dan kichik bo‘ladi. Sferik uchburchak ichki burchaklari yig‘indisi va 180° orasidagi farq sferik orttirma deb yuritiladi.

=A+B+C-180° (1.17)

Sferik orttirma bilan sferik uchburchakning yuzi orasida quyidagi bog‘lanish mavjud.

(1.18)

bu erda R-sfera radiusi. Tekislikdagi uchburchak sferik uchburchakdan keskin farq qilganidan uning formulalarini sferik uchburchak uchun qo‘llab bo‘lmaydi.

Shuning uchun sferik uchburchak uchun alohida formulalarni ko‘rib chiqamiz. Uchlari A, B va C nuqtalarda yotgan sferik uchburchak, radiusi R va markazi O nuqtada bo‘lgan sferada yotsin (1.19-rasm). B va C nuqtalaridan o‘tgan radius yunalishlari OB va OC larni A uchidan b va c tomonlariga o‘tkazilgan urinmalar bilan kesishguncha davom ettiramiz. Bu kesishgan nuqtalar (K va L) ni o‘zaro tutashtirib, bir tomoni (KL) umumiy bulgan ikkita teng yonli AKL va OKL uchburchaklarni hosil qilamiz. Bu uchburchaklarning umumiy tomoni KL ning kattaligini har ikkala uchburchakdan alohida-alohida topsak,

AKL dan: (1.19)

OKL dan: (1.20)

(1.20) dan (1.19) ni ayirsak:

(1.21)

Endi AKO va ALO uchburchaklar to‘g‘ri burchakli ekanligidan ulardan topilgan radius

, (1.22)

bo‘ladi. Shuningdek, bu uchburchaklardan:

yoki , yoki

yoki , yoki

Ushbu ifodalarni (1.21) ga qo‘yib ixchamlab, quyidagi tenglamani hosil qilamiz:

va uni 2R² ga bo‘lsak,

yoki

(1.23)

Demak, sferik uchburchakda bir tomonining kosinusi qolgan ikki tomonining kosinuslari bilan shu tomonlar sinuslari va ular orasidagi burchak kosinusiga ko‘paytmasining yig‘indisiga teng bo‘ladi. (1.23) formulani sferik uchburchakning boshqa tomonlari uchun ham yozish mumkin.

(1.24)

(1.25)

Bu tenglamalardan (1.24) formuladagi o‘riniga (1.23) tenglamaning o‘ng tomonini qo‘ysak, u holda:

ga almashgirib barcha haddarini sinc ga bo‘lsak:

yoki

. (1.26)

Shuningdek:

_, (1.26')

, (1.27)

demak, sferik uchburchakda biror tomoni sinusining shu tomonga yopishgan burchak kosinusiga kupaytmasi burchakni chegaralovchi ikkinchi tomon sinusining uchinchi tomon kosinusiga ko‘paytmasidan chegaralovchi tomon kosinusini uchinchi tomon sinusiga va keyingi ikki tomon orasidagi burchak kosinusi ko‘paytmasi ayrilganiga teng. (1.26-1.27) formulalar sferik uchburchak uchun besh elementli formulalari deb yuritiladi. Endi (6) tenglamani sosA ga nisbatan aniqlab, sinuslar formulalarini topamiz.

(1.28)

Ikkala tomonini kvadratga ko‘tarib:

(1.29)

hosil qilamiz. 1 dan (1.29) ning har ikkala tomonini ayirsak:

(1.30)

bu yerda 1-cos²A ni sin²A bilan almashtirib, tenglikning ikkala tomonini sin²a ga bo‘lsak:

yoki

Qavslarni ochib ixchamlasak,

demak

(1.31)

olingan natija a, b, s lar uchun simmetrik bo‘lganidan

Hosil qilingan uchta tenglamalarning o‘ng tomonlari teng bo‘lganidan

(1.32)

ya’ni, sferik uchburchak istalgan burchagi sinusining bu burchak qarshisidagi tomon sinusiga nisbati o‘zgarmas kattalikdir.

Agarda biz a,b va c tomonlari juda kichik (nolga intilishi mumkin degan limit) deb qabul qilsak, unda sferik uchburchak tekislikdagi uchburchakka aylanadi. Agarda hamma burchaklar radiandarda ifodalangan bo'lsa, unda biz quyidagi taxminiy formulalarga ega bo'lamiz:

(1.33)

Ushbu approksimatsiyalarni kosinuslar formulasiga qo'yish orqali biz tekislik

geometriyasidagi sinuslar formulasiga kelamiz:

(1.34)

Xuddi shu yo'l bilan sferik trigonometriyadagi kosinuslar formulasidan tekislikdagi kosinuslar formulasi

(1.35)

ni keltirib chiqarishimiz mumkin.

§ 1.13. Parallaktik uchburchak. Koordinatalar sistemalariaro o‘tish formulalari

Uchlari olam qutbi P, zenit Z va yoritgich M da joylashgan sferik uchburchak parallaktik uchburchak deyiladi. Ta’rifdan ko‘rinishicha, parallaktik uchburchakning tomonlari - osmon meridiani, yoritgichdan o‘tgan og‘ish va vertikal yarim aylanalaring yoylaridan iborat bo‘ladi (1.18-rasm). Sferik uchburchak formulalarini tatbiq etib, koordinatalarning almashtirish formulalarini keltirib chiqarish uchun parallaktik uchburchak tomonlari va burchaklarini yoritgichning ekvatorial (t, ) va gorizontal koordinatalar kattaliklari (A, z) va joyning geografik kenglamasi () orqali belgilaymiz. Shaklda NP yoy h_R= bo‘lganida parallaktik uchburchakning PZ tomoni 90- ga, KM=_ bo‘lganidan MR_sh yoy uzunligi 90- ga va uchinchi MZ tomoni yoritgichning zenit masofasi z ga teng bo‘ladi. Shuningdek SZL sferik burchak yoritgich A-azimutni berganidan parallaktik uchburchakning NZL sferik burchagi (180⁰-A) ni QPK sferik burchak esa yoritgichning soat burchagi t ni beradi.

Parallaktik uchburchakdan foydalanib, bir astronomik koordinata sistemasidan boshqasiga o‘tish mumkin. Sferik uchburchakning (6) formulalariga ko‘ra

cos(90⁰-)=cos(90⁰-)cosz+ sin(90⁰-)sinz= cos(180⁰-A),

keltirish formulalaridan foydalansak, u holda

sin=sincosz+cossinz(-cosA)=sincosz-cossinzcosA

besh elementli sferik uchburchakga ko‘ra:

sin(90⁰-)cost=sin(90⁰-)cosz-sinzcos(90⁰-)cos(180⁰-A) (1.36)

yoki

coscost=coscosz+sinzsincosA (1.36’)

Sinuslar formulasiga ko‘ra:

(1.37)

yoki

sintcos=sinzsinA. (1.38)

Ushbu formulalar yoritgichlarning gorizontal koordinatalaridan ekvatorial koordinatalarga o‘tishga imkon beradi.

Ekvatorial koordinatalardan gorizontal koordinatalarga o‘tish esa quyida chiqariladigan formulalar yordamida bo‘ladi.

Kosinuslar formulasiga

cosz= cos(90⁰-) cos(90⁰-)+sin(90⁰-)sin(90⁰-)cost,

ixchamlashtirishdan keyin

cosz=sinsin+coscoscost (1.39)

sinzcos(180⁰-A)=sin(90⁰-)cos(90⁰-)-sin(90⁰-)cos(90⁰-)cost.

Keltirilgan formulalariga ko‘ra

-sinzcosA=cossin-coscoscost (1.40)

sinzcosA=-cossin+coscoscost.

Sinuslar teoremasiga ko‘ra yoki sinAsinz=sintcos.

Xususiy holda yoritgichning chiqayotgan yoki botayotgan paytida uning azimuti z=90⁰ bo‘lganidan quyidagicha topiladi.

sinA= sintcos, (1.41)

ya’ni

A=arcsin(sintcos)

Bu yerda plyus yoritgichning chiqish momentiga, minus esa botish momentiga tegishli.

8-Ma’ruza. Refraksiya hodisasi. Sutkalik parallaks.

§ 1.14. Refraksiya

Yorug’lik atmosferadan o’tganda sinishi hisobiga kuzatilayotgan obyektning yo’nalishi o’zining haqiqiy yo’nalishidan farq qiladi. Bu farq atmosfera holatiga bog’liq bo’ladi. Bu sinish atmosferaning bosimi hamda temperaturasiga bog’liqligi sababli uni oldindan aniq hisoblash juda qiyin. Lekin ba’zi amaliy holatlar uchun juda katta aniqlik bilan hisoblash mumkin. Agar obyekt zenit nuqtasiga yaqinroq nuqtada joylashgan bo’lsa, u holatda atmosferaning parallel qatlamlari uchun yutilish koeffisienti n_i yordamida aproksimatsiyalash mumkin (1.19-rasm). Atmosferadan tashqarida n=1.

Ta’rif: Yoritgichdan kelayotgan nurlarni Yer atmosferasida sinish hodisasiga refraksiya deyiladi.

Kuzatuvchining zenitida bo‘lmagan ixtiyoriy yoritgich kuzatuvchiga haqiqiy o‘rnidan zenitga tomon siljigan xolda ko‘rinadi. Buning sababi M yoritgichdan kelayotgan nur ko‘zga tushishdan oldin Yer atmosferasining qatlamlaridan o‘tayotganda egiladi (1.19-rasm) Agar soddalik uchun atmosfera qatlamlarini zichliklari turlicha bo‘lgan ₁>₂>₃>₄>₅>... alohida qatlamlardan iborat deb qaralsa, u xolda yoritgichdan kelayotgan nur bu qatlamlarning chegaralaridan o‘tayotib, mos ravishda, turli i₁>i₂>i₃>i₄>i₅>... burchaklar ostida sinadi. Natijada kuzatuvchi M yoritgichni KM yo‘nalish bo‘yicha emas, balki vertikal aylana bo‘ylab zenitga siljigan KM holatda ko‘radi.

z=+ z

ifodadan topiladi.

Atmosferaning ma’lum qatlamlar chegarasiga tushayotgan va sinayotgan nurlar bir tekislikda yotganidan refraksiya yoritgichning ko‘rinma gorizontal diametrini o‘zgartirmaydi, ya’ni sinish vertikal aylana bo‘ylab kuzatiladi. Refraksiya tufayli yoritgichning har ikkala ekvatorial koordinatalari to‘g‘ri chiqishi va og‘ishi ham o‘zgaradi. Faqat yoritgich kulminatsiyasida bo‘lgan taqdirdagina vertikal aylana, yoritgichning og‘ish aylanasi bilan ustma-ust tushganida, uning og‘ishi, zenit masofasining o‘zgarish kattaligigacha o‘zgarib, to‘g‘ri chiqishi o‘zgarmaydi. Yoritgich zenitda bo‘lganda refraksiya nolga teng bo‘lib, gorizontda maksimumga erishadi (35).

Refraksiya kattaligini xisoblashning murakkab nazariyasi mavjud bo‘lib, maxsus kurslarda qaraladi. Refraksiya kattaligini taxminiy hisoblash, normal sharoitda, (R=760 mm.s.u, t=0⁰S) quyidagi formula asosida bajariladi:

=60,25tgz

Agar bosim R mm.sim.ust., temperatura t⁰S bo‘lsa, refraksiya

(1.42)

ko‘rinishdagi ifoda orqali hisoblanadi. Bu formulalar, refraksiya kattaligini yoritgichlarning ko‘rinma zenitdagi uzoqligi 70⁰ gacha bo‘lgandagina hisoblashga imkon beradi. z>70⁰ bo‘lgan yoritgichlar uchun refraksiya kattaligi kuzatishlarga tayangan maxsus yo‘l bilan hisoblanadi. Yoritgich gorizontda bo‘lganda refraksiya kattaligi normal sharoitda 35 ni tashkil etadi. Binobarin yoritgichlarning (jumladan Oy va Quyoshning) chiqishi refraksiya tufayli hisoblangan vaqtdan ancha oldin sodir bo‘ladi, botish esa aksincha kech bo‘ladi.

Balandlik 15^◦ atrofida bo’lsa, refraksiya burchagi uchun quyidagidan foydalanishimiz mumkin: