Материал: 864

Общее решение неоднородного линейного уравнения (3.15) имеет вид

(3.15).

Отметим, что линейно независимая система частных решений однородного уравнения называется фундаментальной системой ре-

шений.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка

Рассмотрим уравнение

где p,q R.

Согласно (3.17), общее решение уравнения (3.20) имеет вид

где y1(x), y2(x) образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.20) [т.е. y1(x), y2(x) линейно независимые частные решения этого уравнения].

где действительное или комплексное число, которое надо определить.

Так как функция (3.22) есть решение уравнения (3.20), подставим ее и ее производные y e x; y 2e x в это уравнение, получим

Уравнение (3.24) называется характеристическим уравнением, а

26

его корни – характеристическими числами дифференциального уравнения (3.20).

При решении уравнения (3.24) возможны три случая. Случай 1: корни уравнения 1, 2 R и 1 2 . Тогда, согласно(3.22), имеем два частных решения:

Составим определитель Вронского для этих функций.

y x 0 1; y x 0 2.

Решение. Общее решение имеет вид (3.21). Найдем y1, y2. Для этого составляем характеристическое уравнение

2 2 5 2 0.

Корни его действительные и разные: 1 2; 2 1, поэтому, 2

1 x

согласно формулам (3.25), y1 e 2x; y2 e 2 частные (линейно независимые) решения, тогда можем записать общее решение данного дифференциального уравнения в виде формулы (3.26):

27

Подставим найденные значения произвольных постоянных в общее решение (3.27) и найдем частное решение

y 5e 2x 8e 12x . 3 3

Случай 2: корни уравнения 1, 2 R и 1 2.

Тогда одно частное решение уравнения, согласно (3.22), есть y1 e 1x .

В качестве второго частного решения можно взять функцию y2 xe 1x ,

вчем легко убедиться непосредственной подстановкой этой функции

вуравнение (3.20). Вычислим определитель Вронского для этих функций:

частные решения дифференциального уравнения (3.20), поэтому общее решение имеет вид

Определитель Вронского для этих функций

28

мы и общее решение дифференциального уравнения с учетом формулы (3.21) имеет вид

Пример 22. Найти частное решение дифференциального уравнения y 4y 29y 0 при условии y x 0 0, y x 0 15.

Решение. Составляем характеристическое уравнение

2 4 29 0.

Корни уравнения комплексно-сопряженные:

Найденные значения произвольных постоянных подставим в общее решение, получаем частное решение данного дифференциального уравнения:

29

y 3e 2x sin5x.

Пример 23. Найти общее решение дифференциального уравне-

ния y 8y 0.

Решение. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид (3.21). Найдем y1(x) и y2(x). Для этого составим характеристическое уравнение

2 8 0;

находим корни этого уравнения:

1,2 8 или 1,2 ( 1)8, или 1,2 8i,

тогда 1,2 22i; в этом случае 0; 22 и, согласно (3.30),

y1(x) cos22x; y2(x) sin22x,

а учитывая формулу (3.31), получаем общее решение данного уравнения:

y C1 cos22x C2 sin22x.

Обобщение на случай линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка

Рассмотрим теперь линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка (3.16). Общее решение этого уравнения дает формула (3.17). Чтобы найти частные решения y1, y2,...,yn , составляем характеристическое уравнение

n p1 n 1 p2 n 2 ... pn 1 pn 0.

Решая его, находим n корней. Учитывая характер полученных корней, выписываем частные линейно независимые частные решения:

а) каждому однократному действительному корню соответствует решение

e x ;

б) каждому r- кратному действительному корню соответствует r линейно независимых частных решений

e x,xe x,x2e x,x3e x,...,xr 1e x;

в) каждой паре однократных комплексно-сопряженных корней1 i; 2 i соответствуют два линейно независимых частных решения

г) каждой r-кратной паре комплексно-сопряженных корней

30