Материал: FTTLabRab

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 4

Лабораторная работа №1 6

Компьютерное построение электронных оболочек атомов 6

Теоретическая часть 6

Работа с программой Orbital Viewer 16

Задания 18

Лабораторная работа №2 19

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ 19

Теоретическая часть 19

Методическая часть 21

Практическая часть 24

Контрольные вопросы 26

Список литературы 26

Лабораторная работа №3 26

Теоретическая часть 27

Практическая часть 31

Контрольные вопросы 33

Лабораторная работа №4 34

Теоретическая часть 34

Практическая часть 37

Контрольные вопросы 39

Лабораторная работа №5 39

Построение зоны Бриллюэна для произвольных кристаллических решеток средствами Maple V 39

2 Теоретическая часть 39

3 Выполнение работы 43

Список литературы 50

Введение

Свойства материалов определяются особенностями их кристаллического строения, которое, в свою очередь, зависит от электронного строения атомов, вида и энергии межатомных связей. Особое значение имеют такие понятия, как направленность и насыщенность связей, которые и задают мотив кристаллического строения. Для ясного понимания строения кристаллов важно иметь четкое представление о пространственном расположении атомов и связей между ними. Традиционно в учебной практике эта задача решалась в лучшем случае с помощью моделей, составленных из шаров и проволок, в худшем – с помощью рисунков. Интенсивное развитие компьютерной техники и программного обеспечения предоставило широкие возможности не только для визуализации сложных пространственных структур, но и для вычислительного моделирования межатомного и межмолекулярного взаимодействия, формирующего кристаллические структуры. Компьютерное моделирование заменяет дорогостоящие эксперименты и позволяет выявить недоступные аспекты материального мира. Наибольшее развитие получили численные методы моделирования.

Различные методы моделирования могут быть разделены на четыре основных вида, каждый со своим временным и линейным интервалом. На малых длинах и промежутках времени используются электронно-структурные и квантово-химические методы, которые позволяют получать детальную информацию о малых системах. В симуляциях на уровне атомов основными объектами являются атомы, состояние электронов которых не вычисляется. За счет дальнейшей потери информативности можно значительно увеличить промежутки длины и времени. Значит, становится возможным моделировать зерна и дислокации. В микроструктурных методах основными объектами являются уже элементы микроструктуры, например, сегменты дислокаций или зернограничные элементы. Здесь увеличение отрезков происходит за счет пренебрежения информацией на атомном уровне. Наконец, наибольшие расстояния и промежутки времени – микроны и секунды – охватывают непрерывные методы.

Наиболее конкретное описание свойств тела может быть дано на уровне взаимодействия атомов, но чтобы адекватно перейти к макроскопическим свойствам, нужно описать возможно больший массив взаимодействующих атомов, а это связано с ограничениями возможностей техники.

Широкое развитие получил метод молекулярной динамики, основанный на вычислении сил притяжения и отталкивания и минимизации энергии, которые определяют положение частиц в пространстве относительно друг друга, то есть кристаллическое строение. Результирующая функция имеет ярко выраженный минимум, что соответствует образованию твердой фазы. В простейшем случае алгоритм моделирования основан на интеграции 2-го закона Ньютона по времени. Покажем это на примере алгоритма Верлета.

Закон Ньютона – это F_i = m_ia_i , где a_i – ускорение атома массы m_i. Покажем положение i-го атома во время t-dt и t+dt относительно t:

r_i(t+dt) = r_i(t) + dt v_i(t) + ½ dt² a_i(t) + …

r_i(t-dt) = r_i(t) - dt v_i(t) + ½ dt² a_i(t) - …

Складывая и преобразовывая эти уравнения, получаем:

r_i(t+dt) = 2r_i(t) - r_i(t-dt) + dt² F_i(t)/m_i.

Чтобы в этом алгоритме определить позицию каждого атома во время t+dt, необходимо знать его позиции во время t – dt и t, и силу, действующую на ион во время t.

В научной литературе приводится ряд примеров моделирования на атомном и электронном уровне. В частности, моделирование межатомных связей в кристаллической решетке сложных соединений (например, Al₃Li, γ-TiAl, Ti₃Al и т. д.), сверхтвердых, магнитных, аморфных, квазикристаллических материалов, изучение взаимодействия дислокаций и точечных дефектов, структуры границ зерен, а также ряд других вопросов. Во многих работах адекватность моделирования доказывается электронно-микроскопическими исследованиями высокого разрешения.

