Материал: 864

Теперь с учетом формул (3.32), (3.33), (3.35), (3.38) можем за-

писать окончательный результат – общее решение данного уравненияфункцию

y C1 cos x C2 sin x 1 xsin x 1cos2x.

2 3

Найти общее решение (или частное, если даны начальные условия) дифференциальных уравнений.

3.24.y 4y 12y 8sin2x; y(0) 0; y (0) 0.

3.25.y 6y 9y x2 x 3.

3.26.y 2y x 1; y(0) 0; y (0) 1.

3.27.y 6y 9y 10e 3x; y(0) 3; y (0) 2.

3.28.y 5y 6y 12cos2x; y(0) 1; y(0) 3.

3.29.y 4y 13y 26x 5.

3.30.2y y 1.

3.31.y 4y sin 2x 1.

3.32.y y 2y x ex.

Метод вариации произвольных постоянных

Метод вариации произвольных постоянных применяется для отыскания частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициентами, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения; при этом ограничений на правую часть уравнения [вид функции f (x)] не накладывается, как это было сделано в методе неопределенных коэффициентов при отыскании частного решения неоднородного уравнения.

Пусть известно общее решение

y C1y1 C2 y2 ... Cn yn

однородного дифференциального уравнения (3.16), соответствующего неоднородному уравнению (3.15). Тогда общее решение неоднородного уравнения (3.15) ищем в виде

41

где функции C1(x),C2(x),...,Cn(x) определяются из системы уравнений

где функция f (x) есть правая часть неоднородного уравнения (3.15). Для уравнения второго порядка система (3.40) принимает вид

Система (3.40) есть система линейных уравнений относительно неизвестных C1(x),C2(x),...,Cn(x); решая эту систему (например, по формулам Крамера), находим C1(x),C2(x),...,Cn(x), затем, интегрируя, определяем функции C1(x),C2(x),...,Cn(x). Подставляя найденные функции C1(x),C2(x),...,Cn(x) в формулу (3.39), получаем общее решение неоднородного уравнения (3.15).

Пример 32. Найти общее решение дифференциального уравне-

Решение. Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами, причем правая часть не имеет специального вида, поэтому решаем уравнение методом вариации произвольных постоянных.

Решаем однородное уравнение y y 0. Составляем характе-

ристическое уравнение 3 0, находим его корни: ( 2 1) 0, тогда 1 0; 2,3 i; частные решения однородного уравнения есть

y1 1; y2 cosx; y3 sin x, (3.42)

следовательно, общее решение однородного уравнения есть функция y C1 C2 cosx C3 sin x.

Общее решение неоднородного уравнения, согласно формуле (3.39), ищем в виде

Для определения C1(x),C2(x),C3(x) составляем систему (3.40),

42

которая с учетом формул (3.42) для данного случая принимает вид

Подставляя найденные выражения для C1(x),C2(x),C3(x) в формулу (3.43), получаем общее решение дифференциального уравнения

43

Пример 33. Найти общее решение дифференциального уравне-

ния y 2y y ex . x

Решение. Уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, правая часть уравнения не имеет специального вида, поэтому решаем уравнение методом вариации произвольных постоянных. Сначала решаем однородное уравнение

y 2y y 0.

Составляем характеристическое уравнение 2 2 1 0: его корни 1,2 1; частные решения однородного уравнения

y1(x) ex; y2(x) xex .

Тогда общее решение однородного уравнения есть функция y(x) C1ex C2xex.

Общее решение неоднородного уравнения, согласно формуле (3.39), ищем в виде

Составляем систему уравнений [cм.формулу (3.41)] для опреде-

ления C1(x),C2(x):

Решаем систему и находим C1(x), C2(x):

44

Подставим найденные для C1(x)и C2(x) выражения в формулу (3.45), получим общее решение дифференциального уравнения

y(x) ( x C1)ex (ln x C2)xex

или

y(x) ex(xln x C2x C1).

Найти общее решение дифференциальных уравнений методом вариации произвольных постоянных.

3.33. y y tgx.

3.35. y 4y 1 . sin2x

Вопросы к разделу «Дифференциальные уравнения высших порядков»

1.Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка. Укажите ее геометрический смысл.

2.Сформулируйте теорему Коши для дифференциального уравнения второго порядка.

3.Укажите виды уравнений, допускающих понижение порядка; укажите способ их решения.

4.Укажите общий вид линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Сформулируйте теорему о структуре общего решения однородного и неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка.

5.Укажите вид частных решений линейного однородного дифференциального уравнения в зависимости от вида корней характеристического уравнения.

6.В чем заключается метод неопределенных коэффициентов нахождения частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка?

7.В каких случаях применяют метод вариации произвольных постоянных?

45