Материал: Lektsii_po_matematike_3_kurs

XVIII. Проценты

Определение. Процент – сотая часть любого числа.

Виды задач на проценты:

1. Нахождение процента от числа.

Население города 300000 человек, 70% - женщины. Сколько женщин в городе?

(человек)

2. Нахождение числа по его проценту.

В городе 210000 женщин, что составляет 70% населения. Какого население города?

3. Нахождение процентного отношения двух чисел.

Население города 300000 человек, из них 210000 – женщины. Сколько процентов населения составляет женщины?

210000:300000=0,7(70%).

Промилле – тысячная часть от числа (‰).

XIX. Преобразование обыкновенных дробей в десятичную. Бесконечные десятичные периодические дроби

Обратить десятичную дробь в обыкновенную не составляет труда. Для этого записывают целую часть, затем в числителе записывают число, стоящее после запятой, а в знаменателе – степень числа 10, причем показатель степени равен количеству цифр, стоящих после запятой.

Для того, чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, поступают одним из следующих способов.

1. Умножают числитель и знаменатель на такое число, чтобы в знаменателе получилось степень 10. Используется, если в знаменателе небольшие числа.

2. Делением числителя на знаменатель. Таким образом, получаем десятичную дробь. При этом в процессе деления может получиться конечная десятичная дробь, либо бесконечная десятичная дробь. Бесконечная дробь может быть периодической либо непериодической.

Определение. Бесконечной периодической десятичной дробью называется дробь, в которой, начиная с некоторого знака после запятой, одна цифра или группа цифр повторяется.

0,333…=0,(3)

0,54333…=0,54(3)

Для того, чтобы узнать, переводится ли обыкновенная дробь в конечную или нет, пользуются следующей теоремой.

ХХ

Теорема 1. Несократимая обыкновенная дробь , переводится в конечную десятичную дробь тогда и только тогда, когда, в разложении знаменателя этой дроби присутствуют только степени числа 2 или 5.

Доказательство.

1. Необходимость. Докажем теорему: если несократимая обыкновенная дробь представима в виде десятичной, то в разложении знаменателя присутствуют степени только 2 или 5.

Действительно, если дробь представима в виде десятичной, то ее можно записать в виде .

2. Достаточность. Дано, что несократимая дробь представима в виде десятичной дроби, в разложении знаменателя которой содержатся множители 2 или 5. Нужно доказать, что может быть представлена в виде конечной десятичной дроби.

, при

Если , то домножим числитель и знаменатель на .

Кроме конечных, существуют бесконечные десятичные дроби: периодические и непериодические. Периодические делятся на чистые и смешанные.

Определение. Десятичной бесконечной чистой периодической дробью называют такую десятичную дробь, у которой период начинается сразу после запятой.

0,(3); 0,(527)

Определение. Десятичной бесконечной смешанной периодической дробью называется дробь, у которой сразу после запятой стоит одна или несколько цифр, называемых предпериодом, а затем следует период.

3,27(625)

ХХ1

Теорема 2. Несократимая дробь переводится в чистую периодическую дробь, если в разложении знаменателя этой дроби имеются любые простые множители, за исключением 2 и 5.

Замечание. Число цифр в периоде чистой периодической дроби не превышает ее знаменателя, т.е. если в знаменателе число b, то в периоде может быть 0,1,2…(b-1) цифр.

Теорема 3. Обыкновенная несократимая дробь переводится в смешанную периодическую в том случае, если в разложении знаменателя этой дроби есть множители 2 или 5 и плюс еще любые простые числа.

Замечание. При переводе обыкновенной дроби в десятичную важным условием является требование о несократимости данной дроби.

Определение. Положительное рациональное число – множество дробей, представляющих длину одного и того же отрезка.

Определение. Положительным рациональным числом называется бесконечная периодическая десятичная дробь.

Оказывается, что не только обыкновенная дробь может быть переведена в десятичную, но и десятичная дробь с помощью определенных правил переводится в обыкновенную.

ХХ11

Правило 1 (Правило перевода чистой периодической десятичной дроби в обыкновенную). Чтобы чистую периодическую десятичную дробь перевести в обыкновенную, необходимо в числителе записать число, образованное цифрами периода, а в знаменателе – столько девяток, сколько цифр в периоде.

Доказательство.

