Документ: Lysenko_physics_lek_2, страницы 16-20 | Студенческое хранилище

Материал: Lysenko_physics_lek_2

Смотрите также:


uy =	dux	1			= -Asin(wt + j0 ) .	(3б.6)
uy =	dt		æ q	ö	= -Asin(wt + j0 ) .	(3б.6)
		ç		B÷
		ç		B÷
			è m	ø

З’ясуємо сутність констант A та j0 . В початковий момент часу t = 0 проекції швидкості ux і uy мають значення u0x , u0 y . Підставляємо їх у (3б.5) та (3б.6) і отримуємо

u0x = Acosj0 , u0 y = -Asin j0 . Звідси знаходимо, що u02x + u02 y = A cos2 j0 + sin 2 j0

= A .

Зрозуміло, що

u02x + u02 y = u0 – модуль складової початкової швидкості частинки,

яка перпендикулярна

до

осі

Z . Таким чином,

A = u0 .

Виберемо

вісь

X так,

щоб в

початковий момент

часу

r

лежала в

площині

XZ .

Тоді з

рис. 3.1

t = 0 швидкість u0

знаходимо, що

u0x = u0 sin a ,

u0 y = 0 .

Це означає, що j0 = 0,

u0 = u0 sin a . З урахуванням вищесказаного, рівняння (3б.5)

та (3б.6) набирають вигляду

	ux = u0 cos(wt),	(3б.7)
	uy = -u0 sin(wt),	(3б.7)
	uy = -u0 sin(wt),

де u0 = u0 sin a .

Використаємо визначення швидкості і знайдемо залежність координат частинок від

часу:

ux = dx

x

t

= u0 cos(wt) Þ òdx = òu0 cos(wt)dt Þ

dt

x0

0

x = x +

u0

sin(wt) ,

(3б.8)

0

w

uy = dy

y

t

= u0 sin(wt) Þ òdy = ò- u0 sin(wt)dt Þ

dt

y0

0

y = y0 +

u0

(cos(wt) -1) ,

(3б.9)

w

dz

z

t

uz =

= u0z Þ òdt = òu0z dt Þ

dt

z0

0

z = z0 + u0z ×t .

(3б.10)

Початок координатних осей

вибираємо

так, щоб x

= 0, y

0

-

u0

= 0, z

0

= 0 . Це

0

w

приводить до спрощення математичних співвідношень без зміни фізичної сутності. Тоді з

(3б.8)-(3б.10) отримуємо

x =	u0	sin(wt),

	w
y =	u0	cos(wt),	(3б.11)

	w

z = u0z ×t.

16

Порівнюючи перші два рівняння (3б.11) з (3б.1) та (3б.2), робимо висновок, що


частинка в площині XY рівномірно рухається по полу з радіусом
		R = u0			= u0 sin a .			(3б.12)
			w			w
Кутова частота обертання частинки по цьому колу визначається циклотронною
частотою (3б.4) w =	q	B m .
частотою (3б.4) w =	q	B m .
Виходячи з третього рівняння системи (3б.11), стверджуємо, що частинка рухається
вздовж осі Z рівномірно. Суперпозиція рівномірного руху вздовж осі Z								та рівномірного
руху по колу в площині XY дасть рух частинки по спіралі (див. рис. 3.3).
Визначимо крок спіралі як відстань, яку частинка проходить вздовж осі Z за період
обертання T = 2p w (див. рис. 3.3):
		h = T ×uz =	2p	u0z =		2pm	u0 cosa .	(3б.13)
		h = T ×uz =		u0z =			u0 cosa .	(3б.13)
			w			qB

Таким чином в однорідному магнітному полі заряджена частинка в загальному випадку рухається по спіралі. Радіус та крок спіралі визначаються формулами (3б.12) та (3б.13). Кутова частота обертання (кутова швидкість) дається співвідношенням (3б.4),

період обертання дорівнює
T =	2p	=	2p×m	.	(3б.14)
	w
			qB

§ 4 Закон Біо-Савара-Лапласа. Індукція магнітного поля, яке створене відрізком із струмом. Індукція нескінченно довгого прямого провідника зі струмом. Індукція на осі колового струму [5]

1 Біо й Савар провели в 1820 р. дослідження магнітних полів, які створюються струмами, що проходять по тонких провідниках різної форми. Лаплас проаналізував експериментальні дані, отримані Біо й Саваром, і встановив залежність, яка отримала назву закону Біо-Савара-Лапласа.

