Документ: Kxp751v5RS, страницы 11-15 | Студенческое хранилище

На рис. 1.2, а показан начальный участок (n = 5000 дискрет) реализации корреляционной последовательности ξ(n) общим объемом выборки 200 000

дискрет с заданной корреляционной функцией R(τ) = σ2 sin w0τ и парамет- w0τ

рами в (1.1), (1.2): γ0 = π /100 , р = 100; на рис. 1.2, б и в соответственно представлены экспериментально определенные корреляционная функция R(n)

игистограмма распределения N(ξi) полученной последовательности.

Влабораторной работе необходимо реализовать один из моделирующих алгоритмов, представленных в приложении, по заданию преподавателя.

Лабораторная работа 2.

ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК РАВНОМЕРНОЙ ВРЕМЕННОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ СИГНАЛОВ

Цель работы – изучение характеристик равномерной временной дискретизации (РВД) сигналов c использованием среды интерактивного программирования MatLab.

Задание

1.Получить у преподавателя исходные требования для выполнения экспериментов по исследованию основных характеристик равномерной дискретизации.

2.Сформировать в структуре пакета прикладных программ MatLab основные блоки программной реализации имитационных исследований характеристик адаптивной дискретизации в соответствии с полученными исходными требованиями (п. 1):

−генератор измерительных сигналов,

−блок равномерной временной дискретизации,

−анализаторы характеристик дискретизации, предназначенные для оценки гистограммы распределения максимальных погрешностей аппроксимации на интервалах дискретизации и числа дискретных отсчетов за сеанс проведения эксперимента.

При программной реализации разрабатываемых блоков предусмот-

реть возможность вывода на экран дисплея фрагментов записи измерительных сигналов с указанием дискретных отсчетов и результатов анализа в виде графиков и числовых значений искомых характеристик.

11

3.Провести проверку работоспособности разработанных блоков на тестовых сигналах по указанию преподавателя (синусоидальных, линейно-изменяю- щихся, экспоненциальных и т. п.).

4.Провести экспериментальные исследования равномерной временной дискретизации сигналов при условиях, определенных в п. 1 (объем выборки при исследованиях указывается преподавателем):

4.1.Получить на экране дисплея график изображения фрагмента исходно-

го сигнала с указанием на нем дискретных отсчетов при равномерной дискретизации. Качественно оценить результаты эксперимента. Гра-

фик привести в отчете.

4.2.Экспериментально определить плотности распределения (гистограм-

мы распределения) максимальных погрешностей аппроксимации на интервалах дискретизации при равномерной временной дискретиза-

ции исследуемых сигналов.

4.3.Экспериментально определить число дискретных отсчетов при равно-

мерной временной дискретизации исследуемых сигналов.

5.Провести анализ результатов исследования равномерной дискретизации сигналов:

5.1.Построить графики экспериментальных и теоретических плотностей распределения (гистограмм распределения) максимальных погреш-

ностей аппроксимации на интервалах дискретизации при равномер-

ной временной дискретизации исследуемых сигналов.

5.2.Сделать выводы о свойствах равномерной дискретизации по точности представления сигналов и необходимому числу дискретных отсчетов.

Общие сведения и порядок выполнения работы

При равномерной дискретизации постоянный шаг t = const дискретизации выбирается из потенциально возможного экстремального изменения сигнала и допустимой погрешности εд представления (аппроксимации) сиг-

нала на интервалах дискретизации [1]. Вследствие такого выбора интервала дискретизации в подавляющем числе отсчетов равномерной дискретизации погрешность представления сигнала на интервалах будет меньше и даже су-

щественно меньше допустимого уровня εд. Такая процедура дискретизации сигнала приводит к значительной избыточности отсчетов при заданной точности представления сигнала.

12

В зависимости от модели сигнала можно выделить различные подходы к определению шага РВД. В качестве математической модели сигнала рас-

сматривается некоторая функция y(t) , непрерывная на всем интервале наблюдения и имеющая ограниченное число (n + 1) конечных и непрерывных производных.

Сигнал представлен множеством дискретных значений { y j(ti)} с посто-

янным шагом t .

Вобщем виде частота РВД зависит:

–от вида восстановления сигнала,

–критерия приближения.

При представлении сигнала между дискретными отсчетами полиномами n-го порядка в качестве аппроксимирующей функции y * (t) используются экстраполяционный полином Тейлора или интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона. При этом возникает погрешность представления сигнала

ε(t) = y * (t) − y(t).

Для экстраполяционного полинома Тейлора оценка сверху погрешности

ε(t) имеет вид [1]

εm = max

ε(t)

≤

M n+1

(t

− ti −1)

n+1

,

(2.1)

(n + 1)!

max

для интерполяционного полинома Лагранжа –

εm = max

ε(t)

≤

M n+1

∏(t − tk )

,

(2.2)

(n + 1)!

k =0

max

для интерполяционного полинома Ньютона –

M n+1

εm = max

ε(t)

≤

t n+1

∏(v − k )

.

(2.3)

(n + 1)!

k =0

max

Здесь t [ti −1, ti ], i = 1, 2, ... ; M n+1 –

модуль-максимум (n + 1) -й произ-

водной в рассматриваемом интервале аппроксимации;

tk –

узлы интерполя-

ции; t – шаг дискретизации; v = t t –

безразмерный коэффициент.

При

равноотстоящих узлах интерполяции оценку (2.2) можно тождественно пред-

ставить в форме (2.3). Учитывая, что разность (t − ti−1 ) в (2.1) достигает мак-

симума при t = ti , а разность ti − ti −1 = t , можно упростить выражения для оценки максимальных погрешностей на интервалах дискретизации:

13

для экстраполяционных полиномов

εm ≤	M n+1	t	n+1	,	(2.4)
	(n + 1)!

для интерполяционных полиномов

ε

m

≤

M n+1

С

n

t n+1,

(2.5)

(n + 1)!

где Cn =

n

∏(v − k )

. Некоторые значения коэффициентов Cn приведены в

k =0

max

табл. 2.1.

Таблица 2.1

n

0

1

2

3

4

Cn

1/ 2

1/ 4

1

3.6

2

3 9

При заданной допустимой погрешности εд аппроксимации шаг РВД определяется формулами:

для экстраполяционных полиномов

t = n+1	εд(n + 1)!	,	(2.6)

	M n+1

для интерполяционных полиномов

t = n+1	εд(n + 1)!	.	(2.7)

	Сn M n+1

Втабл. 2.2 приведены формулы (2.4)–(2.7) для широко используемых алгоритмов аппроксимации сигналов.

Вприведенных формулах в том или ином виде присутствуют оценки модуля (n + 1)-й производной сигналов. Для детерминированных сигналов такие оценки находятся обычным дифференцированием заданной модели сигнала.

Таблица 2.2

Погрешность

Шаг дискретизации

Частота дискретизации

Вид аппроксимации

при шаге

t

при заданной εд

Нулевая экстраполяция

εm = M1

t

t =

εд

f =

M1

εд

M1

t 2

Линейная интерполяция

εm =

M 2

t =

8εд

f =

M 2

8

M 2

8εд

14

Для экспериментального исследования РВД случайных сигналов в лабораторной работе используются сигналы с нормальным распределением и различными корреляционными функциями ([4], [5]), например

R(τ) = σ2x	sin ωсрτ	, R(τ) = σ2xe−ω02 τ2 ,					R(τ) = σ2		1		.
R(τ) = σ2x		, R(τ) = σ2xe−ω02 τ2 ,					R(τ) = σ2				.
	ωсрτ							x 1 + ω2		τ2
									0
При заданной R(τ) определяются корреляционная функция (n + 1)-й
производной сигнала [1], [4]
	Rx(n +1) (τ) = (−1)		(n+1) d 2(n+1) R(τ)
	Rx(n +1) (τ) = (−1)					d	2(n+1)
						d
и дисперсия соответствующей производной
	σ2[x(n+1) ] = R			x	(n +1) (τ = 0) .
				x
Для упрощения вычислений некоторые корреляционные функции удобно
представить в виде ряда Тейлора (Маклорена).
Поскольку закон распределения производных также остается нормаль-
ным максимальное значение производных							ограничивается			значениями

M n+1 = 2σ[x(n+1) ] или M n+1 = 3σ[x(n+1) ] в зависимости от принятой (ука-

занной преподавателем) доверительной вероятности.

Лабораторная работа 3.

ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК АДАПТИВНОЙ ВРЕМЕННОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ СИГНАЛОВ

Цель работы – ознакомление с процедурой адаптивной временной дискретизации сигналов и исследование ее метрологических характеристик с использованием среды интерактивного программирования MatLab.

Задание

1.Получить у преподавателя исходные требования для выполнения экспериментов по исследованию основных характеристик адаптивной дискретизации.

2.Сформировать в структуре пакета прикладных программ MatLab основные блоки программной реализации имитационных исследований характеристик адаптивной дискретизации в соответствии с полученными исходными требованиями (п. 1):

−генератор измерительных сигналов,

−блок равномерной временной дискретизации,

15

Материал: Kxp751v5RS

Смотрите также: