Материал: 864

Логарифмируем выражение (5.38), получаем закон движения падающего тела

Наряду с задачей Коши для дифференциальных уравнений высших порядков представляют большой интерес краевые задачи, в которых условия, налагаемые на искомое решение, задаются не в одной точке, а на концах некоторого отрезка a,b и ищется решение, определенное внутри этого отрезка. Эти условия называются краевыми условиями и состоят в том, что на обоих концах отрезка a,b задаются значения искомого решения или значения производных от искомого решения, или, в общем случае, линейная комбинация ординат и производных решения.

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным краевым условиям, называется краевой задачей. Краевые задачи возможны для дифференциальных уравнений второго и высших порядков.

Вобщей теории обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка линейные уравнения занимают особое место. Это объясняется разработанной теоретической базой решения таких уравнений и многочисленными приложениями в технике и физике.

Краевая задача называется линейной, если дифференциальное уравнение и краевые условия линейны.

Вобщем виде линейная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид

0 y(b) 1y (b) B,

где функции p(x),q(x), f (x) непрерывны на [a,b];

0 1 0; 0 1 0.

66

Требуется найти функцию y y(x), дважды дифференцируемую на [a, b] и удовлетворяющую дифференциальному уравнению (5.39) и краевым условиям (5.40).

Линейная краевая задача (5.39), (5.40) называется однородной,

если f (x) 0 и A=0; B=0, т. е. когда дифференциальное уравнение и краевые условия однородны. В противном случае линейная краевая задача называется неоднородной.

Многие задачи сопротивления материалов, строительной механики, гидродинамики сводятся к решению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пример 43. Рассмотрим задачу о продольно-поперечном изгибе стержня. Имеется стержень переменного сечения. Расположим его

где E – модуль упругости материала; I(x) момент инерции в сечении x; M(x) изгибающий момент в сечении стержня.

При статически определимых условиях (например, свободное опирание) моменты подсчитываются:

67

Для определения однозначного решения уравнения (5.43) необходимо наложить граничные (краевые) условия. Для случая свободного опирания имеем

y(0) 0; y(l) 0. (5.44)

Уравнение (5.43) вместе с краевыми условиями (5.44) составляет краевую задачу.

Пример 44. Рассмотрим задачу об изгибе горизонтальной балки, лежащей на двух опорах x 0; x l, под действием распределенной поперечной нагрузки с интенсивностью q(x) (рис. 3). Известно (из

мент инерции поперечного сечения в точке x относительно горизонтальной прямой, лежащей в плоскости этого сечения и проходящей через центр его тяжести.

Отметим, что EI(x) жесткость балки при изгибе; изгибающий

момент M(x) EI(x) d2 y ; поперечная сила Q(x) M (x) EI(x)y . dx2

Если жесткость балки постоянна, то уравнение (5.45) принимает

вид

d4 y

EI q(x). (5.46) dx4

Общее решение уравнения (5.45) или (5.46) содержит четыре произвольных постоянных, которые можно определить, задав краевые условия. Краевые условия зависят от способа заделки концов балки.

Основные случаи:

1. Конец свободен. Тогда изгибающий момент и поперечная сила равны нулю, т. е. для свободного конца балки y 0; y 0. Таким образом, если оба конца балки свободны, то y (0) y (l) 0; y (0) y (l) 0.

68

2. Конец шарнирно оперт. Тогда нулю равны прогиб балки y и изгибающий момент M. Поэтому краевые условия для шарнирно опертого конца y 0; y 0. Следовательно, если оба конца шарнир-

но оперты, то y(0) y(l) 0; y (0) y (l) 0.

3. Конец жестко заделан. Тогда нулю равны прогиб y и угол по-

Возможны и другие более сложные случаи. Уравнение (5.45) [или (5.46)] вместе с условиями 1, или 2, или 3 составляют краевую задачу.

Пример 45. Найти максимальный прогиб консольной балки длиной l, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 4).

Решение. Дифференциальное уравнение изгиба балки [см. урав-

Таким образом, имеем общее решение уравнения (5.46). Для определения произвольных постоянных используем краевые условия. Левый конец балки жестко заделан, поэтому y(0) 0; y (0) 0, следовательно, C3 0;C4 0. Так как правый конец балки свободен, то y (l) 0; y (l) 0. Следовательно, 0 ql C1 C1 ql;

0 0,5l2 ql2 C2 C2 0,5ql2.

Подставляя найденные значения C1,C2, C3,C4 в общее решение, получаем решение краевой задачи (частный интеграл)

EIy 1 qx4 1qlx3 1 ql2x2,

24 6 4

или частное решение

69

Это решение позволяет получить величину прогиба балки дляx 0,l . Очевидно, балка имеет максимальный прогиб на конце при

x=l, равный y(l) ql4 . 8EI

Пример 46. Рассмотрим задачу об изгибе балки на упругом основании. Балка переменного сечения длиной l лежит на упругом основании, оказывающем сопротивление вертикальным смещениям каж-

где q(x) интенсивность нормальной нагрузки.

К уравнению (5.47) необходимо добавить граничные условия, по два на каждом конце. Например, если концы балки шарнирные, то

Уравнение (5.47) и граничные условия [например, (5.48)] составляют линейную краевую задачу.

С краевой задачей тесно связана задача о собственных значениях. Однородная краевая задача имеет всегда нулевое (тривиальное) решение y(x) 0, которое с практической точки зрения не представляет интереса. Поэтому рассматривают ненулевые решения однородной краевой задачи, которые существуют не всегда. В связи с этим в дифференциальное уравнение или в краевые условия вводится параметр , варьируя который, можно добиться, чтобы при некоторых его значениях соответствующая краевая задача имела ненулевые решения.

70