Материал: Lysenko_physics_lek_2

Співвідношення визначає фізичну сутність хвильової функції: квадрат модуля хвильової

функції в деякій точці простору є густиною ймовірності знаходження частинки в цій точці простору ( dP / dV = Ψ 2 ).

Виходячи з фізичного змісту квадрата модуля хвильової функції можемо знайти, що інтеграл від виразу (84.2), узятий в усьому просторі, повинен дорівнювати одиниці:

Дійсно, цей інтеграл дає ймовірність того, що частинка знаходиться в одній із точок простору, що є подією достовірною. Відомо, що ймовірність достовірної події дорівнює одиниці. Співвідношення (84.3) називають умовою нормування.

3 З інтерпретації Борна (84.2) випливає, що квадрат модуля хвильової функції є густиною імовірності (імовірністю, віднесеною до одиниці об'єму) знаходження частинки у відповідному місці простору. З цього випливають такі властивості хвильової функції. Псі-функція повинна:

1)бути однозначною, неперервною й скінченною (за винятком, може бути, особливих точок);

2)мати однозначну, неперервну та скінченну похідну;

3)інтеграл òΨ*ΨdV , узятий по всьому простору, повинен бути скінченним.

Сукупність перелічених вище вимог називають стандартними умовами для хвильової функції.

§ 85 Загальне й стаціонарне рівняння Шредінгера [6]

1 Розвиваючи ідеї де Бройля про хвильові властивості речовини, Шредінгер отримав у 1926 р. рівняння для визначення хвильової функції. Воно дозволяє знайти хвильові функції частинок, які рухаються в різних силових полях. Рівняння виглядає так:

оператор Лапласа, результат дії якого на деяку функцію є сумою других частинних похідних за координатами:

Рівняння (85.1) називають загальним рівнянням Шредінгера. З рівняння (85.1) випливає, що вигляд хвильової функції визначається потенціальною енергією U , тобто в остаточному підсумку характером сил, що діють на частинку.

Рівняння Шредінгера є основним рівнянням нерелятивістської квантової механіки. Воно не може бути доведене з інших співвідношень. Його варто розглядати як вихідне основне припущення, справедливість якого доводиться тим, що всі наслідки, які випливають із нього, точно узгоджуються з дослідними фактами.

Шредінгер установив своє рівняння, виходячи з оптико-механічної аналогії. Ця аналогія полягає в подібності рівнянь, які описують хід світлових променів, з рівняннями, що визначають траєкторії частинок у класичній механіці.

Пояснимо, як можна прийти до загального рівняння Шредінгера. Для простоти обмежимося одновимірним випадком. Розглянемо частинку, яка вільно рухається.

171

Скоротивши на загальний множник exp[- i(E / h)t] , прийдемо до диференціального рівняння, що визначає функцію ψ :

Рівняння (85.5) називається рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів

(стаціонарне рівняння Шредінгера) . Надалі ми будемо мати справу тільки із цим рівнянням і для стислості будемо називати його просто рівнянням Шредінгера. Рівняння (85.5) часто пишуть у вигляді

У випадку стаціонарного силового поля хвильова функція має вигляд (85.4). Тоді

Y*Y = exp[i(E / h)t]y* ×exp[-i(E / h)t]y = y*y .

Таким чином, густина імовірності дорівнює y*y й, отже, від часу не залежить. Саме тому

стани, які описуються хвильовими функціями вигляду (85.4), називають стаціонарними.

3 У класичній механіці стан частинки (матеріальної точки) визначається завданням положення і швидкості (або імпульсу) частинки. Якщо є відомим стан у початковий момент часу й силове поле, у якому знаходиться частинка, то, розв’язавши рівняння Ньютона, можна знайти положення й швидкість частинки у будь-який наступний момент часу. У цьому полягає сутність причинності в класичній механіці.

Уквантовій механіці класичне поняття стану позбавлене змісту, тому що координата

йшвидкість частинки принципово не можуть мати одночасно певних значень. Тому класичне поняття причинності також не можна застосовувати у квантовій теорії. Стан частинки задається у квантовій механіці хвильовою функцією. Якщо відомі хвильова функція в початковий момент часу й силове поле, у якому рухається частинка, то, розв’язавши рівняння Шредінгера, можна знайти хвильову функцію в наступні моменти часу. У цьому полягає сутність причинності у квантовій механіці. Таким чином, квантова механіка не скасувала принцип причинності. Вона лише надала йому форму, яка відповідає дійсній природі речей.

§ 86 Рівняння Шредінгера та квантування енергії [6]

1 Квантування енергії виникає тому, що на хвильові функції ψ , які є розв’язками рівняння Шредінгера

накладаються певні обмеження – стандартні умови для хвильової функції. При цих обмеженнях рівняння (86.1) має розв’язки, у загальному випадку, не при всіх, а тільки при вибраних значеннях параметра E ( E визначає енергію частинки). Тут маємо випадок,

аналогічний до того, що має місце в задачі про вільні коливання струни із закріпленими кінцями. Через закріпленість кінців ці коливання є стоячими хвилями з такими вибраними частотами, що на довжині струни вкладається ціле число напівхвиль.

Стандартні умови для хвильової функції, що накладаються на розв’язки рівняння Шредінгера, полягають у тому, що хвильова функція y(x, y, z) і її перші просторові похідні повинні бути скінченними, однозначними й неперервними, інтеграл від y(x, y, z) по усьому

173

простору повинен бути скінченним. Вибрані значення параметра E , для яких рівняння Шредінгера має розв’язки, що задовольняють стандартні умови, називаються власними значеннями величини E для диференціального рівняння (86.1), а відповідні їм розв’язки – власними функціями того самого рівняння. Власні значення E і беруть за можливі значення енергії у стаціонарних станах. Власні значення енергії E можуть бути

дискретними, а можуть неперервно заповнювати скінченний або нескінченний інтервал. У першому випадку говорять, що енергетичний спектр дискретний, а в другому – неперервний.

Таким чином, квантування енергії випливає з основних положень квантової механіки без будь-яких додаткових припущень.

§ 87 Частинка в одновимірній потенціальній ямі. Енергія і хвильова функція частинки в потенціальній ямі [6]

1 У нерелятивістській квантовій механіці основним принципом є рівняння Шредінгера. Пошук розв’язків цього рівняння, які задовольняють стандартні умови, приводить до дискретності енергетичних рівнів. Продемонструємо це на прикладі задачі про частинку, яка знаходиться в одновимірній нескінченно глибокій потенціальній ямі.

Знайдемо власні значення енергії й відповідні їм власні функції для частинки, що знаходиться в нескінченно глибокій одновимірній потенціальній ямі. Припустимо, що частинка може рухатися тільки уздовж осі X . Нехай рух обмежений непроникними для частинки стінками з такими координатами: x = 0 і x = l . Потенціальна енергія U має в цьому випадку такий вигляд (рис. 87.1а): вона дорівнює нулю при 0 ≤ x ≤ l й перетворюється у нескінченність при x < 0 й x > l . Для розв’язання задачі використаємо стаціонарне рівняння Шредінгера

Рисунок 87.1: а – нескінченно глибока потенціальна яма; б – схема рівнів енергії частинки, що знаходиться в такій ямі

2 Оскільки хвильова функція залежить тільки від координати x , то рівняння (87.1) спрощується:

За межі потенціальної ями частинка потрапити не може (там потенціальна енергія дорівнює нескінченності U = ∞ ). Тому ймовірність виявлення частинки за межами ями дорівнює нулю. Відповідно й функція ψ за межами ями дорівнює нулю. З умови

174

Це і є одна із стандартних умов, яку повинен задовольняти розв’язок рівняння (87.2). В області, де ψ не дорівнює тотожно нулю, рівняння (87.2) має вигляд

(у цьому випадку зручніше взяти синус замість косинуса). Умови (87.3) можна задовольнити

потенціальній ямі відсутня).

Виключивши k з рівнянь (87.5) і (87.7), знайдемо власні значення енергії частинки:

Спектр енергії виявився дискретним. На рис. 87.1б зображена схема енергетичних рівнів. Відповідно до формули (87.8) мінімальна енергія, яку може мати частинка, що

знаходиться в потенціальній ямі, відмінна від нуля. Цей результат обумовлений хвильовими властивостями частинки й може бути отриманий зі співвідношення невизначеностей.

3 Далі знайдемо власну хвильову функцію рівняння Шредінгера. Підставивши в (87.6) значення k , яке отримали з умови (87.7), знайдемо власні хвильові функції:

175