Материал: 864

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

sin

t u

sin t

u e

sin

tdt.

(5.23)

Интеграл в последнем равенстве вычисляем по формуле интегрирования по частям: udv uv vdu.

u eLt

eLtdt;

sin

tdt

sin

tdt

cos

Еще раз интегрируем

cos

eL cos

tdt

2 L

по частям

u eL

eL dt;

eL cos

cos

tdt v

sin

tdt

2 L

2 L 2

T2R

T2R2

cos

sin

tdt.

2 2 L2

2 2 L

Тогда после очевидных преобразований получаем равенство

T2R2

T2R

tdt

sin

cos

sin

2 e

(2 )

(2 )2 L2

T2R2

sin

tdt

( cos

sin

(2 )2 L2

2 L

2 TL2

sin

tdt

( cos

sin

t).

(2 )2 L2

T2R2

2 L

Подставим полученное выражение для интеграла в (5.23),

тогда

2 TLa

( cos

sin

t) C.

(2 )

2 L

Следовательно, общее решение уравнения (5.22) принимает вид

2 aTL

( cos

sin

t) Ce L .

(5.24)

(2 )

2 2

2 L

L T

Для определения постоянной интегрирования C используем начальное условие i(0) 0; подставим его в общее решение (5.24):

0	2 aTL					C C		2 aTL				.
0	(2 )	2 2	2	R	2	C C	(2 )	2 2	2	R	2	.
	(2 )	L T		R			(2 )	L T		R

Тогда искомое частное решение принимает вид

2 aTL

cos

sin

e L .

(2 )

2 2

2 L

(2 )

L T

После очевидных преобразований получаем

2 aTL

(2 )

sin

t cos

2 L

Пример 41. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v0. Найти закон движения тела, считая, что оно движется только под действием силы тяжести.

Решение. В общем виде закон движения есть S f (t). Определим функцию f (t). Согласно второму закону динамики,

m	d2S		F,	(5.25)
	dt	2

d2S

где ускорение движущегося тела; m его масса; F – сила, dt2

действующая на тело в направлении движения.

По условию задачи, сила F равна силе тяжести mg, которая направлена вниз, т. е. в сторону, противоположную движению, поэтому

F mg. (5.26)

Тогда из формул (5.25) и (5.26) имеем дифференциальное уравнение движения

d2S

dt2

g. (5.27)

Уравнение (5.27) есть уравнение вида y const. Уравнения такого типа были рассмотрены в подразделе 3.2. Последовательно дважды интегрируем уравнение (5.27), тогда имеем

dS	gt C ;	(5.28)

dt	1

ma mg kv2.

			S ( gt	C )dt	gt	2	C t C		2	.	(5.29)
			S ( gt	C )dt			C t C			.	(5.29)
				1	2	1
Определим произвольные постоянные C1								и C2 из начальных ус-
ловий:	S(0) 0; S (0) v0.			Подставляя первое начальное условие в
уравнение (5.29), а второе – в (5.28), получаем								C1 v0; C2 0.			Тогда
S v0t		gt2
			.
		2	.
		2

Пример 42. Тело массой m падает с некоторой высоты со скоростью v. При падении тело испытывает сопротивление, пропорциональное квадрату скорости. Найти закон движения падающего тела.

Решение. В момент t тело находится под действием тяжести и сопротивления среды. Сила тяжести равна mg; сила сопротивления

среды, согласно условию, равна kv2и направлена в сторону, противоположную движению тела. Тогда равнодействующая этих сил равна

mg kv2. C другой стороны, сила, действующая на тело, согласно первому закону динамики, равна ma, a – ускорение движения. Таким образом, имеем равенство

(5.30)

Так как скорость v S (t), а ускорение при прямолинейном движении a S (t), где S – путь, пройденный телом от начала отсчета, то равенство (5.30) принимает вид

	d2S		dS		2
m			mg k		.	(5.31)
	dt	2
				dt

Уравнение (5.31) есть дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка (см. подраздел 3.2).

Поскольку

v, то

d2S

Тогда уравнение

dt2

(5.31) принимает вид

mg kv2.

(5.32)

С формально-математической точки зрения здесь за новую независимую переменную берем S [поскольку независимая переменная t не входит в уравнение (5.31)], а за функцию – v(S).

Уравнение (5.32) есть дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными; разделяя переменные, получаем

mvdv

mg kv2

C S.

(5.33)

Определим постоянную C, приняв, что в начальный момент

времени t=0 пройденный путь S=0,

тело начало падать с начальной

скоростью v v(0) 0. Тогда из равенства (5.33) получаем

lnmg C 0 C

lnmg.

Находим частное решение уравнения (5.32):

mg kv

lnmg S

или

S =

mg kv2

Возвращаясь к первоначальной независимой переменной t и ис-

комой функции S(t), получаем (учитывая, что

2kS

mg S (t)

Тело падает, поэтому S (t)>0 и, следовательно, из формулы

(5.31) имеем

2kS

>0, тогда

. Найдем из последнего

dS 2

mg k(S (t))

mg k

равенства

2kS

(1 e

Учитывая, что функция S(t) возрастающая,

>0, поэтому

2kS

1 e

(5.34)

Равенство (5.34) есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, тогда, разделяя переменные, получаем

t C.

2kS

1 e

Вычислим интеграл в последнем равенстве.

2kS

1 e m

mdz

em z

em dS dz dS

kem

zdz

z2 1

k z

z2 1

z2 1 k

2kS

Тогда имеем общий интеграл уравнения (5.34)

2kS

t C.

(5.35)

Подставим в общий интеграл (5.35) начальное условие S(0) 0, получим C 0, частный интеграл уравнения (5.34) принимает вид

2kS

или, потенцируя, получаем

	kS			2kS		kg	t
em			e m 1 e			m .		(5.36)

Чтобы получить закон движения, т. е. функцию S(t) в явном виде, сделаем некоторые преобразования. Из равенства (5.36) следует

1			kg	t

		e	m .

kS	2kS

em e m 1

Умножая числитель и знаменатель левой части последнего ра-

kS 2kS

венства на em e m 1, получаем

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET
01. Основные понятия системного анализа и теории систем
04. Антигены
04. Антигены