Материал: KTE (1)
2.6.4.2. Функція DEtools[DEplot]
Розглянемо роботу команди DEplot із пакета DEtools. Вона числово розв'язує диференціальні рівняння та їх системи при одній незалежній змінній та будує графік розв'язку. При цьому використовується метод Рунге–Кутта 4-го порядку, а графічні побудови являють собою або криві, або векторні поля напрямків. Синтаксис функції такий: DEplot (sde, vars,
trange, inits, xrange, yrange, options), де sde –
диференціальне рівняння або їх система у фігурних або квадратних дужках; vars – залежні змінні у фігурних або квадратних дужках; trange – область зміни незалежної змінної; inits – початкові умови для розв'язання; xrange та yrange – необов’язкові параметри, що задають область зміни для першої та другої залежної змінної; options – опції у вигляді keyword=value («ключове слово = значення»). Опції, які можуть використовуватися з функцією DEplot, наведено в таблиці 2.5.
Таблиця 2.5 – Опції функції DEplot із пакета DEtools у форматі keyword=value («ключове слово = значення»)
Ключове слово |
Значення |
Зміст опції |
1 |
2 |
3 |
animatecurves |
true або false |
Створює анімацію фазової |
|
|
траєкторії в часі |
animatefield |
true або false |
Створює анімацію поля |
|
|
напрямків |
arrows |
'small', 'smalltwo', |
Задає тип стрілки векторного |
|
'medium', |
поля |
|
'mediumfill', 'large', |
|
|
'curve', 'comet', |
|
|
'line', або 'none' |
|
color |
name, RGB або |
Задає колір стрілок одним із 5 |
|
HUE |
способів: ім’я кольору (name), |
|
|
цифрове позначення за шкалою |
|
|
RGB або HUE, математичним |
|
|
виразом або процедурою (про |
|
|
колір див. п. 4.1.2) |
|
91 |
|
Продовження таблиці 2.5
1 |
2 |
3 |
|
dirfield |
[int,int],int або |
Задає координати точок, куди |
|
|
[ [int,int],[ ],…] |
поміщати стрілки (сіткою або |
|
|
|
кожну стрілку окремо) |
|
iterations |
int |
Представляє метод для |
|
|
|
зменшення кроку stepsize при |
|
|
|
фіксованій кількості точок (int – |
|
|
|
натуральне число) |
|
linecolor |
name |
Задає колір лінії |
|
numframes |
int |
Вводить кількість кадрів при |
|
|
|
анімації |
|
numpoints |
int |
Задає кількість точок, якими |
|
|
|
будується графік |
|
numsteps |
int |
Задає кількість кроків при |
|
|
|
обчисленнях (використовується |
|
|
|
далі опцією stepsize) |
|
obsrange |
true або false |
Задає, чи прибирати стрілки, що |
|
|
|
виходять за межі побудови |
|
|
|
(наприклад, при асимптотичній |
|
|
|
поведінці в анімації) |
|
scene |
[name, name] |
Вказує імена залежних змінних, |
|
|
|
для яких будується графік |
|
size |
magnitude або |
Задає розмір стрілок, який |
|
|
float |
визначається або пропорційно |
|
|
|
величині поля, або заданим |
|
|
|
числом типу float (за |
|
|
|
замовчуванням size = 1.0) |
|
stepsize |
real |
Задає розмір кроку для |
|
|
|
числового методу обчислення |
|
|
|
розв'язку рівняння |
|
|
|
(за замовчуванням |
|
|
|
stepsize ab |
при |
|
|
numsteps |
|
|
|
trange=a..b) |
|
Приклад 2.30. Побудувати графіки розв'язку рівнянь моделі Лоткі – Вольтерра у вигляді векторного поля напрямків та фазового портрета.
92
Нехай рівняння моделі мають вигляд:
dxdt x(t)(1 y(t)), dydt 0,3y(t)(x(t) 1).
Побудуємо векторне поле:
Побудуємо фазовий портрет. Для цього функції DEplot буде необхідно «знати» початкові координати фазових траєкторій:
Ці два графіки на вигляд відрізняються значенням опції arrows. Так, зліва виводиться одночасно і поле напрямків, і фазові траєкторії, справа – лише фазові траєкторії. Якщо задати опцію animatecurves = true, то побачимо
93
«мультик» про те, як малюються фазові траєкторії, починаючи від їх
початкових координат.
2.6.4.3. Функція DEtools[DEplot3d]
Ця функція будує розв’язок системи диференціальних рівнянь у вигляді просторових кривих, наприклад ліній однакового рівня або просто кривих у просторі. Поле напрямків ця функція не будує. При цьому повинна бути лише одна незалежна змінна.
Приклад 2.31. Розглянемо коливання маятника, які описуються координатою x(t) та швидкістю y(t) залежно від часу t.
У даному разі маємо тривимірний графік, який можна розглядати під різними кутами, для чого використовуємо опцію orientation, наприклад
orientation=[0,90], або інструмент інтерактивного повертання графіка 
.
2.6.4.4. Інші функції графіки пакета DEtools
Серед інших функцій для побудови розв'язків диференціальних рівнянь розглянемо dfieldplot та
phaseportrait.
Команда dfieldplot використовується для побудови векторного поля напрямків за результатами розв’язку системи двох автономних диференціальних рівнянь першого порядку або одного диференціального рівняння першого порядку. При цьому вони повинні мати лише одну незалежну змінну.
Команда phaseportrait використовується для побудови фазового портрета системи диференціальних рівнянь першого
94
порядку або одного диференціального рівняння вищого порядку. Ця команда використовує числові методи розв’язання, тому обов’язково необхідно зазначати початкові умови. Для рівнянь першого порядку команда може побудувати й поле напрямків.
Приклад 2.31. Побудова фазового портрета системи трьох неавтономних диференціальних рівнянь першого порядку:
Як бачимо, кількість рівнянь та залежних змінних може бути більшою, ніж два. Тоді для виведення фазового портрета у 2D-варіанті використовується опція scene у вигляді scene=[x(t),z(t)].
2.6.5. Розв’язування диференціальних рівнянь у частинних похідних
Для простого розв’язування диференціальних рівнянь у частинних похідних та їх систем служить команда pdsolve. Для отримання символьного результату використовують синтаксис
команди psdolve(pde, function, options), а для числового – psdolve(pde, function, numeric, options), в яких pde –
рівняння або система; function – ім’я залежної змінної (змінних), які підлягають визначенню; options – додаткові параметри побудови; numeric – опція, яка визначає саме числове розв’язування.
Альтернативно можна використовувати засоби спеціалізованого пакета PDEtools, який містить команди поглибленої роботи з диференціальними рівняннями у частинних похідних, а саме: різні перетворення, підстановки, види представлення розв’язків.
95