Документ: Lysenko_physics_lek_2, страницы 176-180 | Студенческое хранилище

Звідси A2 ×l / 2 =1, або A =	2 / l . Таким чином, власні функції частинки в потенціальній
ямі мають вигляд
	yn (x)=	2 sin	npx	(n =1, 2, 3, ...).	(87.9)
		l	l
ψ	n = 4		y y		n = 4
	n = 4		y y		n = 4
	n = 3				n = 3
	n = 3
	n = 2				n = 2
	n = 2
					n =1
	n =1
0		l x		0	l x
a				б

Рисунок 87.2: а – графіки власні функції частинки, що знаходиться в потенціальній ямі, яка зображена на рис. 87.1а; б – густина ймовірності знаходження частинки в точках з різними значеннями координати x

Графіки власних функцій зображені на рис. 87.2а. На рис. 87.2б подана густина ймовірності виявлення частинки на різних відстанях від стінок ями, що дорівнює y*y . Із

графіків, наприклад, випливає, що в стані із n = 2 частинка не може бути виявлена всередині ями й разом з цим однаково часто буває як у лівій, так і в правій половині ями. Така поведінка частинки є несумісною з класичними уявленнями про траєкторії. Відзначимо, що відповідно до класичних уявлень усі положення частинки в ямі мають однакову ймовірність.

§ 88 Тунельний ефект. Коефіцієнт проходження [3] 1 Нехай частинка, яка рухається зліва направо, зустрічає на своєму шляху

потенціальний бар'єр висотою U0 й шириною l				(рис. 88.1). За класичними уявленнями
частинка повинна вести себе так. Якщо енергія частинки більша за висоту бар'єра ( E >U0 ),
частинка безперешкодно проходить над бар'єром (на ділянці					0 ≤ x ≤ l		лише зменшується
швидкість частинки, але потім при x > l знову набуде початкового значення). Якщо ж										E
менше U0 (як зображено		на рисунку), то частинка відбивається від бар'єра й летить								у
зворотній бік; крізь бар'єр частинка проникнути не може.
Зовсім інакше виглядає поведінка частинки з точки зору						U (x)
до квантової механіки. По-перше, навіть при E >U0				є відмінна		U (x)
до квантової механіки. По-перше, навіть при E >U0				є відмінна		U0
від нуля ймовірність того, що частинка відіб'ється від бар'єра й						U0
						E
полетить у зворотній бік. По-друге, при E <U0			є відмінна від			E
полетить у зворотній бік. По-друге, при E <U0			є відмінна від			I		II	III
нуля ймовірність того, що частинка проникне «крізь» бар'єр і						I		II	III
опиниться в області, де		x > l . Така поведінка		є цілком						x
неможливою з класичної точки зору. Ця				поведінка			0		l	x
мікрочастинки	випливає	безпосередньо	з	рівняння	Рисунок 88.1
Шредінгера.					Рисунок 88.1
Шредінгера.

2 Розглянемо випадок E <U0 . Рівняння Шредінгера має вигляд

176


		d 2ψ				+	2m	Eψ = 0	(88.1)
		dx2				+	h2	Eψ = 0	(88.1)
		dx2					h2
для областей I і III й
	d 2ψ		+	2m			(E −U0 )ψ = 0		(88.2)
	dx2		+		h2		(E −U0 )ψ = 0		(88.2)
	dx2				h2

для області II , причому E −U0 < 0 .

Будемо шукати розв'язок рівняння (88.1) у вигляді ψ = eλx . Підстановка цієї функції в (88.1) приводить до характеристичного рівняння

			λ2 + 2m2 E = 0 .
						h
Звідси λ = ±iα , де
				α = 1					.		(88.3)
				α = 1			2mE		.		(88.3)
						h
Таким чином, загальний розв'язок рівняння (88.1) має вигляд
ψ		1	= A eiαx	+ B e−iαx				для області I ,
		1	1		1
ψ	3	= A eiαx + B e−iαx						для області III .			(88.4)
	3		3		3
Вирішивши підстановкою ψ = eβx					рівняння (88.2), отримаємо загальний						розв'язок
цього рівняння у вигляді
ψ		2	= A eβx	+ B e−βx				для області II .			(88.5)
		2	2		2
Тут
			β =	1						.	(88.6)
			β =	1		2m(U0 − E)				.	(88.6)
				h

Зазначимо, розв'язок вигляду eiαx відповідає хвилі, яка поширюється в додатному

напрямку осі X , а розв'язок вигляду e−iαx – хвилі, яка поширюється в протилежному напрямку. Щоб це зрозуміти, згадаємо, що звичайна (звукова, електромагнітна і т.п.) плоска хвиля, яка поширюється в напрямку зростання x , описується дійсною частиною виразу

ei(ωt−kx) , ei(ωt+kx) .

