Материал: Lektsii_po_matematike_3_kurs

Теория рационального числа

I. Задачи, приводящие к введению рациональных чисел

1. Решение уравнения вида . Это уравнение имеет решение во множестве целых чисел тогда и только тогда, когда b делится на а. В случае, если b не делится на а, уравнение неразрешимо в множестве целых чисел.

2. Задача измерения длины отрезка с помощью данной единицы измерения е. Не всегда единичный отрезок е укладывается целое число раз в измеряемом отрезке. Именно эти задачи исторически обусловили появление рациональных чисел, т.е. дробей. Историки утверждают, что наиболее вероятно, появление дробей связано с процессом различных измерений: длины, массы, площади, времени. Возможно, их возникновение связано с потребностью делить несколько предметов на количество частей, большее количества этих предметов (Например, разделить 3 мешка зерна между 4 людьми). Так на Руси возникли конкретные меры объема: четверть, осьмушка и т.д. Из древних папирусов известно, что в Древнем Египте широко использовались дроби, которые сейчас называются доли (т.е. дроби вида ). Древние индусы и арабы тоже пользовались дробями, которые записывались следующим образом:

. Только начиная с XVI века дроби приобрели современный вид.

II. Измерение отрезков. Обыкновенная дробь. Классификация обыкновенных дробей.

Возьмем отрезок АВ и некоторый единичный отрезок е. Измерим АВ с помощью единичного отрезка е. Если при измерении единичный отрезок укладывается в АВ целое число раз (например, k), то говорят, что длина отрезка АВ выражается натуральным числом k: . Если же длина отрезка АВ такова, что она не укладывается в нем целое число раз, то поступим следующим образом. Разобьем единичный отрезок е на n частей и введем новую единицу измерения . Пусть е₁ укладывается m раз в длине отрезка АВ, т.е. . В этом случае для выражения длины отрезка АВ используется пара чисел (m, n), где вторая компонента n показывает, на сколько частей разбит единичный отрезок е, а первая компонента m указывает, сколько таких частей укладывается в АВ.

Определение. Пара чисел (m, n) или называется обыкновенной дробью, причем числа m и n – натуральные. Число n – знаменатель дроби (показывает, на сколько равных частей разделили единицу измерения). Число m – числитель (показывает, сколько частей взяли).

При измерении отрезка могут получаться дроби вида , и т.д. если длина отрезка равна , то это означает, что е укладывается 2 раза и еще остается часть е. Но если в качестве единицы измерения взять , то длина того же отрезка будет равна 7е₁, т.е. .

Определение. Дробь вида называется правильной, если , т.е. числитель меньше знаменателя.

Определение. Дробь вида называется неправильной, если .

Определение. Дробь вида называется смешанной, если она состоит из целой и дробной частей.

Пусть дана неправильная дробь , где . Разделим m на n с остатком. По теореме о делении с остатком разделить m на n с остатком значит найти такие числа q и r, которые удовлетворяют следующему равенству: , где . Если r=0, то . Дробь имеет вид: . Этот процесс называется выделением целой части из неправильной дроби. Такую сумму целого числа и правильной дроби записывают без знака «+» и называют смешанной дробью. Таким образом каждую неправильную дробь можно перевести в смешанную: для этого достаточно числитель разделить на знаменатель с остатком.

Верно и обратное: любую смешанную дробь можно перевести в неправильную. Для этого необходимо знаменатель умножить на целую часть и к полученному произведению прибавить числитель.

III. Равные дроби. Признак равенства дробей

Определение. Равными называются дроби, выражающие длину одного и того же отрезка. Длину отрезка можно выразить с помощью бесконечного множества обыкновенных дробей – все они будут равносильными или равными.

Теорема 1 (Признак равенства дробей). Дроби и являются равными тогда и только тогда, когда mq=np.

Доказательство.

1. Необходимость. Даны 2 дроби: и . Известно, что они равны. Нужно доказать, что mq=np.

Если дроби и равны, то по определению они выражают длину одного и того же отрезка. Возьмем за единицу измерения отрезка отрезок . Длина отрезка, выражаемая дробью , в новой единице измерения будет выражаться: .

Аналогично, если длина отрезка равна , то . Но поскольку = по условию, то mq=np.

2. Достаточность. Даны 2 дроби и . Известно, что mq=np. Доказать, что = .

Так как mq=np – истинное числовое равенство, то по свойству истинных числовых равенств можно обе части этого равенства разделить на одно и то же число. Разделим обе части на nq. , т.е. мы имеем две дроби, выражающие длину одного и того же отрезка, т.е. эти дроби равны.

Теорема доказана.

IV. Свойства отношения равенства дробей. Разбиение множества Q₊ на классы.

Теорема 2. Отношение равенства дробей является отношением эквивалентности.

Доказательство. Покажем, что отношение равенства дробей симметрично, рефлексивно и транзитивно.

1.Рефлексивность.

2.Симметричность. Если , то

Если mq=np, то np=mq.

Т.к. , , , то для них выполняется свойство коммутативности умножения.

3.Транзитивность. Даны дроби , , .

Если

Из доказательства теоремы 2 следует, что поскольку отношение равенства дробей является отношением эквивалентности, то оно задает разбиение множества всех дробей на классы. (Классы – непустые непересекающиеся подмножества некоторого множества Х, объединение которых равно множеству Х).

– класс дробей, которые равны .

– класс дробей, которые равны .

Таких классов равных дробей бесконечно много; и в каждом классе бесконечное число элементов. Классы равных дробей не пересекаются, т.е. любая дробь, взятая из одного класса, не может принадлежать другому классу, а объединение всех этих классов дает множество Q₊ (множество положительных рациональных чисел).

Определение. Класс равных дробей называется положительным рациональным числом.

Класс дробей определяется любым своим представителем, но мы будем считать представителем класса равных дробей несократимую дробь из этого класса.

Определение. Несократимой дробью называется дробь, числитель и знаменатель которой – взаимно простые числа, т.е. их НОД равен 1.

V. Теорема 3. Для любого положительного рационального числа существует одна и только одна несократимая дробь, которая его представляет.

Доказательство (методом от противного). Пусть для каждого класса равносильных дробей существует 2 несократимые дроби и . Так как они несократимые, то НОД (m;n)=1 и НОД(p;q)=1. По условию = . Это может быть тогда и только тогда (по теореме 1), когда mq=np. Любая часть этого равенства делится на q, значит и делится на q, т.е. делится на q или p делится на q. Но p на q делиться не может, так как p и q – взаимно простые числа. Значит , делится на q.

Пусть n=kp. mq=kqp

m=kp

m и n имеют общий делитель k. Это противоречие, так как – несократимая дробь по условию.

Вывод. В одном классе равных дробей не может быть двух несократимых дробей. Таким образом, в каждом классе равносильных дробей есть одна и только одна несократимая дробь.

Каждая несократимая дробь представляет положительное рациональное число и наоборот: каждое положительное рациональное число выражается некоторой несократимой дробью.