Материал: Lektsii_po_matematike_3_kurs

Кратные единицы измерения:

дека:

гекто:

кило:

мега:

Длина отрезка и ее измерения

I. Определение. Длиной отрезка называется аддитивно-скалярная величина, определенная для каждого отрезка следующим образом («аддитивно» – означает сложение):

1. За единицу (эталон) длины принимается длина единичного отрезка e: f(e)=1.

2. Равные отрезки имеют равные длины: .

3. Если отрезок состоит из конечного числа меньших отрезков, то длина его равна сумме длин составляющих его отрезков:

Свойства длины отрезка:

1. При выбранной единице измерения длина отрезка выражается единственным положительным действительным числом, и наоборот: для любого положительного действительного числа найдется отрезок, длина которого выражается этим числом.

2. Если равны отрезки, то равны и численные значения длин этих отрезков, и наоборот: если длины равны, то равны эти отрезки.

3. Если отрезок представляет собой сумму нескольких отрезков, то численное значение длины этого отрезка равно сумме численных значений длин отрезков, его составляющих.

4. Если отрезки a и b таковы, что , то длина отрезка b будет равна длине отрезка a, умноженной на число k, при заданной единице измерения e.

5. Если единицу измерения уменьшить (увеличить) в k раз, то длина отрезка в новой единице измерения будет увеличена (уменьшена) в k раз.

Соизмеримыми называются отрезки, длина которых выражается рациональным числом при выбранной единице измерения.

Несоизмеримые отрезки – это отрезки, длина которых выражается иррациональными числами при выбранной единице измерения.

Иррациональные числа – это бесконечные непериодические десятичные дроби ( ).

II. Площадь фигуры и ее измерение

Площадью фигуры называется аддивно-скалярная величина, определенная для каждой имеющей площадь фигуры следующим образом:

1. За единицу площади принимается площадь квадрата со стороной, равной единице измерения длины, т.е. сторона квадрата равна единичному отрезку.

2. Равные фигуры имеют равные площади: .

3. Если фигура F разбита на несколько частей, то:

Свойство площадей:

1. Если фигуры равны, то равны и числовые значения их площадей при заданной единице измерения.

2. Если фигура F составлена из фигур F₁, F₂, … F_n, то численное значение площади фигуры F равно сумме численных значений площадей фигур, ее составляющих.

3. При замене единицы площади числовое значение площади фигуры увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица измерения меньше (больше) исходной.

Измерить площадь фигуры – значит сравнить ее с эталоном.

1 см² =100 мм²

1 м² = 10000 см²

1 км² = 1000000 м²

1 га = 10000 м²

1 сот = 100 м²

III. Равные и равновеликие фигуры

Равными называются фигуры, которые при наложении совпадают: .

Равновеликими называются фигуры, имеющие одинаковую площадь: .

Равные фигуры являются равновеликими, но не всегда равновеликие фигуры – равными.

IV. Прямое и косвенное измерение площадей

Прямое измерение площади основано на непосредственном сравнении площади измеряемой фигуры с площадью фигуры, которую принимают за эталон (за единицу измерения).

Измерение площади осуществляется непосредственным наложением прибора для измерения площади – палетки – на измеряемую фигуру. Палетка представляет собой прозрачную пленку, на которую нанесены единичные квадраты (квадраты единичной площади). Палетку накладывают на измеряемую фигуру и подсчитывают количество целых квадратов единичной площади, которые уменьшаются на данной фигуре. Затем подсчитывают количество неполных квадратов, делят его на 2 и складывают два полученных результата.

Косвенное измерение площади – нахождение площади фигуры по формуле.

IV. Величины в начальном курсе математики

При изучении величины в НКМ можно выделить 8 этапов, направленных на изучение величин (по Истоминой):

1. Выяснение и уточнение имеющихся у младших школьников представлений о данной величине (дошкольный опыт).

2. Сравнение однородных величин (визуально с помощью ощущений: наложение, приложение, использование различных мерок).

3. Знакомство с единицей измерения величины и измерительными приборами.

4. Формирование измерительных умений и навыков.

5. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования (решение задач).

6. Знакомство с новыми единицами измерения величины в связи с изучением нумерации и сложения чисел. Перевод единицы измерения одного наименования в единицы двух наименований и наоборот.

7. Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.

8. Умножение величины на число и деление величин.

Теория действительных чисел

I. Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа

Если при измерении отрезка единичный отрезок укладывается в нем целое число раз, то его длина выражается натуральным числом. Говорят, что данный отрезок соизмерим с единичным. Если единичный отрезок укладывается нецелое число раз, то единичный отрезок делят на несколько более мелких отрезков и сравнивают длину данного отрезка с новой единицей измерения. В этом случае длина данного отрезка выражается дробью.

В озьмем отрезок АВ и единичный отрезок е. Пусть длина отрезка АВ больше n единичных отрезков, но меньше, чем n+1 единичных отрезков. Разделим единичный отрезок на 10 равных частей и получим новый единичный отрезок . Отложим отрезок е₁ в отрезке АВ. Возможны следующие случаи:

1. Новый единичный отрезок е₁ укладывается в отрезке АВ n₁ раз. Тогда . Тогда мы получим десятичную дробь .

2 . Единичный отрезок е₁ не укладывается целое число раз в отрезке АВ. Тогда введем новую единицу: , и т.д. При этом возможно следующее: на каком-то шаге процесс закончится, тогда длина отрезка АВ выражается дробью . Либо этот процесс не закончится никогда, и длина отрезка будет выражена бесконечной дробью . Причем полученная десятичная дробь может быть и периодической, и не периодической.

Теорема. Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.

Доказательство. Предположим противное: диагональ квадрата соизмеряется с его стороной. Т.е. диагональ выражается обыкновенной несократимой дробью или десятичной периодической дробью. .

По теореме Пифагора

АС²=АВ²+ВС²

АС²=2

Из последнего равенства делаем вывод, что число m – четное. Тогда его можно записать в виде m=2k.

(2k)²=2n²

4k²=2n²

2k²=n²

Значит, число n – тоже четное. Т.е. в дроби числитель и знаменатель четные, т.е. она сократима, что противоречит условию.

Значит, наше предположение неверно, т.е. диагональ квадрата выражается непериодической десятичной бесконечной дробью.

Определение. Число, выраженное десятичной непериодической бесконечной дробью, называется иррациональным.

Примеры:

Определение. Числа, выражающиеся конечной или бесконечной десятичной дробью, называются действительными.