Ψ = ae(i /

а хвиля, яка поширюється в напрямку зменшення x , – дійсною частиною виразу Частинці, яка рухається в додатному напрямку осі X , зіставляється функція h)( px−Et) . Якщо відкинути в цій функції часовий множник, то для ψ отримаємо вираз

ψ= aei( p / h)x . Для частинки, яка рухається в протилежному напрямку, буде ψ = ae−i( p / h)x .

Вобласті III є тільки хвиля, яка пройшла через бар'єр і поширюється зліва направо. Тому коефіцієнт B3 у виразі (88.4) для ψ3 потрібно покласти таким, що дорівнює нулю. Для

знаходження інших коефіцієнтів скористаємося стандартними умовами, які повинна задовольняти хвильова функція ψ . Для того щоб ψ була безперервною у всій області x від

− ∞	до + ∞ , повинні виконуватися умови	ψ1(0) = ψ2 (0) і ψ2 (l) = ψ3 (l) . Для того щоб ψ
була	гладкою, тобто не мала зломів,	повинні	виконуватися умови ψ′	(0) = ψ′	(0) і
			1	2
ψ′2 (l) = ψ′3 (l) . Із цих умов випливають співвідношення:
	A1 + B1 = A2 + B2 ,
	A eβl + B e−βl = A eiαl ,
	2	2	3
	iαA1 − iαB1 = βA2 −βB2 ,				(88.7)
		177

βA eβl

−βB

e−βl = iaA eiαl .

2

3

Розділимо всі рівняння на A1 й введемо позначення:

b =

B1

, a

2

=

A2

, b =

B2

, a

3

=

A3

,

1

A1

2

A1

а також

β

n =

=

U0 − E

.

(88.8)

α

E

Тоді рівняння (88.7) наберуть вигляду

1+ b1 = a2 + b2 ,

a

eβl

+ b e−βl

= a eiαl ,

2

3

(88.9)

i − ib1 = na2 − nb2 ,

na

eβl − nb e−βl = ia

eiαl .

2

3

Відношення квадратів модулів амплітуд відбитої й падаючої хвилі

B

2

R =

1

=

b

A

2

1

визначає ймовірність відбиття частинки від потенціального бар'єра й називається

коефіцієнтом відбиття.

Відношення квадратів модулів амплітуд хвилі, що пройшла, й падаючої хвилі

	A		2			2
			2

D =	3			=	a3		(88.10)
D =	A	2		=	a3		(88.10)
	A	2
	1

визначає ймовірність проходження частинки через бар'єр і називається коефіцієнтом проходження (або коефіцієнтом прозорості).

Нас буде цікавити тільки проходження частинок через бар'єр, і ми обмежимося знаходженням величини D . Слід зазначити, знайшовши D , легко знайти R , оскільки ці коефіцієнти пов'язані очевидним співвідношенням R + D =1.

Помножимо перше з рівнянь (88.9) на i й складемо з третім. У результаті отримаємо

2i = (n + i)a2 − (n − i)b2 .

(88.11)

Тепер помножимо друге з рівнянь (88.9) на i й віднімемо його від четвертого. Отримаємо:

(n − i)eβl a	2	− (n + i)e−βlb = 0 .	(88.12)
	2	2

Вирішивши спільно рівняння (88.11) і (88.12), знайдемо, що

a2 =	2i(n + i)e−βl	,
	(n + i)2 e−βl − (n − i)2 eβl

b2 =	2i(n − i)eβl	.
	(n + i)2 e−βl − (n − i)2 eβl

Нарешті, підставивши знайдені нами значення a2 й b2 у друге з рівнянь (88.9), отримаємо вираз для a3 :

a =	4ni	e−iαl .

3	(n + i)2 e−βl − (n − i)2 eβl

Величина

178

bl = 2m(U0 - E) l , h

як правило, є набагато більшою за одиницю. Тому в знаменнику виразу для a3 доданком, який містить множник e−βl , можна знехтувати у порівнянні з доданком, який містить

множник eβl (комплексні числа n + i й n − i мають однаковий модуль). Отже, можна припустити

a » - 4nie−iαl e−βl .

3 (n -i)2

Згідно з (88.10) квадрат модуля цієї величини дає ймовірність проходження частинки через потенціальний бар'єр. Урахувавши, що | n -i |= n2 +1 , отримаємо

D =	a	2	»	16n2		e−2βl ,
		2		16n2

	3			(n2 +1)	2
				(n2 +1)	2

де

n2 = U0 - E = U0 -1 E E

(див. формулу (88.8)).

Вираз 16n2 /(n2 +1)2 має величину порядку одиниці. Тому можна вважати, що

é

2×l

ù

.

(88.13)

D » e−2βl = expê-

h

2m(U0 - E)ú

ë

û

З отриманого нами виразу випливає, що ймовірність

U(x)

проходження частинки через потенціальний бар'єр істотно

залежить від ширини бар'єра l

й від величини U0 - E .

E

Якщо при якійсь ширині бар'єра коефіцієнт проходження

D дорівнює, припустимо, 0,01, то при збільшенні ширини

у

два

рази

D

буде

дорівнювати

0,012 = 0,0001, тобто зменшується в 100 разів. Той самий

a

b

x

ефект у цьому випадку викликало б зростання в чотири

0

рази

величини

U0 - E .

Коефіцієнт проходження різко

Рисунок 88.2

зменшується при збільшенні маси частинки m .

3 Подібний розрахунок можна виконати у випадку потенціального бар'єра довільної форми (рис. 88.2). У цьому разі формула (88.13) повинна бути замінена більше загальною:

é	2 b			ù

D » expê-		ò	2m(U - E)dxú		,	(88.14)

ë	h a		û

де U = U (x) .

При подоланні потенціального бар'єра частинка ніби проходить через «тунель» у цьому бар'єрі (див. заштриховану область на рис. 88.2). У зв'язку з цим розглянуте нами явище називають тунельним ефектом.

§ 89 Оператори фізичних величин. Власні функції та власні значення. Принцип суперпозиції [6]

Операторний метод широко використовується у більшості досліджень з квантової механіки. Розглянемо сутність цього методу.

179

1 Оператори. У квантовій механіці кожній фізичній величині ставиться у відповідність оператор. Під оператором мається на увазі правило, за допомогою якого одній функції (позначимо її через ϕ ) зіставляється інша функція (позначимо її через f ).

Символічно це записується так:

ˆ	(89.1)
f = Qϕ .

ˆ

Тут Q – позначення оператора. Для того щоб відрізнити оператори від чисел, їх позначають

ˆ

через Q , тобто ставлять кришечку над Q або використовують інше позначення.

Таким чином, під символом оператора розуміють сукупність дій, за допомогою яких вихідна функція ( ϕ ) перетворюється в іншу функцію ( f ).

Наприклад, символ оператора Лапласа

ˆ

позначає дворазове частинне

= Q1

диференціювання за усіма трьома координатами x ,

y і z

з подальшим підсумовуванням

отриманих виразів. Тобто оператор Лапласа можна подати у вигляді

ˆ

∂2

= Q1 =

∂x2

+

∂y2

+

∂z2

.

За допомогою оператора можемо подати множення вихідної функції

ϕ на деяку

функцію U . Тоді наступне перетворення

f =U ×j

можна записати у вигляді

ˆ

f = Q2ϕ , де

ˆ

Q2 = U .

Використовуючи операторний підхід, рівняння Шредінгера

−

h2

ψ +Uψ = Eψ

(89.2)

2m

можна записати в операторному вигляді

ˆ

.

(89.3)

Hψ = Eψ

ˆ

У цьому рівнянні символом H позначений оператор, який дорівнює

ˆ

h2

H = −

2m

+U .

(89.4)

Цей оператор називають гамільтоніаном, або оператором Гамільтона. Гамільтоніан є оператором енергії E .

2 Сутність операторного методу. У квантовій механіці кожній фізичній величині ставиться у відповідність оператор. Розглядаються оператори координат, імпульсу, моменту

імпульсу і т.д. Для кожної фізичної величини q складається рівняння,			аналогічне до
рівняння Шредінгера в операторному вигляді (89.3). Воно має вигляд

	ˆ	,	(89.5)
	Qψ = qψ	,	(89.5)

ˆ

де Q – оператор, який ставиться у відповідність фізичній величині q .

Значення q , при яких розв’язок рівняння (89.4) задовольняє стандартні умови для хвильової функції, називаються власними значеннями величини q , а самі розв’язки – її власними функціями. Власні значення величини q і беруться за можливі значення цієї

величини, які спостерігаються в експерименті.

Розглядаючи з цих позицій рівняння Шредінгера (89.3), можемо стверджувати, що воно є рівнянням для власних значень енергії ( q = E ). Оператор енергії визначається

ˆ = ˆ співвідношенням (89.4) (Q H ).

180

Материал: Lysenko_physics_lek_2

Смотрите также: