Материал: 864

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Система дифференциальных уравнений вида

 

dx1

 

f

 

(t,x ,x

 

 

,...,x

 

 

);

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

2

 

 

n

 

 

 

dx

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f2(t,x1,x2

,...,xn);

(4.1)

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

....................................

 

dx

n

 

f

 

 

(t,x ,x

 

 

,...,x

 

 

),

 

 

 

 

 

 

n

2

n

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где x1,x2,...,xn неизвестные функции переменной t, называется нормальной системой.

Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно x1,x2,...,xn, то система дифференциальных уравнений называется линейной.

Одним из основных методов решения систем дифференциальных уравнений является метод исключения неизвестных функций, который сводит задачу решения данной системы к решению одного дифференциального уравнения с одной неизвестной функцией, при этом порядок этого дифференциального уравнения равен n при условии, что система уравнений имеет вид, приведенный выше.

Сущность метода продемонстрируем на примере решения системы двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями.

Пример 34. Найти общее и частное решения системы дифференциальных уравнений

 

dx

 

2x y;

 

dt

 

x(0) 1; y(0) 3.

dy

 

 

 

 

x 2y;

 

 

dt

Решение. Дифференцируем первое уравнение системы по переменной t:

d2x

2

dx

 

dy

.

(4.2)

dt2

dt

dt

 

 

 

 

Подставляем в уравнение (4.2) выражение dy из второго урав- dt

нения системы:

46

d2x

2

dx

x 2y.

(4.3)

dt2

dt

 

 

 

Выразим y из первого уравнения системы:

 

 

y

dx

2x.

(4.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

Подставим (4.4) вместо y в уравнение (4.3):

 

d2x

 

dx

dx

 

 

 

2

 

 

x 2

 

2x .

 

dt2

dt

 

 

 

dt

 

После очевидных преобразований получаем уравнение

d2x 4dx 3x 0. dt2 dt

Имеем однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Находим решение согласно методам, изложенным в подразделе 3.3. Составляем характеристическое уравнение 2 4 3 0; его корни есть 1 3; 2 1.

Следовательно, общим решением уравнения является функция

x(t) C e3t C

et.

(4.5)

1

2

 

 

Дифференцируем функцию (4.5) по переменной t:

dx

3C e3t C

et ;

(4.6)

 

dt

1

2

 

 

 

 

 

 

подставляем в правую часть уравнения (4.4) выражения

иdx из (4.6) и находим y(t): dt

y(t) 3C1e3t C2et 2C1e3t 2C2et

или

y(t) C1e3t C2et .

Теперь можно записать общее решение системы:

x(t) C1e3t C2et;y(t) C1e3t C2et.

x(t) из (4.5)

(4.7)

Найдем частное решение системы, для этого подставим в общее решение (4.7) начальные условия:

C

C

 

1;

 

1

 

2

C1 2;C2 1.

 

C C

2

3

1

 

 

Подставляя найденные значения произвольных постоянных в общее решение (4.7), получаем частное решение системы:

47

x(t) 2e3t

et;

 

et.

y(t) 2e3t

Пример 35. Найти общее решение системы дифференциальных

 

dx

2x y cost,

 

 

dt

 

уравнений

 

dy

 

 

 

 

 

x 2sint.

 

dt

 

 

 

Решение. Дифференцируем первое уравнение системы по переменной t:

 

 

 

 

 

d2x

2

dx

 

dy

sint.

(4.8)

 

 

 

 

 

dt2

dt

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

Подставим в уравнение (4.8)

вместо

правую часть второго

 

уравнения системы, получим уравнение

 

dt

 

 

 

 

 

 

d2x

2

 

dx

 

x 2sint sint

 

 

dt2

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2x

2

 

dx

x sint.

 

 

 

 

dt2

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решаем уравнение согласно методам, изложенным в подразделе 3.3: общее решение ищем в виде

x(t) x(t) x (t),

где x(t) общее решение однородного уравнения, соответствующего неоднородному уравнению; x (t) частное решение неоднородного уравнения.

Сначала решаем однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному.

 

Для однородного уравнения

d2x

2

dx

x 0

составляем ха-

 

dt

2

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

рактеристическое уравнение 2 2 1 0

, его корни

1, тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,2

 

x

(t) C et C

tet общее решение однородного уравнения. Частное

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

решение ищем в виде x (t) Acost Bsint. Методом неопределенных коэффициентов найдем коэффициенты A и B. Для этого дважды

48

продифференцируем частное решение по t и подставим (x ) ,(x ) в неоднородное уравнение:

(x

 

 

 

 

) Asint Bcost ;(x

) Acost Bsint;

Acost Bsint 2Asint 2Bcost Acost Bsint sint;

2Bcost 2Asint sint;

 

тогда B 0; A 1. Подставим найденные значения коэффициентов в

2

формулу общего вида частного решения, получим x (t) 1cost. Сле-

2

довательно, общее решение неоднородного уравнения есть функция

 

x(t) C et C

tet

 

1

cost .

(4.9)

 

 

 

 

1

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

y(t). Для

 

 

 

 

 

 

 

Теперь найдем

этого

сначала продифференцируем

функцию (4.9) по переменной t:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

C et C

et C

tet

1

sint.

(4.10)

 

dt

 

 

1

 

2

 

 

2

2

 

 

Из первого уравнения системы находим y:

 

 

 

y

dx

2x cost .

(4.11)

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

Заменяя в формуле (4.11) x(t)и

на их выражения из формул

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

(4.11) и (4.10) соответственно, получаем после приведения подобных членов функцию

 

 

 

 

 

 

y(t) et C

2

(1 t) C 2cost

1

sint .

(4.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

Формулы (4.9) и (4.12) дают решение системы дифференциаль-

ных уравнений:

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t) et (C

C

t)

cost;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

y(t) et C

2

(1 t) C 2cost

sint.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решить системы уравнений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

y 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

3x y.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

49

x (t) x y et;

y (t) x y et.

5dx 2dy 4x y e t;dt dt

dx 8x 3y 5e t.4.3.

dt

Вопросы к разделу « Системы линейных дифференциальных уравнений»

1.Укажите вид нормальной системы дифференциальных урав-

нений.

2.Какой метод решения нормальной системы дифференциальных уравнений вы можете указать?

5.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВПРИЛОЖЕНИЯХ

Рассмотренные в предыдущих разделах пособия типы дифференциальных уравнений и методы их решения находят широкое применение при решении различных задач физики, теоретической механики, сопротивления материалов, строительной механики, экономики, биологии. По сути, дифференциальные уравнения являются математическими моделями реальных процессов и явлений, которые встречаются в инженерных задачах. Далее приведем примеры постановки и решения таких задач.

Пример 36. Материальная точка движется с постоянным ускорением a. Начальная скорость точки v0. Найти закон движения точки.

Решение. По определению,

dv a, dt

откуда

dv adt.

Интегрируя это дифференциальное уравнение, получаем общее решение

v at C1.

(5.1)

По условию, необходимо решить задачу Коши со следующими

50

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET
01. Основные понятия системного анализа и теории систем
04. Антигены
04. Антигены