Материал: 864

Подставляя найденные значения C1, C2 , C3, C4 в общее решение (5.12), получаем частное решение системы:

Система (5.15) есть уравнения движения (траектория движения) камня в параметрическом виде. При желании можно исключить параметр t и получить траекторию движения в виде уравнения y f (x).

В подразделе 3.3 были рассмотрены линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Применительно к задачам, рассматриваемым в курсе теоретической механики, такие уравнения обычно записывают в виде

Тогда в зависимости от вида корней характеристического уравнения находим общее решение, а при наличии начальных условий и частное решение дифференциального уравнения (см. примеры 20–23).

Для случая действительных и различных корней характеристического уравнения уравнение вида x qx 0встречается при рассмотрении движения материальной точки под действием центральной отталкивающей силы и при исследовании относительного движения точки в случае переносного вращательного движения.

Равные действительные корни характеристического уравнения при решении уравнения вида (5.16) встречаем при исследовании апериодического прямолинейного движения точки, происходящего под действием восстанавливающей упругой силы, зависящей от координат точки, при сопротивлении среды, пропорциональном скорости точки.

Уравнения вида (5.16), для которых характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни, встречаются при исследовании свободных колебаний материальной точки под действием восстанавливающей силы, пропорциональной координате точки; рассмотрении относительного движения точки; решении задач, связан-

56

ных с движением материальной точки под действием центральной силы; исследовании колебаний циклоидального маятника; рассмотрении малых колебаний математического и физического маятников.

Пусть теперь имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение (5.17) в случае, если корни характеристического уравнения соответствующего ему однородного уравнения комплексно-сопряженные, а правая часть есть линейная функция от косинуса и синуса (см. случай 3 для правой части специального вида, рассмотренный в подразделе 3.3, а также примеры 30, 31), встречается при исследовании вынужденных колебаний материальной точки в ситуации, когда восстанавливающая сила пропорциональна координате точки, а сопротивление пропорционально скорости точки, а также при исследовании относительного движения точки.

Частный случай уравнения (5.17) вида x qx f (t) при указанных выше условиях встречается при исследовании колебаний материальной точки, если на точку действуют восстанавливающая сила, пропорциональная координате точки, и возмущающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону. Такое движение точки представляет собой результат наложения свободных и вынужденных колебаний точки. Решение однородного уравнения определяет свободные колебания, а частное решение неоднородного уравнения – вынужденные колебания точки.

Если возмущающая сила изменяется по экспоненциальному закону (имеем случай 2 для правой части неоднородного уравнения в подразделе 3.3), то дифференциальное уравнение (5.17) встречается при решении задач теоретической механики, связанных с колебаниями и апериодическим движением материальной точки.

Пример 38. Проводнику сообщен заряд 1000 Кл. Вследствие несовершенства изоляции проводник постепенно теряет свой заряд. Скорость потери заряда в данный момент пропорциональна имеющемуся заряду проводника. Какой заряд останется на проводнике через 10 мин, если за первую минуту потеряно 100 Кл?

Решение. Пусть в момент t заряд проводника стал равен Q. Ско-

рость потери заряда в этот момент равна dQ . По условию, эта ско- dt

рость пропорциональна заряду Q, следовательно, имеем дифференциальное уравнение

57

dQ kQ, dt

где k – коэффициент пропорциональности.

Это уравнение типа y f (y), т. е. уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные, получаем

dQ kdt. Q

Интегрируем обе части равенства, получаем общее решение уравнения

lnQ kt lnC,

или

Уравнение (5.18) дает величину Q в любой момент времени t. Поскольку, по условию, за первую минуту потеряно было 100 Кл, то

900=1000e k t , откуда e-k = 0,9. Подставляем это значение в равенство (5.18), получаем

Q 1000 0,9t.

Следовательно, через 10 мин заряд проводника составит

Q 1000 0,910Kл.

Пример 39. Конденсатор, емкость которого Q, включается в цепь с напряжением E и сопротивлением R. Определить величину заряда q конденсатора в момент t после включения.

Решение. В момент t заряд конденсатора равен q и сила тока i=

dq. К этому моменту времени в цепи действует электродвижущая dt

сила E, равная разности между напряжением цепи U и напряжением конденсатора q : E U q .

тельно, дифференциальное уравнение процесса имеет вид

58

Имеем линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим его методом вариации произвольной постоянной (см. подраздел 2.4, пример 8). Найдем общее решение однородного уравнения, соответствующего данному:

из которого находим C (t), а затем и C(t):

C (t) U eQR C(t) UQ eQR C. R

Подставим найденное выражение для C(t) в формулу (5.20) и получим общее решение уравнения (5.19):

t

q(t) UQ CeQR .

Используем начальное условие q(0) 0 для определения произвольной постоянной C в общем решении: 0=UQ+C C UQ. Окончательно получаем уравнение, описывающее рассматриваемый процесс:

t

q(t) UQ(1 eQR .

59

Пример 40. В цепи с сопротивлением R и самоиндукцией L действует периодическая электродвижущая сила

E1 asin 2 t,

T

где T – период; t – время; a – постоянное число, равное максимальному значению величины E1.

Определить силу тока i в цепи в любой момент времени, если в начальный момент времени сила тока равна нулю.

Решение. В цепи действуют две силы: электродвижущая сила

Преобразуя очевидным образом последнее равенство, получаем дифференциальное уравнение процесса:

Уравнение (5.22) является линейным неоднородным дифференциальным уравнение первого порядка (см. подраздел 2.4). Решим его методом Бернулли (см. пример 9).

Полагаем i u v, тогда i u v uv , подставляя эти равенства в уравнение (5.22), получаем (предварительно поделив обе части уравнения на L)

Тогда, подставляя найденное выражение для функции v в уравнение, получаем

60