Відповідно до закону Біо-Савара-Лапласа індукція

магнітного поля, яка створюється елементом струму Idl , визначається за формулою

r	m		r
		0	I[dl ´r ]
dB =				,	(4.1)
	4p		r3

де dl – вектор, модуль якого дорівнює елементарній довжині ділянки зі струмом I і спрямований у той бік, куди проходить струм (рис. 4.1); r – вектор, що проведено

від елемента струму в ту точку, у якій визначається dB ; r – модуль цього вектора; m0 – так звана магнітна стала, що дорівнює

m0 = 4p×10−7 Тл∙м/А = 4p×10−7 Гн/м,

(4.2)

I

dB

	r
dl	α
	α
Рисунок 4.1 – Індукція		dB
магнітного	поля,	що
створюється	елементом dl
провідника,	по	якому

проходить струм I

де Гн (генрі) – одиниця індуктивності (про цю одиницю детально мова буде йти далі).

Згідно з цим законом магнітне поле будь-якого струму може бути обчислене як векторна сума (суперпозиція) полів, які створюються окремими елементарними ділянками

струму Idl :

17

r	r			m					r
r	r			m	0		I[dl ´r ]
B = òdB =		ò			0					.
B = òdB =		ò		4p			r	3		.
				4p			r
Модуль вектора dB , виходячи з виразу (4.1), визначається співвідношенням
	dB = m0		I ×dl ×sin a						,	(4.3)
	dB = m0								,	(4.3)
	4p					r2

де α – кут між векторами dl й r .

2 Застосуємо закон Біо-Савара-Лапласа для обчислення індукції магнітного поля, яке створене відрізком із струмом, наприклад в точціO (див. рис. 4.2), яка знаходиться на відстані a від осі відрізка. При цьому вважаємо кути між напрямами векторів, проведених з кінців відрізка зі струмом до точки O і напрямом електричного струму I , відомими і такими, що дорівнюють відповідно a1 й a2 (див. рис. 4.2).

	dB O
da		α
			r × dα
	a	r
	a
a2	P	K	M	a1
	P	K	α	a1
I		dl	N
Рисунок 4.2 – До	обчислення індукції магнітного поля, що ство-
рюється відрізком провідника зі струмом

Розіб’ємо відрізок із струмом I на елементарні ділянки dl (див. рис. 4.2). Відповідно до закону Біо-Савара-Лапласа елемент зі струмом Idl створює магнітне поле з індукцією dB ,

що визначається формулою (4.1). Зауважимо, що вектори dB від усіх елементів струму I ×dl в точці O паралельні осі Z , яка перпендикулярна до площини рисунка (див. рис. 4.2). Тому

відповідно до принципу суперпозиції при визначенні індукції магнітного поля B у точці O можна перейти від геометричного до алгебраїчного підсумовування (інтегрування):

r	ò	r r	ò	r	m	× I		ò	sin a
B =	ò	dB = ez ×	ò	dB = ez ×	4p		×	ò	r2	×dl ,	(4.4)
B =		dB = ez ×		dB = ez ×	0		×			×dl ,	(4.4)
	l		l					l

де dB – модуль вектора dB (див. формулу (4.3)); α – кут між векторами dl й r . Проаналізуємо вираз (4.4). Зрозуміло, що під знаком інтеграла у співвідношенні (4.4)

кут α та довжина вектора r змінюються при переході від одного елемента довжини dl до іншого (див. рис. 4.2.). Тому перетворимо підінтегральний вираз так, щоб він залежав тільки від однієї змінної, наприклад кута α .

Неважко знайти зв’язок елемента dl з елементарним кутом da та довжиною вектора r . З трикутника DKMN (див. рис. 4.2) випливає, що dl ×sin a = KM , а з трикутника DOKN – KM = r ×da . Звідси маємо dl = r ×dasin a . Далі з трикутника DOPN можемо виразити

довжину вектора r через відстань a та кут α : r = a / sin a . Тоді співвідношення (4.4) набуде вигляду

r	r m0 × I	α2 da r m0 ×
B = ez × 4p		× ò	r	= ez ×	4p×
		α1
				18

I ×αò2sin a×da . a α1

Далі проведемо інтегрування і отримаємо шуканий вираз для індукції магнітного поля, що створюється відрізком провідника зі струмом:

3 Застосуємо закон Біо-Савара-Лапласа для обчислення індукції магнітного поля, яке створене нескінченно довгим прямим провідником зі струмом (див. рис. 4.3). Для цього використаємо формулу для індукції магнітного поля від відрізка із струмом (4.5).

		B	O
	a2		a1
I	a2		a


			b
Рисунок	4.3 – До	обчислення індукції магнітного поля, що ство-
Рисунок	4.3 – До	обчислення індукції магнітного поля, що ство-

рюється нескінченним тонким провідником зі струмом

З рис. 4.3 випливає, що коли довжина відрізка b буде прямувати до нескінченності, то кут a1 буде прямувати до нуля, а кут a2 – до 180° . Це означає, що коли відрізок

перетвориться в нескінченно довгий провідник із струмом (b = ∞ ), кути будуть мати значення

a1 = 0, a2 =180° .

(4.6)

Тоді індукцію від нескінченно довгого тонкого провідника із струмом знайдемо, підставивши значення (4.6) в (4.5):

B =

m0 × I

×(1- (-1))=

m0 × I

, тобто

B =

m0 × I

.

(4.7)

2p×a

4p×a

2p×a

Таким чином, отримали співвідношення

(4.7), яке визначає індукцію магнітного поля від

X

нескінченного тонкого провідника із струмом I .

O

Слід зазначити, що напрям вектора B

можна

визначити за правилом правого гвинта: коли

гвинт встановити паралельно струму й

dB

обертати його так, щоб поступальний рух

p

-b

гвинта був

спрямований вздовж

струму,

то

обертання

шапочки

гвинта буде

визначати

β

r

2

dB

r

напрям силових ліній індукції магнітного поля.

dBxex

r

x

4 Застосуємо

закон Біо-Савара-Лапласа

dB

для обчислення індукції магнітного поля на осі

колового струму (див. рис. 4.4).

Розіб’ємо круговий виток, по

якому

dl

I

R

проходить струм I ,

на елементи

довжини

dl

O′

(див. рис. 4.4). Елемент довжини dl

зі струмом I

Рисунок 4.4

створює в точці O магнітне поле dB , яке

визначається законом Біо-Савара-Лапласа (4.1). Відповідно до цього закону вектор

dB є

перпендикулярним до радіуса-вектора

r й

вектора

dl (див.

рис. 4.4), а його модуль

відповідно до (4.3) дорівнює

r

m0

I ×dl

×sin p

= m0

I ×dl

| dB |=

×

.

(4.8)

4p

r2

2

4p

r2

19

Тут враховано, що кут α між векторами r

й dl

дорівнює π / 2.

Подамо вектор dB у вигляді суми двох векторів:

вектора Bxex , який спрямований

паралельно осі X , та вектора dB , який перпендикулярний до осі X (див. рис. 4.4).

Знайдемо векторну суму паралельних осі X

компонент вектора dB . Виходячи з

рисунка 4.4, неважко знайти проекцію

dBx = -dB ×cos(p/ 2 -b) = - m0

×

I ×dl ×sin b

.

(4.9)

У цій формулі кут β – кут між віссю

4p

r2

X

та вектором r . Зазначимо, що для всіх елементів

струму Idl кут β має одне і те саме значення (див. рис. 4.4)

sin b =

R

=

R

.

(4.10)

r

R2 + x2

Відповідно до принципу суперпозиції знаходимо результуючу проекцію Bx

шляхом

підсумовування усіх елементарних проекцій dBx

(або, в нашому випадку, їх інтегруванням)

m0

I

2πR

I

Bx =

ò

dBx = -

×

×sin b×

ò

dl = -

m0

×

×sin b×2pR =

4p

r2

4p

r2

0

m0

I

R

m0 × I × R2

= -

4p

×

×2pR = -

2(R2 + x2 )3/ 2

.

(4.11)

(R2 + x2 )

R2 + x2

Знайдемо векторну суму перпендикулярних до осі

X компонент вектора dB ( dB ).

Зазначимо – у цій сумі для кожного вектора

dB можна знайти йому протилежний. Це

означає, що сума усіх векторів dB буде дорівнювати нулю.

Таким чином, результуюча індукція магнітного

поля B

від колового

витка зі

струмом буде визначатися співвідношенням

r

m0 × I × R2

r

B = Bxex

= -

2(R2 + x2 )3/ 2

ex

.

(4.12)

§ 5 Взаємодія двох

нескінченно

довгих паралельних

провідників. Ампер –

одиниця вимірювання сили струму [15]

1 У 1820 р. Ампер експериментально встановив, що два прямі паралельні струми притягуються, а антипаралельні відштовхуються. Знайдемо силу взаємодії двох паралельних нескінченних струмів.

Розглянемо два нескінченно довгі паралельні провідники із струмами 1 і 2 (рис. 5.1). Індукція магнітного поля, що створюється нескінченно довгим провідником зі струмом I1 в точці A на відстані R від провідника 1, визначається співвідношенням

B =	m0 I1	.	(5.1)

1	2pR

I1	1		2	I2
				I2
	F21		F12	A
				A
		R	B1
		R
Рисунок 5.1

Напрям вектора B1 можна визначити за правилом правого гвинта: коли гвинт

встановити паралельно струму й обертати його так, щоб поступальний рух гвинта був спрямований вздовж струму, то обертання шапочки гвинта буде визначати напрям силових

20

×(cosa - cosa