Пусть 0,(36)=а

Найдем 100а=36,(36)

100а=36+а

100а – а=36

99а=36

ХХ11

Правило 2 (Правило перевода смешанной периодической дроби в обыкновенную). Чтобы смешанную периодическую дробь перевести в обыкновенную, нужно в числителе записать разность между числом, записанном цифрами, стоящими до 2го периода и числом, записанным цифрами предпериода. В знаменателе записываем число, состоящее из стольких девяток, сколько цифр в периоде и стольких нулей, сколько цифр в предпериоде.

Доказательство.

Пусть 0,11(36)=а

Найдем 100а=11,36

10000а=1136,(36)

10000а=1136+0,(36)

11,(36) – 11

10000а=1136+100а–11

9900а=1136–11

Любое рациональное число представимо в виде бесконечной периодической десятичной дроби, в т.ч. и натуральные числа ( )

Непериодические дроби – множество иррациональных чисел (I)

Величины

I. Определение величины

Все, что может быть измерено (выражено количественно), называется величиной.

Величина – свойство реальных объектов или явлений, которое может быть выражено количественно. Например, длина тела – это свойство иметь определенную протяженность; масса в физике – мера инертности тела и т.д.

Все величины можно разделить на 2 группы: однородные и разнородные. Однородные можно:

1) сравнивать, т.е. сказать, что одна величина больше или меньше другой;

2) складывать, причем результат сложения двух однородных величин есть величина того же рода;

3) умножать на действительное число: в результате получим величину того же рода, которая в k раз отличается от первоначальной;

4) делить друг на друга.

II. Аксиоматическое определение величины

Пусть дано:

1. Множество объектов М, которые обладают свойством А.

2. Свойство А задает отношение эквивалентности на множестве М, т.е. оно позволяет разбить данное множество М на классы, в каждом из которых будут эквивалентные элементы. (Классы – непустые непересекающиеся подмножества множества М, объединение которых совпадает с множеством М).

3. Для элементов множества М определена операция сложения: .

4. В множестве М существует элемент е, который называется эталоном: .

Свойство А элементов множества М называется аддитивно-скалярной величиной, если существует отображение f множества R₊ ( ), которое удовлетворяет следующим свойствам (аксиомам величины):

1. Существует элемент , такой, что f(e)=1 (единица измерения).

2.Если величина а эквивалентна величине b (a~b), то f(a)=f(b). Эта аксиома утверждает, что эквивалентные величины имеют одинаковые числовые значения.

3. Для величин а и b существует их сумма, такая, что если a+b=c, f(a)+f(b)=f(c).

III. Измерение величин

Измерить величину – значит сравнить ее с величиной, принятой за единицу измерения, т.е. с эталоном.

Существует 2 способа измерения величин: прямое и косвенное. При прямом измерении происходит непосредственное сравнение величины с единицей измерения. При косвенном измерении значение величины находим по формуле.

Для каждой величины существует вполне определенная единица измерения (эталон), причем существуют величины основные и производные от них. Существуют 2 системы единиц измерения: СИ и СГС. В 1960 г. в системе СИ были указаны основные величины и единицы их измерения:

Единица измерения массы – 1 кг

Единица измерения длины – 1 м

Единица измерения времени – 1 с

Единица измерения температуры – 1 К

Единица измерения силы тока – 1 А

Единица измерения количества вещества – 1 моль

Единица измерения силы света – 1 свеча

Единица измерения плоского угла – 1 радиан

Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан

Кроме деления на однородные и разнородные, величины еще делятся на 3 группы:

1. Скалярные – определяются однозначно, только численным значением (масса, площадь, длина).

2. Векторные – для их определения, кроме числа, нужно еще направление (сила, скорость, ускорение).

3. Тензорные – величины, описывающиеся матрицами. Матрица размером – таблица чисел, в которой m строк и n столбцов.

Измерение величин позволяет свести их сравнение к сравнению чисел.

1. Если величины а и b измерены с помощью единицы измерения е, то отношения между а и b будут такими же, как и отношения между их численными значениями.

2. Если величины а и b измерены при помощи единицы измерения величин е, то чтобы найти численное значение суммы величин, достаточно сложить численные значения этих величин.

3. Для того, чтобы величину умножить на действительное число, необходимо умножить на это число численное значение этой величины.

Дольные единицы измерения:

деци:

санти:

милли:

микро:

нано:

пико: