Документ: Lysenko_physics_lek_2, страницы 21-25 | Студенческое хранилище

ліній індукції магнітного поля. У точці A відповідно до правила правого гвинта, вектор індукції магнітного поля B1 спрямований «до нас» і перпендикулярний до провідника 2. Тому кут α між провідником 2 і індукцією магнітного поля B1 в точці A буде дорівнювати π / 2. Тоді модуль сили Ампера, яка діє на відрізок довжиною l провідника 2 із струмом I2 , зможемо знайти із закону Ампера

F	= B I		l sin a = m0I1I2 l .	(5.2)
12	1	2	2pR
			2pR

Зрозуміло, якщо струми I1 і I2 паралельні, то сила F12 за правилом лівої руки спрямована до провідника 1. Аналогічно можна показати, що на провідник 1 із струмом I1 діє сила

			F		= m0 I2 I1 l ,
		21			2pR
					2pR
але ця сила спрямована до провідника 2, тобто F12 = -F21 (струми притягуються).
Якщо	змінити напрям	I1 (або		I2 ), то зміняться напрями F12 і			F21 . Оскільки
\| F12 \|=\| -F21 \|,	то в загальному	випадку			сила взаємодії двох паралельних		струмів буде
визначатися співвідношенням

			F = m0I2 I1 l			.	(5.3)
					2pR

2 Вивчення взаємодії двох прямих сталих паралельних струмів дає змогу встановити одиницю струму – ампер як одну з основних у СІ. Ампер (А) – сила сталого струму, який,

проходячи по двох паралельних прямолінійних провідниках нескінченної довжини малого кругового перерізу, розміщених на відстані 1 м один від одного у вакуумі, утворює силу

взаємодії між ними, яка дорівнює 2×10−7 ньютон на кожний метр довжини.

		З означення ампера і формули (5.3) знайдемо значення m0 :
2×10	−7	Н=	m0 ×1 А ×1 А ×1м	, звідки m0 = 4p×10	−7	Н	= 4p×10	−7	Гн	(генрі на метр).
			2p×1м			А2			м

§ 6 Сила, що діє на контур із струмом в однорідному магнітному полі. Момент сил, що діють на контур із струмом у магнітному полі. Вимірювання індукції магнітного поля за допомогою контуру зі струмом [5]

1 Знайдемо силу F , що діє на контур із струмом в однорідному магнітному полі

( B = const ). Згідно із законом Ампера на елемент контуру dl	зі струмом I діє сила
dF = I[dl ´ B] .	(6.1)

Результуючу усіх сил, що діють на усі елементи контуру, тобто силу, яка діє на контур, знайдемо шляхом інтегрування (6.1):

F = òI[dl ´ B].			(6.2)
Винесемо сталі величини I й B з під знака інтеграла. У результаті отримаємо
r	r	r
F	= I[(òdl )´ B] .		(6.3)

Інтеграл òdl береться за замкненим контуром і тому він дорівнює нулю. Тоді з (6.3)

випливає, що і сила дорівнює нулю F = 0 .

21

Таким чином, сила, що діє на контур зі струмом в однорідному магнітному полі,

дорівнює нулю. Це справедливо для контурів будь-якої форми (у тому числі й неплоских) при довільному розміщенні контуру відносно напрямку поля. Істотною умовою для рівності нулю результуючої сили є лише однорідність поля.

У неоднорідному магнітному полі сила, що діє на контур із струмом, не дорівнює нулю. Її визначають таким співвідношенням:

r

(6.4)

F = (pm ×Ñ)B ,

де pm = I ×S ×n

магнітний

момент

контуру зі

r

–

струмом, Ñ = ex ¶ ¶x

+ ey ¶ ¶y + ez ¶ ¶z

оператор набла.

2 Обчислимо

результуючий обертальний

x1

X

x2

момент сил

M , що діє на плоский контур із

2

3

струмом I

в

однорідному

магнітному полі з

dF1

I

dF2 .

індукцією B .

n

На рис. 6.1 показано прямокутний контур,

F

B

2

орієнтований

так,

щоб

вектор

B

був

r

F .

a

паралельний двом з його сторонам. При

1

pm

зазначених

напрямках струму

й

поля

(див.

M

рис. 6.1) на кожний елемент dl1

ділянки 1–2 діє

dl

dl2

спрямована за площину рисунка сила Ампера

1

4

dF1 , модуль якої дорівнює

IBdl1 , а на кожний

b

елемент dl2

ділянки 3–4 діє спрямована «на нас»

Рисунок 6.1 – Плоский

контур

зі

сила Ампера

dF2 , модуль якої дорівнює

IBdl2 .

струмом в однорідному магнітному полі,

Ділянки 2–3 і 4–1 паралельні полю, тому сили на

індукція B

якого паралельна стороні b

них не діють.

контуру.

Нормаль

n

і сила

F1

Результуюча F1 сил dF1 прикладена до

спрямовані

«від

нас»,

сила

F2

середини ділянки 1–2 і має модуль, що дорівнює

IBa . Аналогічно

результуюча

F2

сил

dF2

спрямована «на нас»

прикладена до середини ділянки 3–4 і має модуль такої ж величини, що й F1 . Момент сил F1 й F2 відносно довільної осі X (див. рис. 6.1) дорівнює

M = IBa× x1 + IBa× x2 = IBa×(x1 + x2 ) = IBa×b = IBS .

Тут використано, що виходячи з геометричних міркувань x1 + x2 = b , a ×b = S , де S – площа

контуру. Врахувавши взаємну орієнтацію векторів M , B		і орту нормалі n контуру зі
струмом I , можна записати, що	r
M =		(6.5)
	[(ISn)´ B].

Вираз ISn є важливою характеристикою контуру площею S зі струмом I , який називають магнітним моментом контуру

r	r	.	(6.6)
pm = ISn

Вектор нормалі контуру n має одиничну довжину, спрямований перпендикулярно до площини контуру і пов’язаний з напрямом електричного струму, що проходить по контуру,

правилом правого гвинта. Як випливає з (6.6), магнітний момент вимірюється в системі СІ в A× м2 .

Тоді формулу (6.5) з урахуванням визначення магнітного моменту можна записати у вигляді

22

r

(6.7)

M = [ pm × B],

( pm B) .

Нагадаємо, що формула (6.7) отримана для випадку, коли вектор

B є паралельним площі

r

B) .

цього контуру ( pm

У випадку,

коли вектори pm

й B паралельні (в цьому

B

випадку вектор B є перпендикулярним до площі контуру), сили,

що діють на окремі елементи контуру, лежать в одній площині

(площині контуру) і, отже, не можуть створити обертальний

α

момент. Ці сили прагнуть розтягти (якщо

pm

й

B

мають

однаковий

напрям) або

стиснути

(якщо

pm

й

B

мають

n

pm B||

протилежні напрями) контур.

I

Розглянемо випадок, коли вектори pm

й

B

утворюють

довільний кут

α (рис. 6.2). Розкладемо магнітну індукцію

B на

Рисунок 6.2 – Контур,

дві складові: B||

– паралельну й B – перпендикулярну до вектора

нормаль n до площини

pm , і розглянемо дію кожної складової окремо. Компонента B||

якого утворює з нап-

буде обумовлювати сили, що розтягують або стискають контур.

рямом вектора B кут α

Компонента B , що має модуль, який дорівнює B sin α , приведе

до виникнення обертального моменту, який можна обчислити за формулою (6.7):

r

(6.8)

r

M = [ pm × B ].

Оскільки [ pm × B|| ] = 0 , формулу (6.8) можна написати у вигляді

r

.

(6.9)

M = [ pm × B]

Таким чином, отримали формулу (6.9), яка визначає результуючий обертальний

момент сил, що діє на плоский контур із струмом

I в однорідному магнітному полі з

індукцією B . Зазначимо,

що ця формула є справедливою при будь-якій взаємній орієнтації

векторів pm

і

B .

Можна довести, що вона є правильною для плоских контурів будь-якої

форми, що знаходяться в однорідному магнітному полі.

3 Формулу (6.9) можна застосовувати й для неоднорідних магнітних полів. Необхідно тільки, щоб розміри контуру були малі. Тоді впливом неоднорідності поля на обертальний момент можна знехтувати. Такі контури й котушки можуть бути використані на практиці для вимірювання індукції магнітного поля. У цьому випадку їх називають пробними.

Якщо пробний контур помістити в магнітне поле, то під дією обертального моменту його магнітний момент pm встановиться уздовж індукції магнітного поля B подібно, як це відбувається з магнітною стрілкою. Таким чином, самовільна орієнтація контуру зі струмом

в магнітному полі дозволяє визначити напрям вектора індукції магнітного поля B .

Повернемо контур із цього положення на 90°. Обертальний момент у цьому випадку стане максимальним. Вимірявши максимальний обертальний момент сил M max контуру зі

струмом, знаючи його магнітний момент, можемо знайти модуль індукції магнітного поля,

використовуючи формулу (6.9):


B = Mmax / pm	.	(6.10)

Таким чином, використовуючи контур зі струмом, можна виміряти як напрям, так і модуль вектора індукції магнітного поля.

23

§ 7 Робота при переміщенні контуру зі струмом у магнітному полі [9]

1 Розглянемо спочатку окремий випадок. Нехай паралельні провідники AN й CD

(рис. 7.1) розміщені в однорідному сталому магнітному полі з індукцією B , яке перпендикулярне до площини рисунка й спрямоване «до нас». Ліворуч знаходиться джерело струму, яке не показано на рисунку. По проводах може вільно переміщуватися провідний місток KL , що замикає струм I , який проходить по проводах, які розміщені ліворуч містка. Якщо l – довжина містка, то на нього магнітне поле діє із силою Ампера F = IBl . При переміщенні містка на відстань dx ця сила виконає роботу

dA = Fdx = IBldx = Id(BS) ,

де S – площа прямокутника AKLC . Величина BS є магнітним потоком через той самий

прямокутник. Позначивши його через F = B ×S = B × S , отримаємо для елементарної роботи співвідношення

		dA = IdΦ	,			(7.1)
а для скінченної роботи у випадку сталого електричного струму

	A12 = I (F2 - F1)				.	(7.2)
Таким чином, робота, яка виконується магнітним
полем над струмом, дорівнює збільшенню магнітного потоку,
помноженому на силу струму I . При				доведенні
передбачалося, що струм I при переміщенні				містка KL
підтримувався постійним.
2 Формули (7.1) та (7.2) є правильними і в тому випадку,						Рисунок 7.1
коли магнітне поле спрямовано довільно. Ці				формули є

правильними також і для будь-якого витка зі струмом при довільному переміщенні його в сталому неоднорідному магнітному полі. Виток може не тільки переміщуватись як ціле,

але й довільно деформуватися. Для доведення достатньо подумки розбити виток на нескінченно малі елементи струму й розглянути нескінченно малі їх переміщення. При нескінченно малому переміщенні елемента струму магнітне поле, у якому він переміщується, може вважатися однорідним. До такого переміщення можна застосувати вираз (7.1) для елементарної роботи. Додаванням таких елементарних робіт для всіх елементів струму, на які розбитий виток, знову отримуємо вираз (7.1), у якому dΦ означає збільшення магнітного потоку через весь виток. Після цього перехід від формули (7.1) до формули (7.2) відбувається простим інтегруванням. Підкреслимо ще раз, що при переміщенні витка сила струму у ньому повинна підтримуватися сталою. Це досягається шляхом відповідного збільшення електрорушійної сили джерела.

§ 8 Теорема Гаусса для магнітного поля у вакуумі. Теорема про циркуляцію вектора магнітної індукції [5]

1 Як відомо, елементарним потоком вектора A через площу dS	називають
величину
dF = A×dS .
Виходячи із цього визначення, можемо записати елементарний потік вектора індукції
магнітного поля B через площу dS у вигляді
dF = B ×dS .	(8.1)
Магнітний потік через довільну площу S за визначенням дорівнює
F = ò B ×dS .	(8.2)
S
24

Однією з особливостей магнітного поля є те, що його силові лінії завжди замкнені,

тобто не мають ні початку, ні кінця. Внаслідок			цього потік вектора B через будь-яку
замкнену поверхню дорівнює нулю (доводити це не			будемо):

	òBdS = 0	.	(8.3)
	S

Ця формула виражає теорему Гаусса для вектора індукції магнітного поля B в

інтегральному вигляді: потік вектора магнітної індукції через будь-яку замкнену поверхню дорівнює нулю.

Теорема Гаусса є математичним виразом того, що в природі відсутні «магнітні заряди» – джерела магнітного поля, на яких би починалися або закінчувалися лінії магнітної індукції.

Зазначимо, що магнітний потік Ф вимірюється у веберах (1 Вб=1 Тл·1 м2).

2 Для того щоб отримати теорему Гаусса в диференціальному вигляді, використаємо теорему Остроградського-Гаусса

ò A×dS = òdivA×dV ,		(8.4)
S	V

де об'єм інтегрування V знаходиться в середині замкненої поверхні інтегрування S . Виходячи з теореми Остроградського-Гаусса й (8.3), отримаємо для індукції

магнітного поля

òBdS = òdivBdV = 0 ,

S	V
або

	divB = 0	.	(8.5)

Співвідношення (8.5) виражає теорему Гаусса для вектора індукції магнітного поля B в

диференціальному вигляді.

3 Тепер знайдемо циркуляцію вектора B . Нагадаємо, що циркуляцією вектора B за

визначенням називають інтеграл по замкненому контуру Γ :

òB ×dl ,

(8.6)

Γ

де dl – елемент замкненого контуру Γ , по якому виконують інтегрування.

Обчислимо

циркуляцію

Γ

2

− dα

вектора B для випадку поля

b

dl

нескінченного прямого струму. Нехай

I

замкнений контур Γ лежить у

I

+ dα

Γ

площині, яка перпендикулярна до

dα

провідника, по якому проходить

B

1

такий електричний струм (рис. 8.1). У

а)

б)

кожній

точці контуру

вектор

B

Рисунок 8.1 – До обчислення циркуляції для поля

спрямований за дотичною до кола, що

прямого струму. Струм перпендикулярний до

проходить

через

цю точку. Через

площини рисунка і спрямований за рисунок

центр

цього

кола

проходить

електричний струм I і спрямований за площу рисунка. Подамо B ×dl

у вигляді B ×dlB ( dlB –

проекція

dl

на напрям вектора

B ). З рисунка випливає,

що dlB

дорівнює bdα , де b –

відстань від провідника зі струмом до dl ;

dα – кут, на який повертається радіальна пряма

при переміщенні уздовж контуру на відрізок dl . Підставимо в (8.6) це значення dlB , вираз для індукції B нескінченно довгого провідника зі струмом й отримаємо

25

Материал: Lysenko_physics_lek_2

Смотрите также: