Материал: 864

i соответствуют 2r линейно независимых частных решений

….……………………………… xr 1e x cos x, xr 1e x sin x.

Всего получаем n линейно независимых частных решений. Далее записываем общее решение по формуле (3.17).

Пример 24. Найти общее решение дифференциального уравне-

ния y(4) 2y y 0.

Решение. Это уравнение четвертого порядка, поэтому общее решение уравнения имеет вид [см. (3.17)]

y C1y1 C2 y2 C3y3 C4 y4 ,

где y1, y2, y3, y4 частные линейно независимые решения. Составляем характеристическое уравнение

4 2 2 1 0.

Найдем его корни: ( 2 1)2 0, каждую скобку приравниваем

Общее решение:

y C1 cos x C2 sin x C3xcosx C4 sin x.

Пример 25. Найти общее решение дифференциального уравне-

ния y 8y 0.

Решение. Уравнение третьего порядка, поэтому общее решение уравнения имеет вид [см. (3.17)]

y C1y1 C2 y2 C3y3 ,

где y1, y2, y3 частные линейно независимые решения данного дифференциального уравнения.

Составляем характеристическое уравнение

3 8 0.

Решаем это уравнение и находим его корни: ( 2)( 2 2 4) 0;

31

Здесь имеем действительный корень кратности 1, которому, согласно пункту а), соответствует частное решение

y1 e2x .

Паре однократных комплексных сопряженных корней, согласно пункту в), соответствует два частных решения:

Общее решение дифференциального уравнения y C1e2x C2e x cos3x C3e x sin3x.

Пример 26. Найти общее решение уравнения y y 0. Решение. Уравнение третьего порядка, следовательно, общее

решение есть функция

y C1y1 C2 y2 C3y3 ,

где y1, y2, y3 частные линейно независимые решения дифференциального уравнения.

Составляем характеристическое уравнение

3 2 0.

Действительный корень, равный нулю, имеет кратность 2, следовательно, согласно пункту б), ему соответствуют два частных решения:

y1 e0 x; y2 xe0 x .

Действительный корень, равный минус единице, имеет кратность 1, поэтому, согласно пункту а), ему соответствует частное решение

y3 e x.

Теперь можем записать общее решение уравнения y C1 C2x C3e x.

Пример 27. Найти общее решение уравнения y(4) y 0. Решение. Уравнение четвертого порядка, поэтому общее реше-

ние имеет вид

y C1y1 C2 y2 C3y3 C4 y4 ,

где y1, y2, y3, y4 частные линейно независимые решения дифференциального уравнения.

Составляем характеристическое уравнение

32

4 1 0.

Уравнение имеет четыре комплексных корня, которые можно найти по формуле Муавра

Здесь будет использован другой подход для решения двучленных уравнений – разложение на множители.

4 1 ( 4 2 2 1) 2 2 ( 2 1)2 2 2( 2 1 2 )( 2 1 2 ).

Так как 4 1 0, приравниваем каждую скобку нулю:

Каждой однократной паре комплексных сопряженных корней соответствуют два частных решения:

Далее записываем общее решение данного уравнения:

Замечание. Покажем решение двучленного алгебраического уравнения четвертой степени со свободным членом, отличным от единицы. Например, имеем уравнение 4 5 0. Разложим левую часть уравнения на множители:

4 5 ( 4 25 2 5) 25 2 ( 2 5)2 25 2

( 2 25 5)( 2 25 5).

Приравнивая каждую скобку нулю, находим корни уравнения:

33

Найти общее решение (или частное, если даны начальные условия) дифференциальных уравнений.

3.14.y y 2y 0.

3.15.y 2y y 0.

3.16.y 4y 13y 0.

3.17.y y 0; y(0) 0; y (0) 1.

3.18.y 2y 0; y(0) 1; y (0) 0.

3.19.y 9y 0.

3.20.y 5y 0.

3.21.y(4) 16y 0.

3.22.y(4) y 0.

3.23.y(4) 5y 4y 0.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Согласно общей теории, структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения определяется форму-

лой (3.19).

Ранее было показано, как найти общее решение однородного линейного дифференциального уравнения. Покажем теперь, как найти частное решение неоднородного уравнения.

Для линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, т. е. уравнений вида (3.15), правая часть которых имеет специальный вид, частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов. При этом специальный вид правой части предусматривает несколько случаев.

Первый случай. Правая часть уравнения (свободный член) есть функция

f (x) P(x),

где P(x) многочлен степени m.

а) Если число 0 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного линейного

34

дифференциального уравнения ищется в виде y Q(x),

ского уравнения, то частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения ищется в виде

y xrQ(x),

где Q(x) Amxm Am 1xm 1 ... A1x A0 тоже многочлен степени m, коэффициенты которого Am, Am 1,...,A1, A0 надо определить.

Второй случай. Правая часть уравнения (3.15) имеет вид f (x) P(x)e x,

где P(x) многочлен степени m.

а) Если число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения ищется в виде

y Q(x)e x,

где Q(x) Amxm Am 1xm 1 ... A1x A0 тоже многочлен степени m, коэффициенты которого Am, Am 1,...,A1, A0 надо определить.

б) Если число является корнем кратности r характеристического уравнения, то частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения ищется в виде

y xrQ(x)e x,

где Q(x) Amxm Am 1xm 1 ... A1x A0 тоже многочлен степени m, коэффициенты которого Am, Am 1,...,A1, A0 надо определить.

Третий случай. Правая часть уравнения (3.15) имеет вид f (x) e x P1(x)cos x P2(x)sin x ,

где , const; P1(x),P2(x) многочлены от x различных степеней. Пусть m – наибольшая из степеней многочленов P1(x) и P2(x). По виду правой части уравнения можно составить комплексные

числа i.

а) Если комплексные числа i не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения ищется в виде

35