Материал: 864

y e x Q1(x)cos x Q2(x)sin x ,

где Q1(x) Amxm Am 1xm 1 ... A1x A0; Q2(x) Bmxm Bm 1xm 1

... B1x B0 есть многочлены степени m от x; A0, A1,...,Am,B0,B1,..., Bm коэффициенты, которые надо определить.

б) Если комплексные числа i являются корнями кратности r характеристического уравнения, то частное решение уравнения (3.15) имеет вид

y xre x Q1(x)cos x Q2(x)sin x ,

где Q1(x) Amxm Am 1xm 1 ... A1x A0; Q2(x) Bmxm Bm 1xm 1

... B1x B0 есть многочлены степени m от x; A0, A1,...,Am,B0,B1,..., Bm коэффициенты, которые надо определить.

Четвертый случай. Правая часть уравнения (3.15) имеет вид f (x) f1(x) f2(x) ... fk (x).

Тогда частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения ищется в виде

y y1 y2 ... yk ,

где y1 , y2,..., yk частные решения неоднородного дифференциального уравнения (3.15) с правой частью f1(x), f2(x),..., fk (x) соответственно.

Пример 28. Найти общее решение дифференциального уравне-

ния y y x2 x 1.

Решение. Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Общее решение уравнений такого типа ищем по формуле (3.19). Сначала решаем однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, т. е. уравнение

y y 0,

общее решение которого имеет вид [см. формулу (3.21)] y C1y1 C2 y2 .

Составляем характеристическое уравнение

2 1 0 ,

находим его корни: 1,2 1.

Следовательно, общее решение однородного уравнения есть функция

y C1ex C2e x .

36

Правая часть неоднородного уравнения есть многочлен второй степени, поэтому имеем первый случай. Так как число 0 не является корнем характеристического уравнения, то, согласно пункту а) этого случая, частное решение неоднородного уравнения имеет вид

Так как y решение данного уравнения, то, подставляя в это уравнение y , (y ) , (y ) , получаем тождество, откуда определяем

коэффициенты A2, A1, A0 :

2A2 A2x2 A1x A0 x2 x 1

или

A2x2 A1x (2A2 A0) x2 x 1.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

Пример 29. Найти общее решение дифференциального уравне-

ния y 6y 9y 2e3x.

Решение. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, согласно формуле (3.19), есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Решаем однородное уравнение

y 6y 9y 0.

Общее решение этого уравнения [см. формулу (3.17)] имеет вид y C1y1 C2 y2 C3y3.

Составляем характеристическое уравнение

3 6 2 9 0,

находим его корни:

( 2 6 9) 0 1 0; 2,3 3.

Тогда с учетом вида корней характеристического уравнения

37

y C1e0x C2e3x C3xe3x .

Правая часть данного уравнения соответствует случаю два, пункт б), поскольку число 3 есть корень характеристического уравнения кратности r=2; P(x)=2 есть многочлен нулевой степени, следовательно, частное решение неоднородного уравнения принимает вид

y Ax2e3x .

Теперь вычислим коэффициент A. Находим последовательно

(y ) 2Axe3x 3Ax2e3x;

(y ) 2Ae3x 6Axe3x 6Axe3x 9Ax2e3x ; (y ) 18Ae3x 54Axe3x 27Ax2e3x .

Подставим y ,(y ) ,(y ) ,(y ) в неоднородное уравнение и после очевидных преобразований получим тождество

6Ae3x 2e3x,

из которого следует, что 6A=2; A=1/3.

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения есть функция

y C1 C2e3x C3xe3x 1 x2e3x . 3

Пример 30. Найти общее решение дифференциального уравне-

ния y 2y 30cos x.

Решение. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, согласно формуле (3.19), есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Найдем y, решив однородное уравне-

ние y 2y 0.

Составляем характеристическое уравнение

2 2 0

и находим его корни: ( 2) 0 1 0; 2 2; тогда

y C1 C2e 2x.

По виду правой части данного уравнения определяем, что имеем случай три. Составляем по правой части уравнения комплексное число. Так как 0; 1, то i i. Это число не является корнем характеристического уравнения, поэтому, согласно пункту а) третьего случая, частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

38

39

кратности r =1 характеристического уравнения, то имеем случай три, пункт б), согласно которому

y1 x(Acosx Bsin x).

Найдем (y1 ) , (y1 ) :

(y1 ) Acosx Bsin x x( Asin x Bcosx);

(y1 ) Asin x Bcosx Asin x Bcosx x( Acosx Bsin x).

Подставим в уравнение (3.34) найденные выражения для y1 ,

(y1 ) :

Asinx Bcosx Asinx Bcosx Axcosx Bxsinx+Axcosx Bxsin x cosx

или

2Asin x 2Bcosx cosx,

ристического уравнения, поэтому имеем случай три, пункт а), тогда

Подставляя найденные значения коэффициентов A и B в (3.37), получаем

40