Материал: 864

2.5. Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение вида

называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция U(x, y), что

Равенство (2.22) означает, что левая часть уравнения (2.21) является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y).

Для того, чтобы уравнение (2.21) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнение равенства

то из (2.22) и (2.24) следует

U P, U Q 2U P , 2U Q P(x, y) Q(x, y) , т.е.

x y x y y y x x y x

формула (2.23) справедлива. Теперь найдем функцию U(x, y).

U P(x, y) U P(x, y)dx (y), в последнем равенстве считаем

x

(y)произвольной постоянной. Найдем U .

16

P(x, y) 3x2; Q(x, y) 3x2.

y x

Следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Далее найдем функцию U(x, y), следуя изложенному выше алгоритму.

U 2x 3x2 y U (2x 3x2 y)dx (y) U x2 x3y (y)

x

дифференциалах. Далее, следуя изложенному выше алгоритму, найдем функцию U(x, y).

уравнения.

Найти общие интегралы дифференциальных уравнений.

2.26.eydx (xey 2y)dy 0.

2.27.(3x2 cos y)dx (xsin y 2cos y)dy.

2.28.(x2 y yex)dx (x 2y ex)dy.

2.29.(x cos y)dx (xsin y cos y)dy 0.

17

Вопросы к разделу «Дифференциальные уравнения первого порядка»

1.Укажите виды записи дифференциального уравнения первого порядка и назовите их.

2.Что называют задачей Коши? Дайте геометрическую интерпретацию задачи Коши.

3.Сформулируйте теорему Коши о существовании и единственности решения задачи Коши.

4.Что называют особым решением дифференциального уравнения? В какой ситуации появляется особое решение?

5.Какие дифференциальные уравнения являются уравнениями с разделяющимися переменными? Укажите метод их решения.

6.Как определить, что дифференциальное уравнение является однородным? Укажите метод решения.

7.Какие дифференциальные уравнения называют линейными, уравнениями Бернулли? Какие методы решения линейных дифференциальных уравнений вы знаете?

8.Как определить, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах?

3.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

3.1.Дифференциальные уравнения второго порядка. Общие вопросы

В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка

имеет вид

(3.1)

т. е. связывает независимую переменную x,искомую функцию y и ее

18

называется общим решением уравнения (3.1) или (3.2), если C1,C2 она удовлетворяет уравнению (3.1) [или уравнению (3.2)]. Если решение получено в неявном виде

то его называют общим интегралом уравнения (3.1) или (3.2).

С геометрической точки зрения общее решение (3.3) и общий интеграл (3.4) определяют на плоскости двухпараметрическое семейство кривых (интегральных кривых). На уравнения (3.1),(3.2) часто накладываются начальные условия в виде

В этом случае говорят, что нужно решить задачу Коши, т. е. из семейства интегральных кривых (3.3) или (3.4) выделить ту, которая проходит через заданную точку (x0, y0)и имеет в этой точке касательную, образующую с положительным направлением оси OX угол0, такой, что tg 0 y (x0).

Теорема Коши. Если правая часть f (x, y, y ) (2.3) и ее частные производные по y и y непрерывны в окрестности начальных значений (x0, y0, y0), то существует единственное решение y y(x) уравнения (3.2), удовлетворяющее начальным условиям (3.5).

Если условия теоремы Коши нарушаются, то могут возникать особые решения.

Особым решением называют такое решение дифференциального уравнения, которое во всех своих точках не удовлетворяет свойству единственности, т. е. в любой окрестности точки (x, y) особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку.

19

общее решение дифференциального уравнения:

Решить дифференциальные уравнения. Найти частное решение (частный интеграл), если даны начальные условия.

3.1.xy(4) 1.

3.2.y x 1.

вид F(x,z,z ) 0. Порядок уравнения понижен, далее решаем уравнение первого порядка относительно неизвестной функции z(x), после чего находим решение уравнения (3.6).

Пример 15. Решить дифференциальное уравнение x2 y xy 1. Решение. Уравнение не содержит явно функцию y. Сделав

замену y z(x); y z (x), получим

20