Материал: FSWB0510
го смещения и принцип суперпозиции, обобщите полученные результаты для нескольких зарядов, заключенных внутри произвольной замкнутой поверхности. Покажите, что поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность, создаваемый зарядом, находящимся вне этой поверхности, равен нулю.
1.2.4. Используя теорему Гаусса, получите выражение для напряженности электрического поля, создаваемого на расстоянии r от центра (оси) симметрии равномерно заряженными:
а) бесконечным стержнем с линейной плотностью заряда τ
E = |
τ |
|
; |
(1.17) |
2πε |
0εr |
б) бесконечной плоскостью с поверхностной плотностью заряда σ
E = |
σ |
|
2ε0ε ; |
(1.18) |
в) шаром радиуса R с объемной плотностью заряда ρ
|
E = |
|
R 3ρ |
(вне шара) |
(1.19) |
|
|
|
3ε εr 2 |
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
и |
E = |
|
ρr |
(внутри шара). |
(1.20) |
|
|
|
|||||
3ε0ε |
||||||
Покажите, что выражение (1.19) совпадает с напряженностью электрического поля, создаваемого точечным зарядом, равным заряду шара и расположенным в центре шара.
1.2.5. Выведите уравнение (1.12), согласно которому дивергенция электрического смещения равна объемной плотности заряда ρ в окрестности данной точки.
1.3.Индивидуальное задание
1.3.1.Найдите напряженность EA электростатического поля, создаваемого в точке А системой точечных зарядов, изображенной на рис.1.K. Модули всех зарядов одинаковы: q = 2,0 нКл. l = 0,5 м.
При выполнении индивидуальных заданий цифровое обозначение задаваемой точки А на рисунке и номер К рисунка следует брать из таблицы 1 согласно номеру варианта (N), который обычно соответствует номеру по списку группы.
1.3.2.На рис.1.К ( l = 0,5 м) приведены сечения тонких бесконечных рав-
номерно заряженных с линейной плотностью заряда τ = 1,0 нКл/м прямолинейных стержней. Определите напряженность электростатического поля EA в точке А и силу FC , действующую на единицу длины стержня С со стороны других стержней.
6
Рис.1.K
1.3.3. На рисунке 2.К приведены различные конфигурации, составленные из трех элементов: дуги окружности радиусом R (элемент 2) и двух прямолинейных элементов (1 и 3) конечной или полубесконечной (0 - ∞) длины (см. таблицу 2). Считая, что заряд по всем элементам распределен равномерно с линейной плотно-
стью заряда τ, определите напряженность E электростатического поля в точке 0. Таблица 2
А |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
R,м |
2,0 |
0,5 |
1,0 |
0,4 |
1,0 |
τ,нКл/м |
200 |
80 |
100 |
50 |
200 |
l 1 |
2R |
3R |
0 - ∞ |
R |
2R |
l 3 |
0 - ∞ |
R |
R |
2R |
3R |
7
Рис.2.K
1.3.4.В электростатической системе, описанной в п. 1.3.2 из точки А в точку
Вперемещается стержень длиной 1 м, расположенный перпендикулярно плоскости рисунка. Определите потоки напряженности ФE и индукции Ψ электростатического поля через плоскую поверхность, прочерчиваемую стержнем при его движении. Как изменятся эти потоки, если систему поместить в среду с ε=2?
1.3.5.На рисунке 3.К показано тело, зависимость объемной плотности заряда которого от расстояния r от центра (плоскости, оси) симметрии имеет вид
ρ(r) =10−5 r А/ 2 , где ρ(r) в Кл/м3; r в м. Найдите напряженность и индукцию электростатического поля в точке В. Для материала тела ε = 3; R= l =1,0 см. Постройте качественные графики зависимостей Е(r) и D(r).
8
Рис.3.K
2. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ.
2.1.Вводное задание.
2.1.1.Объяснение понятия и термины: потенциал ϕ ; изменение, приращение, убыль потенциала; разность потенциалов∆ϕ ; эквипотенциальная поверх-
ность; электрический диполь, его плечо l и электрический момент pe . Укажите единицы названных физических величин.
Какие характеристики поля: скалярное, векторное, стационарное, вихревое, потенциальное, поле консервативных сил и т.д. можно приписать электростатическому полю? Как действуют; оператор градиент (grad), оператор ротор (rot),
оператор набла (оператор Гамильтона), оператор Лапласа ? Что такое циркуляция вектора? Каковы признаки поля консервативных сил? Как силовые линии электростатического поля ориентированы по отношению к эквипотенциальным поверхностям и почему? За счет чего совершается работа перемещения заряда в электростатическом поле?
2.1.2.Дайте пояснения к следующим выражениям:
9
|
|
|
|
|
∫ Erd lr = 0 ; |
|
|
|
(2.1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
= |
W p |
|
; |
|
|
|
|
(2.2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A12 |
|
|
|
2 |
r r |
|
|
|
|
||
|
∆ϕ =ϕ1 −ϕ2 = |
|
|
|
|
= ∫Edl ; |
|
|
|
(2.3) |
|||||||||
|
|
|
q |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
ϕ |
|
= |
1 |
|
|
|
|
q |
; |
|
|
|
(2.4) |
|||||
|
|
|
4 πε |
0 |
|
|
|
ε r |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = ∑ϕk ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.5) |
|||||||||
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
r |
|
|
|
∂ϕr |
|
|
∂ϕr |
∂ϕr |
|
|||||||||
|
E =−gradϕ =−( ∂x lx |
+ |
∂y ly + |
∂z lz ) ; |
(2.6) |
||||||||||||||
|
r |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
ρ |
|
|
|
||
∆ϕ |
≡ 2ϕ ≡ ∂ |
|
ϕ2 |
+ ∂ |
|
|
ϕ2 + ∂ |
|
|
ϕ2 = − |
|
; |
(2.7) |
||||||
|
|
|
|
|
εε |
|
|||||||||||||
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
pre = ql ; |
|
|
|
|
|
|
(2.8) |
|||||||
|
|
|
|
M = pre ×E; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.9) |
||||||
|
|
|
Wp =−preE . |
|
|
|
|
|
|
(2.10) |
|||||||||
|
|
|
|
|
2.2.Теоретическое задание |
|
|||||||||||||
2.2.1. Используя теорему Стокса: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
r |
|
r |
|
|
∫ rot A dS , |
|
|
|
|
|||||||
|
|
∫ Ad l = |
|
(2.11) |
|
||||||||||||||
|
|
l |
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где A - произвольный вектор, и теорему о циркуляции вектора напряженности электростатического поля (2.1), покажите, что электростатическое поле - безвихревое:
rotE = 0 . |
(2.12) |
2.2.2.Покажите, что соотношение (2.3), связывающее разность потенциалов
снапряженностью электростатического поля, получается из определений потенциала (2.2) и напряженности (1.4) электрического поля.
2.2.3.Получите выражение для потенциала поля точечного заряда (2.4), считая известными соотношение (2.3) и формулу (1.5) для напряженности поля то-
чечного заряда. r 2.2.4.Покажите ,что связь потенциалаϕ и напряженности E электростатиче-
ского поля (см. формулу (2.6)) следует из связи потенциальной энергии тела, находящегося в поле консервативных сил, и действующей на это тело силы.
10