Настоящий цикл лабораторно-практических работ знакомит с методами молекулярного моделирования и визуализации пространственных структур на наиболее простых примерах, требующих минимальных навыков работы с компьютером и начальных знаний в области физики твердого тела. Методом молекулярной динамики моделируются химические связи, рассчитывается их энергия, имитируется формирование молекулярных, ионных и ковалентных кристаллов, моделируются искажения решетки при образовании твердого раствора, вакансии и краевой дислокации. Цель работы №4 – приобретение практических навыков по исследованию процессов теплового расширения, а работа №5 демонстрирует возможности совмещенного термического анализа для изучения фазовых переходов и других процессов, происходящих при нагреве и охлаждении материалов. В целом работы помогают представить необходимые пространственные образы и развивают навыки работы с компьютером и точными физическими приборами, что тоже полезно.

Оформление отчетов

Отчеты по выполненным работам оформляются в соответствии с общими требованиями УГАТУ. Отчет должен содержать название работы, цель, краткие теоретические сведения, методику выполнения, результаты и выводы. Полученные в результате моделирования изображения нужно зарисовать: рисуя, человек лучше понимает и запоминает изображенный предмет. Экспериментальные диаграммы, полученные с помощью копьютеризированных приборов, следует привести в распечатанном виде и выполнить на них разметку характерных точек и участков. Особое внимание уделяется анализу результатов и выводам. Они должны быть по каждому заданию. Чем полнее сделан анализ – тем больше пользы от выполненной работы.

Лабораторная работа №1 Компьютерное построение электронных оболочек атомов

Цель работы: 1. Ознакомиться с программой моделирования электронных оболочек Orbital Viewer;

2. Смоделировать электронные оболочки предложенных атомов, описать форму и расположение электронных облаков.

Теоретическая часть

Наиболее точные представления о состоянии электронов в атоме и конфигурации электронных оболочек, соответствующих каждому состоянию, получены путем решения уравнения Шредингера для атома водорода. Для многоэлектронных атомов доступны лишь приближенные представления, основанные на этих расчетах. Именно поэтому столь важно рассмотреть вопрос о состояниях электрона в атоме водорода.

Электрон в атоме водорода находится в радиально симметричном потенци­альном поле, которое создается ядром с положительным зарядом. Потенциальная энергия W электрона опи­сывается формулой

, (1)

где r – расстояние электрона от ядра. Таким образом, потен­циальная энергия электрона возрастает при удалении от ядра, а потенциальное поле является сферически симметричным. Поэтому уравнение Шредингера для атома водорода удобнее представить в сферической системе координат (рис. 1):

.

Решение уравнения Шредингера для атома водорода ищут в ви­де произведения трех независимых функций:

, (2)

где R(r) зависит лишь от r; () зависит только от , а () – лишь от .

Рис. 1. Взаимосвязь между декартовыми

и сферическими

координатами

Главное квантовое число п является мерой полной энергии электрона в чисто кулоновском потенциальном поле. Полная энергия электрона в таком поле определяется уравнением:

, (3)

где т – масса электрона; е – его заряд, а

,

(h – постоянная Планка).

Главное квантовое число п может быть лишь целым положи­тельным числом, большим нуля: п = 1, 2, 3, 4, ...

Второе квантовое число l, получившее название орбитально­го (или азимутального), является мерой величины момента ко­личества движения электрона P_l:

. (4)

Второе квантовое число l не может превышать п–1. Таким образом, каждому значению главного квантового числа п соот­ветствует п значений второго квантового числа: l = 0, 1, 2,..., (n-1). Например, если n = 1, то возможно лишь одно значение l = 0; если же п = 2, то возможны два значения второго квантового числа: l = 0; 1 и т. д.

Третье квантовое число m_l, называемое магнитным, характеризует проекцию мо­мента импульса на полярную ось z:

. (5)

Третье квантовое число может принимать любые це­лые положительные и отри­цательные значения, меньшие по абсолютной вели­чине второго квантового чи­сла l. Величина l опреде­ляет момент импульса, a m_l – проекцию момента импульса на по­лярную ось z. Абсолютная величина прямоугольной проекции некоторого вектора не может быть больше величины этого век­тора. Отсюда следует

m_l  l.

Следовательно, третье квантовое число m_l может принимать все целые численные значения от –l до +l, включая нуль. Каждому значению l соответствует (2l+1) значений третьего квантового числа m_l:

m_l = –l, –(l–1), –(l–2), . . ., 0, 1, 2, . . ., l.

Третье квантовое число называют магнитным квантовым числом, так как магнитное поле электрона, вращающегося вокруг неподвижной точки, аналогично магнитному полю тока в кольце. Поэтому магнитное поле вращающегося электрона всегда на­правлено перпендикулярно плоскости вращения электрона в сто­рону, определяемую правилом буравчика. Точно так же направ­лен и момент импульса электрона.

Три квантовых числа появляются в ходе решения уравнения Шредингера для атомов водорода, потому что рассматривается электрон с тремя степенями свободы. Если рассматривать дви­жение электрона в декартовой системе координат, то эти три степени свободы соответствуют перемещению вдоль трех декар­товых осей х, у и z.

Электрон обладает четвертой степенью свободы – спином. Спин является особым, сложным свойством электрона (и вообще элементарных частиц), представить которое столь же трудно, как и дуализм «волна – частица». Тем не менее, для большинства физических моделей, использующих понятие спина, вполне достаточным оказывается представление о вращении электрона вокруг собственной оси.

Спин электронов проявляется лишь в магнитном поле. В от­сутствие магнитного поля электроны ориентированы беспорядоч­но, и спиновые свойства электронов в среднем компенсируют од­но другое и дают эффект, равный нулю.

Указанные квантовые числа п, l, и m_l (табл. 1) позволяют довольно точ­но описать состояние электронов в атомах и физические явле­ния, связанные с изменением их энергетического состояния.

Энергетическое состояние электронов в атоме определяется, в основном, первыми двумя квантовыми числами. Для характе­ристики различных энергетических состояний электронов в атоме вводят условное обозначение, состоящее из цифры и буквы. Цифра соответствует значению главного квантового числа. При­нятые обозначения второго квантового числа приведены в табл. 2.

В этой сокращенной записи состояние электрона, например, с квантовыми числами п=1 и l=0, можно выразить как 1s; состояние, характеризуемое квантовыми числами п=2 и l= 0, – 2s, состояние с п = 2 и l = 1, – 2р и т. д.

Энергия электрона в атоме водорода определяется только главным квантовым числом п и не зависит от l и m_l. Поэтому каждому уровню энергии в атоме водорода соответствует не­сколько состояний электрона с разными l и m_l. Такие энергети­чески неразличимые состояния называют вырожденными, а число состояний с данной энергией – кратностью вырождения. Так, например, кратность вырождения уровня с n=1 равна 1, уровня с п=2 равна 4, уровня с n=3 равна 9 и т. д.

Таблица 1

Возможные комбинации чисел п, l, и m_l

Таблица 2

Условное обозначение второго квантового числа

В результате решения уравнения Шредингера для атома во­дорода находят также функции R(r), Ф() и (). Произведе­ние этих трех функций определяет волновую функцию, характеризующую состояние электрона в атоме водорода. Волновая функция имеет различный вид для разных энергетических со­стояний электрона, характеризуемых различными комбинациями квантовых чисел. В частности, для состояния с наименьшей энергией, а именно для состояния 1s, волновая функция имеет вид:

, (6)

где а=²/me²=0,529, или в упрощенной записи

.

Таким образом, для состояния 1s волновая функция определяется лишь расстоянием от центра атома и не за­висит от углов  и , т. е. не зависит от направления. Такой класс волновых функций называют сферически сим­метричными, поскольку значения этой функции во всех точках сферы данного радиуса имеют одинаковое значение. Поскольку _1s изменяется в зависимости от расстояния во всех направлениях совершенно одинаково, то для того чтобы представить себе характер волно­вой функции _1s, достаточно рассмотреть ее изменение вдоль одного из направлений. Функция _1s монотонно убывает с уве­личением расстояния от ядра. Наибольшее значение этой функ­ции соответствует центру атома (r=0).