Материал: Lektsii_po_matematike_3_kurs

1. Относится к дробям с одинаковыми знаменателями

, т.к.

2. Для дробей с разными знаменателями:

или

Свойства отношения «меньше» на Q₊:

1. Рефлексивность – не является

– ложно

2. Симметричность – не является

– ложно

– свойство асимметричности

3. Транзитивность - является

– истинно

Таким образом, отношение «меньше» на Q₊ обладает свойствами асимметричности и транзитивности, т.е. является отношением строгого порядка.

XIV.Свойства множества Q₊

1. Q₊ – упорядоченное множество.

Доказательство (см. выше).

2. Множество N – подмножество Q₊.

Каждое натуральное число можно представить в виде , т.е. каждое натуральное число является рациональным.

3. В множестве Q₊ нет наименьшего числа.

Доказательство (методом от противного)

Предположим, что – наименьшее положительное рациональное число. Но всегда можно образовать число . Значит, наше предположение неверно.

4. Множество Q₊ плотно в себе. Т.е. между любыми двумя положительными рациональными числами заключено бесконечное число чисел из Q₊ .

Доказательство.

Возьмем две дроби: и .

Найдем дроби, которые находятся между ними. Для этого найдем среднее арифметическое этих дробей:

Этот процесс можно продолжать бесконечно.

XV.Множество Q₊ счетно

Определение. Множество называется счетным, если между ним и множеством N можно установить взаимно однозначное соответствие.

Доказательство.

Представим каждое рациональное число в виде дроби. Назовем высотой рационального числа сумму его числителя и знаменателя.

– числа, которые имеют высоту 5.

Расположим все рациональные числа в порядке возрастания высоты, а числа одинаковой высоты - в порядке возрастания числителя. Установим отображение множества Q₊ на множество N.

Таким образом каждому числу из Q₊ мы поставили в соответствие единственное N число. И наоборот: каждому натуральному числу соответствует одно и только одно рациональное число. Т.е. устанавливаемое соответствие является взаимно однозначным или биективным, а множество Q₊ – счетным.

XVI. Различные формы записи рациональных чисел. Десятичные дроби

Как известно, введение дробей связано с измерением величин, в частности, длины отрезка (при переходе от одной единицы измерения длины к другой). В настоящее время во всем мире принята метрическая система мер, в которой новые единицы измерения получаются путем увеличения или уменьшения исходных единиц в 10, 100, 1000 … раз. С другой стороны, любое положительное рациональное число может быть записано в виде обыкновенной несократимой дроби. При выполнении действий с обыкновенными дробями есть сложность, которая заключается в том, что правило выполнения действий с обыкновенными дробями отличается от правил выполнения действий с натуральными числами. Поэтому возникла задача поиска такой записи положительных рациональных чисел, которая позволила бы производить арифметические операции по правилам для натуральных чисел. Такой формой записи рациональных чисел являются десятичные дроби.

Возьмем некоторый отрезок а и десятичный отрезок е. Будем измерять а с помощью е. Пусть е укладывается в а а₀ раз и еще остается часть m₀. Тогда .

Разделим е на десять равных частей. Пусть укладывается в отрезке m₀ а₁ раз и еще остается отрезок m₁. , .

Для того, что бы измерить m₁, введем новую единицу измерения, которая равна части либо . Тогда длина m₁ выражается числом

В результате возможны два варианта:

1. На k-том шаге единичный отрезок е разделить на ( ) будет укладываться целое число раз в измеряемом отрезке. Тогда длина отрезка а будет выражаться конечной дробью вида:

Дробь такого вида называется десятичной.

2. На сколько бы равных десятичных частей мы не делили единичный отрезок, всегда будет оставаться какая-то часть длины а. В этом случае говорят, что длина отрезка выражается бесконечной десятичной дробью.

Определение. Десятичной дробью называется дробь, знаменатель которой представляет собою степень числа 10.

Иначе можно записать в виде: , где а₀ – целая часть десятичной дроби, справа после запятой записана дробная часть. Таким образом, десятичную дробь можно записать в виде: , k – показатель степени числа 10.

XVII. Равные десятичные дроби. Правила сложения и умножения десятичных дробей

Когда речь шла об обыкновенных дробях, то для получения класса равных дробей мы числитель и знаменатель умножали на одно и то же число.

Если задана десятичная дробь , то тогда равными ей десятичными дробями будут:

0,3=0,30=0,300…

Для получения десятичной дроби, равной данной, нужно приписать справа необходимое количество нулей.

Правила сложения десятичных дробей

Чтобы сложить две десятичные дроби необходимо:

1. Уравнять количество знаков после запятой в обеих дробях, приписав при необходимости нужное количество нулей.

2. Не обращая внимания на запятую, сложить эти дроби как натуральные числа.

3. В сумме отделить запятой столько же знаков, сколько в каждом слагаемом.

0,25+3,7

Правила умножения десятичных дробей

Пусть даны две десятичные дроби: и . Для того, чтобы умножить эти дроби, необходимо:

1. Отбросить запятую и умножить дроби как натуральные числа

2. В полученном произведении отделить справа налево столько знаков, сколько знаков после запятой в сумме первой и второй дроби (n+k)

Пример: