Материал: Lysenko_physics_lek_2
інтегрування за усією довжиною провідника.
Як випливає із закону Ампера (1.1), сила dF перпендикулярна як до напряму проходження
електричного струму Idl , так і до вектора B , а її величина пропорційна синусу кута між цими
векторами |
(як відомо, |
| [dl ´ B] |=| dl | × | B | ´ |
||
r^ r |
|
Idl |
й B |
паралельні, |
´sin(dl , B) ). Коли вектори |
||||
сила dF |
дорівнює нулю. |
Для |
визначення |
|
|
Напрям струму |
|
|
I |
S |
|
|
|
Напрям |
N |
|
індукції |
dF |
|
магнітного |
|
|
поля |
r |
Напрям сили |
|
B |
|
напрямку сили |
dF |
зручно використовувати |
Рисунок 1.6 – До правила лівої руки |
|
правило лівої руки (рис. 1.6): якщо ліву долоню |
||||
|
||||
розмістити так, |
щоб |
витягнуті пальці показували напрям струму I , а лінії індукції |
||
магнітного поля B входили в долоню, то відхилений великий палець покаже напрям сили dF , що діє на провідник.
Як зазначалось вище, коефіцієнт пропорційності k у формулі (1.1) залежить тільки
від вибору одиниць величин dl , B , I і dF . У системі СІ цей коефіцієнт дорівнює одиниці k =1, індукція магнітного поля виміряється в теслах (Тл) .
7 Закон Ампера дозволяє визначити числове значення магнітної індукції B .
Припустимо, що елемент провідника dl зі струмом I є перпендикулярним до напряму магнітного поля (sin(dl , B) =1). У цьому випадку сила, що діє на елемент провідника зі струмом, буде максимальною, тобто
dF = IBdl ×sin(dl , B) = IBdl = dFmax .
Експериментально визначивши значення максимальної сили dFmax , що діє на елемент провідника dl зі струмом I , можемо знайти модуль вектора індукції магнітного поля
B = |
1 |
dFmax |
. |
(1.2) |
|
||||
|
I dl |
|
||
З формули (1.2) випливає, що магнітна індукція B чисельно дорівнює силі, що діє з боку поля на одиницю довжини провідника, по якому проходить електричний струм
одиничної сили і який розміщений перпендикулярно до напряму магнітного поля B . Таким чином, магнітна індукція є силовою характеристикою магнітного поля. Напрям вектора
індукції магнітного поля B , як говорилося вище, визначається напрямом від південного полюса S до північного N магнітної стрілки, що вільно встановилась у магнітному полі
(див. рис. 1.2).
З формули (1.2) також неважко з’ясувати зв’язок між одиницею виміру індукції магнітного поля та іншими одиницями виміру в системі СІ: 1 Тл=1 Н/(А∙м) .
8 Дослід свідчить, що для магнітного поля, як і для електричного, виконується
принцип суперпозиції: поле B , яке створюється декількома струмами, дорівнює векторній
сумі полів Bi , що створюються кожним струмом окремо |
|
B = åBi . |
(1.3) |
§ 2 Сила Лоренца [5]
1 Сила Ампера, що діє на провідник довжиною dl зі струмом I в магнітному полі з індукцією B ,
dF = I[dl ´ B] |
(2.1) |
11
обумовлена тим, що магнітне поле діє на рухомі носії електричного струму. Від носіїв струму дія сили передається провіднику, по якому вони переміщуються. Знайдемо силу Fm з
боку магнітного поля, що діє на окремо взятий рухомий електричний заряд.
Для цього подамо силу струму I у вигляді
I = jS = nqυS ,
де j – густина електричного струму; S – площа поперечного перерізу провідника; n , q та
υ відповідно концентрація, заряд та швидкість носіїв електричного струму. Підставлення цього виразу в (2.1) дає
r
dF = nqυS[dl × B] = nqSdl[υ× B] .
Тут використали, що напрями векторів dl та υ збігаються. Добуток nSdl дорівнює числу носіїв струму, що знаходяться на ділянці провідника dl . Розділивши dF на це число, знайдемо силу Fm , що діє на заряд q , який рухається зі швидкістю υ, з боку магнітного поля
r |
(2.2) |
Fm = q[υ× B] . |
Ця формула визначає силу (будемо називати її магнітною), що діє в точці поля, де магнітна індукція дорівнює B , на точковий заряд q , який рухається зі швидкістю υ. Модуль магнітної сили дорівнює
Fm = qυB sin α , |
(2.3) |
де α – кут між векторами υ й B . З (2.3) випливає, що на заряд, який рухається вздовж ліній поля, не діє магнітна сила (у цьому випадку α = 0 ).
Магнітна сила завжди спрямована перпендикулярно до швидкості зарядженої частинки, як це випливає з (2.3). Тому вона роботи над частинкою не виконує. Отже, за допомогою магнітного поля енергію частинки змінити не можна.
У випадку, коли заряджена частинка знаходиться як в електричному, так і в магнітному полі, сила, що діє на заряджену частинку з боку електромагнітного поля, дорівнює
r |
(2.4) |
F = qE + q[υ× B] . |
Цей вираз отримав Лоренц шляхом узагальнення експериментальних даних, і його називають
силою Лоренца.
§ 3 Рух зарядженої частинки в однорідному магнітному полі [9]
Нижче подано два варіанти викладення цього питання. У першому варіанті використовуються більше фізичні ідеї. Другий варіант базується на точному математичному розв’язанні вихідних рівнянь. Бажано ознайомитися з обома підходами. Для підготовки до практичного заняття, модульного контролю, іспиту можна використати будь-який варіант за вашим вибором.
Перший варіант
Розглянемо рух зарядженої частинки в однорідному магнітному полі, початкова швидкість якої спрямована під кутом α до вектора індукції магнітного поля (див. рис. 3.1).
r |
та формулу для магнітної |
Для цього використаємо другий закон Ньютона m dυ dt = åFi |
|
складової сили Лоренца |
|
r |
(3а.1) |
Fm = q[υ× B] . |
|
12 |
|
Виходячи з формули для магнітної складової сили Лоренца (3а.1), неважко з’ясувати, що ця сила завжди спрямована перпендикулярно до вектора швидкості частинки (згадайте властивості векторного добутку). Це означає, що робота магнітної складової сили Лоренца завжди дорівнює нулю:
r r |
r r |
r ^ r |
×dt =0. |
A = òFm ×dr |
= òFm ×udt =òFmucos(Fm , u)dt =òFmu×0 |
||
Таким чином, магнітна складова сили Лоренца не змінює кінетичну енергію частинки, а отже, не змінює і модуль її швидкості. Вона тільки викривлює траєкторію.
Запишемо другий закон Ньютона з урахуванням X магнітної складової сили Лоренца (3.1) і отримаємо
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u0x |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
m |
= q[u´ B]. |
|
|
|
(3а.2) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
У цьому співвідношенні m, q – маса та заряд частинки, υ |
– її |
|
|
α |
|
||||||||||||||||||||||||
швидкість, B – індукція магнітного поля. Спрямуємо вісь |
Z |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Z |
B |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
O |
|||
вздовж |
вектора B |
|
(див. |
рис. 3.1). |
Тоді |
|
B = Bez . |
Подамо |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
вектор |
швидкості у |
вигляді |
|
суми |
двох |
|
|
|
|
|
r |
|
|
u0z |
|
||||||||||||||
r |
|
складових: uzez , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, перпендикулярної до осі Z : |
|
|
Рисунок 3.1 |
|
||||||||||||||
спрямованої вздовж осі Z , та u |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
(3а.3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = uzez + u . |
|
|
|
|
|
||||||||
Підставимо (3а.3) в (3а.2) і отримаємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d(u |
e |
z |
+ u |
|
) |
|
|
|
|
r |
r |
r |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
z |
|
|
|
|
|
= q[(uzez + u )´ Bez ], |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
z |
r |
|
|
du |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
r |
r |
|
r |
|
r |
|
|||||
|
m |
|
|
ez |
+ |
|
|
|
|
= q[uzez |
´ Bez ]+ q[u |
´ Bez |
]= 0 + q[u |
´ B]. |
|
||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Запишемо паралельну та перпендикулярну до осі Z компоненти отриманого рівняння: |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
= q[u ´ B], |
|
|
|
|
(3а.4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
d(uzez ) |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
(3а.5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким чином, система незалежних рівнянь (3а.4) та (3а.5) описує зміну швидкості частинки в магнітному полі з часом.
З рівняння (3а.5) та рис. 3а.1. випливає, що
uz = u0 z º u0 cosa = const . |
(3а.6) |
Тобто вздовж осі Z частинка рухається рівномірно.
Розглянемо тепер детально рівняння (3а.4), яке описує рух частинки в площині, що
перпендикулярна до осі Z . Модуль швидкості частинки в магнітному полі не змінюється |
|
(див. коментар до формули (3а.1)), тобто він є сталим у часі і дорівнює (див. рис. 3а.1) |
|
u = u0 = u0 sin a . |
(3а.7) |
r |
|
Сила Fm = q[u ´ B] є також сталою за величиною, вона перпендикулярна до траєкторії |
|
r |
r |
частинки. Це означає, що і прискорення частинки aдоц = Fm / m = q[u ´ B]/ m буде
перпендикулярне до траєкторії руху, тобто нормальним, а також сталим за модулем. Відомо, що коли частинка рухається по колу, то її прискорення є доцентрове (нормальне) і стале за модулем, швидкість також є сталою за модулем. Звідси випливає, що частинка в поперечній
13
площині буде рухатись по колу. При цьому площина цього кола перпендикулярна до магнітного поля (осі Z ).
Підставляючи в (3а.4) формулу доцентрового прискорення
r |
|
u2 |
|
r |
r |
|
|
| aдоц |= |
|
|
|
=| q[u ´ B]/ m |=| qu B / m |, |
|||
|
R |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
неважко знайти радіус R цього кола |
|
|
|
|
|
||
|
R = |
|
u |
= |
mu0 sin a |
, |
|
|
|
| qB / m | |
| q | B |
||||
циклічну частоту обертання (циклотронну частоту)
w = u / R =| q | B / m ,
період обертання
T = 2p = 2pm . w | q | B
(3а.8)
(3а.9)
(3а.10)
Аналізуючи формули (3а.9)-(3а.10), зазначимо, що період і частота обертання не залежать від швидкості частинки у нерелятивістському випадку. Використовуючи цю особливість, будують роботу прискорювача заряджених частинок, який називають
циклотроном.
B |
|
|
|
υ |
|
q |
= + q |
B |
|
|
Fm |
q = - q |
||
|
υ |
|
Fm |
|
|
|
|
|
Рисунок 3.2 Визначивши напрям магнітної сили, а отже, і доцентрового прискорення, знайдемо
напрям обертання частинки по колу (див. рис. 3.2, тут магнітне поле спрямоване до читача). Якщо заряд q = + | q | є додатним, то напрями вектора B та кутової швидкості ω протилежні. Коли заряд q = − | q | є від’ємним, то ці напрями збігаються.
Таким чином, частинка в поперечній площині до магнітного поля рухається рівномірно по колу, а вздовж магнітного поля рухається зі сталою швидкістю. Результуючий рух є рухом частинки по спіралі, вісь якої паралельна магнітному полю (див. рис. 3.3).
Визначимо крок спіралі як відстань, яку частинка проходить вздовж осі Z за період обертання T = 2p
w (див. рис. 3.3):
h = T ×uz = |
2p |
u0z = |
2pm |
u0 cosa . |
(3а.11) |
|
|
||||
|
w |
qB |
|
||
r
X u0
|
O |
α |
Z |
|
|
||
|
|
|
|
Y |
|
|
R |
|
|
|
h |
|
|
|
Рисунок 3.3 |
|
|
|
14 |
Таким чином, в однорідному магнітному полі заряджена частинка в загальному випадку рухається вздовж спіралі. Радіус та крок спіралі визначаються за формулами (3а.8) та (3а.11). Кутова частота обертання (кутова швидкість) подається співвідношенням (3а.9), період обертання – (3а.10).
Другий варіант
Розглянемо рух зарядженої частинки в однорідному магнітному полі, початкова швидкість якої спрямована під кутом α (див. рис. 3.1) до вектора індукції магнітного поля.
Для цього використаємо другий закон Ньютона |
r |
|
|||||||||||
m du dt = åFi та формулу для магнітної |
|||||||||||||
r |
і отримаємо |
|
|
||||||||||
складової сили Лоренца Fm = [u´ B] |
|
|
|||||||||||
|
|
|
du |
|
|
|
r |
r |
|
||||
|
|
m |
= q[u´ B]. |
(3б.1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
У цьому співвідношенні m, q – маса та |
заряд |
частинки, |
υ – її швидкість, B – індукція |
||||||||||
магнітного поля. Спрямуємо вісь Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
вздовж вектора B . Тоді B = Bez . Запишемо рівняння |
|||||||||||||
(3б.1) у проекціях на осі X ,Y , Z : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dux |
|
= |
q |
uy B, |
|
||||||
|
|
dt |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
||||
|
|
duy |
= - |
|
q |
|
ux B, |
(3б.2) |
|||||
|
|
dt |
m |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
duz |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
З останнього рівняння системи (3б.2) випливає, що uz |
є константою, тобто |
||||||||||||
|
uz = u0z = u0 cosa |
|
|||||||||||
Тут враховано, що початкова швидкість частинки спрямована під кутом α до осі Z (див.
рис. 3.1).
Якщо продиференціювати перше рівняння системи (3б.2) та в отриманий результат підставити друге рівняння системи (3б.2), то знайдемо
|
d 2u |
x |
æ qB |
ö2 |
|
|
|
= -ç |
÷ ux , |
|
|
|
dt2 |
|
|
||
|
|
è m |
ø |
|
|
або |
|
|
|
|
|
|
d 2ux |
2 |
|
|
|
|
|
|
+ w ux = 0. |
(3б.3) |
|
|
dt2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
У рівнянні позначено |
|
|
|
|
|
|
|
w = qB . |
|
(3б.4) |
|
|
|
|
m |
|
|
Цю величину називають циклотронною частотою. Рівняння (3б.3) в математиці називають
диференціальним рівнянням гармонічних коливань. Його розв’язок є
ux = Acos(wt + j0 ) , |
(3б.5) |
де A, j0 – сталі, які визначаються початковими умовами. Для того щоб впевнитись, що
(3б.5) є розв’язком (3б.3), достатньо підставити (3б.5) в (3б.3). Далі з першого рівняння (3б.2) знаходимо
15