Материал: Lab1n_7n

значение одного из них попадает в доверительный интервал другого. Если это условие не выполняется, то в опыте присутствует не выявленная систематическая погрешность, и факторы, приводящие к ней, экспериментатор должен выявить. Либо следует сделать заключение об отсутствии соответствия между теорией и опытом.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение (напишите формулы) скорости и ускорения тела. Как они направлены по отношению друг к другу при движении тела по криволинейной и прямолинейной траектории? Сделайте поясняющие рисунки.

2.Что такое сила и каков ее физический смысл?

3.Приведите различные формулировки второго закона Ньютона и объясните смысл входящих в них параметров.

4.Докажите формулы (6.1) и (6.2), показав на рисунке все силы, действующие на брусок и груз в данном опыте.

5.Спланируйте эксперимент по определению результирующей силы, действующей на тело массой m , скользящее по наклонной плоскости длиной S при фиксированном угле ее наклона. Нужно ли в этом случае знать коэффициент трения между телом и плоскостью и угол ее наклона? Постройте таблицу обработки данных этого опыта выборочным методом или методом переноса погрешностей.

Работа 7н. СКАТЫВАНИЕ ТЕЛА С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ

Цель работы: проверка выполнимости основного уравнения динамики вращательного движения (уравнения моментов) и закона сохранения механической энергии в опыте по скатыванию круглых тел с наклонной плоскости.

Приборы и принадлежности. Установка представляет собой наклонную плоскость 1, которую с помощью винта 2 можно устанавливать под разными углами к горизонту (рис. 7.1). Угол измеряется с помощью шкалы 3. На плоскость может быть помещен цилиндр 4. В комплект работы входят два цилиндра (полый и сплошной) разной массы. Для удержания цилиндра в верхней точке используется электромагнит 5, управление которым осуществляется с помощью электронного секундомера СЭ-1 (при нажатии на СЭ-1 кнопки «Пуск» магнит отключается и включается секундомер, а при нажатии кнопки «Стоп» магнит включается).

36

Рис. 7.1

Пройденное цилиндром расстояние измеряется по линейке 6, закрепленной вдоль плоскости. Время скатывания цилиндра измеряется автоматически с помощью датчика 7, выключающего секундомер в момент касания цилиндром финишной точки. Установка имеет два режима работы, регулируемых тумблером «плоскость»/«удар», находящимся в ее нижней части слева.

Исследуемые закономерности

Основной закон динамики вращательного движения, или уравнение моментов, может быть записан в разных формах: в терминах углового ускорения ε вращения тела, в дифференциальной и интегральной форме:

где M Mi – результирующий момент всех внешних сил, действующих

на него; L – момент импульса тела; I – момент инерции тела, являющийся аналогом массы или мерой инертности тела при его вращательном движении. Момент импульса тела может быть представлен в виде L Iω, где ω – угловая скорость его вращения. Моменты силы и импульса определяются как векторные произведения M r F и L r p , где r – положение точек при-

ложения силы F и импульса тела p относительно произвольной точки О

(полюса). М и L направлены перпендикулярно плоскости перемножаемых векторов и ориентированы по правилу правовинтовой системы.

Все моменты (силы, импульса и инерции) зависят от того, относительно какой произвольной точки (полюса) или оси вращения они рассчитываются. Однако равенство правых и левых частей уравнений (7.1) при этом не нарушается. В справочниках приводятся только моменты инерции IC тела отно-

сительно осей вращения, проходящих через его центр масс (ЦМ) C.

37

В данной работе изучается качение круглых тел по наклонной плоскости, для чего используются сплошной и полый цилиндры с внутренним и внешним радиусами цилиндрической полости, равными R0 и R . Момент инерции тако-

k 1 R0 R 2 2 – коэффициент инерции тела. Для тонкостенного цилиндра R0 R и k 1, а для сплошного R0 0 и k 12.

Если другая ось вращения тела параллельна оси, проходящей через ЦМ тела, и смещена от нее на расстояние a , то момент инерции тела относитель-

но новой оси вращения рассчитывают по теореме Штейнера: I IC ma2 ,

где m – масса тела. В частности, если тело катится по поверхности, то его момент инерции относительно точки О касания тела и поверхности по теореме Штейнера равен a R : IO IC mR2 k 1 mR2 .

Существует аналогия между параметрами, описывающими поступательное и вращательное движение тела, которая приведена в таблице:

Смысл входящих в таблицу параметров понятен по их обозначениям. Эта аналогия позволяет переходить от уравнений поступательного движения

к уравнениям вращательного движения. Так, уравнения F ma и Wк mv22

переходят в уравнения M Iε и Wк I 22 .

Рассмотрим скатывание тела круглой формы с наклонной плоскости. Для описания движения используем первое уравнение (7.1). Считаем, что в точке О касания тела и плоскости нет проскальзывания. Мгновенная скорость точки О в этом случае относительно плоскости в любой момент времени равна нулю (vо 0) . Ось вращения, проходящую через такую точку, на-

зывают мгновенной осью вращения.

Для описания движения тела возьмем полюс в точке О – точка касания тела и плоскости (рис. 7.2), через которую проходит мгновенная ось вращения тела (проскальзывание тела относительно плоскости отсутствует). Относительно этой точки моменты сил N и Fтр равны нулю: MN 0, Mтр 0 , а момент силы

тяжести равен Mmg mgRsin . Момент инерции круглого тела относительно

38

оси О по теореме Штейнера I0 k 1 mR2 , угловое ускорение вращения телаaR . Тогда уравнение вращательного движения тела относительно оси,

проходящей через точку О, Mmg I0 , примет вид: mgRsin k 1 mR2aR . Отсюда ускорение скатываниятела a g sin k 1 .

Рис. 7.2

Если выбрать полюс в точке С (ЦМ тела), то моменты сил N и mg относительно оси, проходящей через точку С, будут равны нулю: MN 0, Mmg 0 ,

а момент силы трения сцепления будет равен M тр FтрR . Момент инерции

тела относительно оси С равен IC kmR2 , а угловое ускорение его вращенияaR . Тогда уравнение вращательного движения тела относительно оси С

M тр IC примет вид FтрR kmR2aR . Отсюда

Fтр kma k mg sin k 1 .

Силу трения сцепления можно также найти из второго закона Ньютона для ЦМ тела: mg sin Fтр ma . Результат будет таким же.

Найденная сила трения сцепления аналогична силе трения покоя. Как известно, максимальная сила трения покоя Fтрmax N . В данной задаче

N mg cos . Следовательно, Fтр k mg sin mg cos Fтрmax . Отсюда k 1

коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью k tg k 1 .

39

Для описания скатывания тела с наклонной плоскости можно также использовать энергетический подход. Кинетическая энергия катящегося тела, совершающего поступательно-вращательное движение, с учетом vR , а

Отсюда скорость тела, скатившегося с высоты h , в основании наклонной

(см. табл. 7.4) присвоить индексы 1 и 2 соответственно, а отношение отрезков времени скатывания тел c наклонной плоскости обозначить как n t1t2 ,